6.2.1 向量的加法（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法 第一课时 数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。 学习目标 1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 3.掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 情景导入——“孙悟空取经路线的位移之谜” 《西游记》中唐僧从东土大唐（A地）出发，先到新疆（B地），再前往天竺（今印度）（C地）；而神话小说里面的孙悟空神通广大，可直接从A地飞往C地。 1.唐僧的两次位移（A→B，B→C）与孙悟空的直接位移（A→C）效果是否相同？ 2.若将位移看作向量，这三个向量之间存在怎样的关系？ 预学导读 阅读课本7-10页，思考并完成以下问题 1.向量加法是如何定义的？ 2.运用什么法则进行向量加法运算？ 3.向量加法满足哪些运算律？ 4. 新知探究1——向量的加法定义 思考：如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ A B C 从运算的角度看，AC可以看作是AB与BC的和，即位移的合成可以看作向量的加法。 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 新知探究2——向量加法的三角形法则 已知非零向量 ，求作向量 作法 (1)在平面内任取一点A C A B 这种作法叫做向量加法的三角形法则 （作平移，首尾相接，由起点指终点） 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 典例讲解 在平面内任取一点O， 作 ， ， 则 = + 作平移，首尾相接，由起点指终点 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 小试牛刀 小试牛刀 1.如图，在各小题中，已知非零向量，分别求作. 解：如图所示。 2.根据图示填空： 小试牛刀 E A B C D =_______ =________ =__________ =______ 小试牛刀 3.用适当的向量填空： 小试牛刀 4.根据图示填空： (1) (2) (3) (4) 解：由向量加法的三角形法则得： (1) (2) (3) (4) A D C B E 新知探究3——向量加法的平行四边形法则 思考：某物体受到两个外力F1，F2作用,则该物体所受合力怎么求？ A B C D 平行四边形法则: “起点相同，连对角” 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 新知探究3——向量加法的平行四边形法则 如图所示，已知向量 ，求作向量 ①在平面内任取一点O， ②作 ， ， ③以 为邻边作 ， 连结OC，则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 注意：向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 新知探究3——向量的加法 思考：向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？ b b a b a A C B a + b B O A C a + b b 首尾相连 共起点 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 小试牛刀 小试牛刀 小试牛刀 (1) (2) (3) (4) ③如图，在下列各小题中已知向量 ，分别用两种方法求作 高阶笔记拓展 【1】在三角形ABC中，AB+BC+CA=0；AB+BC=AC 【2】向量求和的多边形法则： 已知n个向量，依次首尾连接，则由起始向量的起点，指向末尾向量的终点的向量，即为这些向量的和.这叫做向量求和的多边形法则. 探究：非零共线向量的和的计算 (1)对于两个非零共线向量，能否求出他们的和向量？ 它们的加法与数的加法有什么关系？ a ①同向： a b ②反向： a b a b a + b b a + b 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 探究：非零共线向量的和的计算 (2)结合例1，探索 之间的关系。 1.共线 ①同向 ②反向 （1）共线 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 21 探究：非零共线向量的和的计算 (2)结合例1，探索 之间的关系。 2.不共线 ∵三角形的两边之和大于第三边 ∴ ∵三角形的两边之差小于第三边 ∴ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 敲黑板 向量形式的三角不等式 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 答疑 当向量 满足什么条件时， 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 24 小试牛刀 探究：向量加法的运算律 思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ ？ ? 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 26 探究：向量加法的运算律 （1）交换律： （2）结合律： A B C D 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 27 小试牛刀 小试牛刀 思考 C O A B 人在河中游泳，人的游速为 水流速度为 ， 那么人在水中的实际速度 与 之间的关系如何？ 提示: 课本第9页例2 例2 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小 (结果保留小数点后一位)与方向用与江水速度间的夹角表示，精确到1度. 故船实际航行速度约为,方向与水的流速间的夹角约为°. C A D 船速 B 水速 . 课本第9页例2改编 例2 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 km/h，同时江水的速度为向东2km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角表示） C A D 船速 B 水速 . 答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。 课本第8页练习 5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河. 小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向. A D C B E 课本第8页练习 A D C B P 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式是否正确（正确打“√”，错误打“×”）. × × √ 课堂小结 根据今天所学，回答下列问题： （1）向量求和有哪几个法则？ （2）向量加法的运算律有哪些？ 结合律：(a + b) + c = a + (b + c). 交换律：a + b = b + a. 课堂小结 化简：(1)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))； (2)eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))； (3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(FA,\s\up6(→)). 【解析】(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)eq \o(DG,\s\up6(→))＋eq \o(EA,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))； (2)eq \o(EG,\s\up6(→))＋eq \o(CG,\s\up6(→))＋eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \o(EB,\s\up6(→)). 【解析】(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. [对点训练] 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度 为10eq \r(3) km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实 际航行速度和方向． 1.向量三角不等式． |a＋b|与|a|,|b|之间的关系 一般地,我们有|a＋b|≤|a|＋|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立. 2.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形 法则要注意把向量移到共同起点．　 $