精品解析：北京市第一○一中学双榆树校区2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

初三数学开学验收 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键．由数轴得，, 进一步得出，即可作出判断. 【详解】解：由数轴得，， 选项A，B，C错误，选项D正确， 故选：D. 3. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 4. 据报道：中国铁路营业里程从年的万公里增长到年的万公里，其中高铁从万公里增长到万公里，稳居世界第一．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 135° D. 155° 【答案】B 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠3=180°−60°−45°=75°， ∵a∥b， ∴∠2=180°−∠3=105°， 故选B. 6. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种， 故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是， 故选：A． 7. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角；根据作图可得，结合，即可根据证明． 【详解】解：根据作图可得， 又∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据是半圆O的直径，得出，根据直角三角形的性质得出，根据C是半圆周上的动点(与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定，即可判定②；证明，根据相似三角形的性质得出，结合①中结论即可判断③． 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，圆周角定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵点O是中点， ∴， ∵，， ∴，， 即，故①正确； ∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合）， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ，， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 10. 因式分解：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可. 【详解】解：． 11. 正十边形的外角和为_________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和定理，熟记定理是解题的关键． 根据多边形的外角和是即可求出答案． 【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于， 所以正十边形的外角和等于． 故答案为：． 12. 方程的解为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以，将分式方程化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合原方程即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得 ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．延长交于点M，延长交延长线于点N，利用矩形的性质和勾股定理，求出的长，证明，求出，证明得出，进而求出即可得出结果． 【详解】解：延长交于点M，延长交延长线于点N， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ∵， ， ， ； 故答案为：． 16. 学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算和优化问题．第一部分直接计算顺序下的候场时间；第二部分按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面，计算各节目即可解答． 【详解】若节目按顺序彩排，节目的演员候场时间为前面节目、、的彩排时长之和：分钟； 确定使候场时间之和最小的节目顺序：候场时间之和为每个节目演员人数乘以其前面节目彩排时长的总和．为最小化总和，需按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面， 计算各节目： ， ， ， ， 故排序为． 三、解答题：（17-22每题5分23-25每题6分26题6分27题7分28题7分）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质化简，负整数指数幂，化简绝对值，乘方的计算，合并同类项，根据相关定义计算各项再合并同类项即可 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 21. 已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A区域的面积为，根据题意得出，解得，再求出C区域的面积即可． 【详解】解：设A区域的面积为， ， 解得， ， 答：C区域的面积是． 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式： （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围： ． 【答案】（1）这个反比例函数的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此时直线与y轴的交点，利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值， ∴． 23. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201 （1）请补全条形统计图： （2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； （3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 【答案】（1）见解析 （2），高 （3）选择b、c方案 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势判断其稳定性； （3）根据控制变量法选择品种相同的玉米，改变气温和含氧量即可比较哪一种因素对玉米产量的影响较大． 【小问1详解】 根据表格中F品种在高海拔地区的产量为6400，补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，5398， 中位数为； 根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定； 故答案为：，高； 【小问3详解】 a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a不选， b、c选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选； 故选用b、c两种方案． 【点睛】本题考查了数据的统计与应用，熟练掌握中位数、条形统计图的概念是解题的关键． 24. 如图，在中，，分别过点A，C作的垂线，交于点D． 连接，过点A作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 【答案】（1） 证明：取的中点O，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的长为3，半径为2.5 【解析】 【分析】（1）取的中点O，连接．证明A，B，C，D四点共圆，推出，再证明，，推出可得结论； （2）设，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，设，利用勾股定理求出y可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已经舍去）， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∵， ∵， ∴的外接圆的直径为5， ∴的外接圆的半径为2.5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）11 （2）21，27 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知当第11天之后，， 【小问2详解】 由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； 【小问3详解】 由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，则，，即可求解； ②可求，，则，将问题转化为关于的二次函数求解，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①如图， 当，抛物线表达式为，直线表达式为 ∵点作x轴的垂线，， ∴，， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧， 如图： 当时，则，其图象开口向上，对称轴为直线，此时始终符合的长随的长的增大而增大； 当时，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 函数的对称轴为直线， 当时，图象开口向下，， 要使得的长随的长的增大而增大 ∴， ∴， ∴； 当或均不符合题意， 综上所述，a的取值范围为或． 27. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． （1）求证：； （2）点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：延长，，相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴ （2） 解：，证明如下： 延长至点K，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴设，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 整理，得， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答； （2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． （1）已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； （2）已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）； 【解析】 【分析】（1）①由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内．先将关于直线l对称得到，则，由图可知点，，都在上，最小为2，最大为4，故符合定义的点为，； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，所以，，所以，，设，由两点间距离公式可得方程，解之即可得Q点坐标； （2）如图3所示，作关于过的动直线l对称的，即的圆心在以为圆心、2为半径的上，则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，根据在转动过程中，会经过点Q，结合图形，分别得出和的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内； ①如图1所示，将关于直线l对称得到，则， ∵点P是点Q关于直线与的“反射极值点”， 则点P必在上，且的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值， ∵，，都在上，最小为2，最大为4， 故符合定义的点为，， 故答案为：；； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示， 则由定义可知，为点Q关于直线与的“反射极大值点”N的距离， 为点Q关于直线与的“反射极小值点”的距离， 所以，， 所以，， 设，由两点间距离公式可得：， 解得或4， 故或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：如图3所示，作关于过的动直线l对称的对称， 即的圆心在以为圆心、2为半径的上， 则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点， ∵，， ∴， ∴的最大值为：，最小值为：， ∴的取值范围为：； ∵在转动过程中，会经过点Q， ∴的最小值为0， 最大值为：， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题是一道为圆为背景的新定义型综合题，考查了轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理，点圆最值，其本质还是点圆最值，熟练掌握以上内容并理解新定义下的本质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学开学验收 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 据报道：中国铁路营业里程从年的万公里增长到年的万公里，其中高铁从万公里增长到万公里，稳居世界第一．将数字用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 135° D. 155° 6. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 因式分解：______． 11. 正十边形的外角和为_________． 12. 方程的解为______ 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. 如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则______． 16. 学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 三、解答题：（17-22每题5分23-25每题6分26题6分27题7分28题7分）． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值. 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 21. 已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． 22. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式： （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围： ． 23. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201 （1）请补全条形统计图： （2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； （3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 24. 如图，在中，，分别过点A，C作的垂线，交于点D． 连接，过点A作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 25. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． （1）求证：； （2）点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． （1）已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； （2）已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $