备战2026年浙江中考数学一轮复习 第15讲 全等三角形（综合检测）

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第四单元 三角形与四边形 第15讲 全等三角形 一．选择题 1．（2025•上栗县二模）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） 2．（2025•斗门区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 3．（2025•仙居县二模）已知△A1B1C1，△A2B2C2的面积相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B． ①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 4．（2024•钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　） A．a＝，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60° 5．（2025•绍兴一模）如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠ABC＝∠CDE＝90°，C在线段BD上，F是AE的中点，连结BF，DF，若AB＝1，DE＝2，则BF的长是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•钱塘区二模）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（2025•路桥区二模）如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1 8．（2025•漳州模拟）在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，线段AB的垂直平分线DE交BC点D，交AB点E，连接AD，则∠CAD的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．（2024•浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 10．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　） A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2 二．填空题 11．（2025•椒江区二模）如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ 　　 ． 12．（2025•瓯海区二模）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需添加一个条件 　 ．（写一个即可） 13．（2025•甘肃模拟）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若BD＝3，CD＝5，则AC＝　 　 ． 14．（2025•萧山区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝3，则BD的长为　　 ． 15．（2025•景宁县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线分别交AB，AC于点E，F． （1）若，C△BCF＝12，则S△ABC＝　　 ； （2）若AB＝m，C△BCF＝n，则S△ABC＝　　 （用含m，n的代数式表示）． 16．（2025•萧山区二模）M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，BC＝13，MN＝3，则△ABC的周长等于　　 ． 三．解答题 17．（2025•泗阳县三模）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　 　 （只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 18．（2025•临平区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：AD＝BD． （2）若AD＝12，BF＝13，求AF的长． 19．（2025•温州模拟）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC． （1）求证：△CDE是等腰三角形． （2）若AD＝5，AC＝2，求CF的长． 20．（2025•宁波模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 21．（2025•杭州模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DL⊥BC于L，过点L作LF⊥AB于F，连接DF，CD＝LB． （1）如图1，求证：4∠FDL﹣∠CAB＝180°； （2）如图2，过点L作DF的垂线交AF于H，连接DH，若∠FDL＝∠CAB，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四个与△DLC全等的三角形（△DLC除外）． 22．（2025•临平区模拟）Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD． （1）如图1，求证：AC＝BD； （2）如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD相交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形．（△BOD与△AOC除外） 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第四单元 三角形与四边形 第15讲 全等三角形 一．选择题 1．（2025•上栗县二模）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．∠BCA＝∠DCA B．∠B＝∠D＝90° C．CD＝CB D．∠BAC＝∠DAC 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】解：根据全等三角形的判定定理，已知AB＝AD，且AC＝AC， 如果添加∠BCA＝∠DCA，不能根据SSA判断△ABC≌△ADC，所以选项A错误，符合题意； 当添加∠B＝∠D＝90°，根据HL能判断△ABC≌△ADC，所以选项B正确，不符合题意； 当添加CB＝CD，根据SSS能判断△ABC≌△ADC，所以选项C正确，不符合题意； 当添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS能判断△ABC≌△ADC，所以选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，关键掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2025•斗门区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 【思路点拨】过D点作DE⊥AB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，然后根据三角形面积公式求解． 【解析】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝2， ∴△ABD的面积＝×5×2＝5． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2025•仙居县二模）已知△A1B1C1，△A2B2C2的面积相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　） A．①正确，②错误 B． ①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 【思路点拨】由相似三角形的判定方法，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可判断． 【解析】解：①A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，但∠A1和∠A2不一定相等，因此△A1B1C1和△A2B2C2不一定全等； ②由∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，推出△A1B1C1∽△A2B2C2，因此＝＝1，推出A1B1＝A2B2，判定△A1B1C1≌△A2B2C2（ASA）． ∴①错误，②正确． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，关键是掌握在相似三角形的判定方法，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 4．（2024•钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　） A．a＝，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60° 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法一一判断． 【解析】解：A、SSA不能确定三角形，本选项符合题意； B、SSS能确定三角形，本选项不符合题意； C、AAS能确定三角形，本选项不符合题意； D、△ABC只能是钝角三角形，能唯一确定，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 5．（2025•绍兴一模）如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠ABC＝∠CDE＝90°，C在线段BD上，F是AE的中点，连结BF，DF，若AB＝1，DE＝2，则BF的长是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】过点F作FH⊥BD于点H，根据全等三角形的性质得BC＝DE＝2，AB＝CD＝1，则BD＝3，证明FH是直角梯形ABDE的中位线得FH＝（AB+DE）＝，BH＝DH＝BD＝，然后在Rt△BHF中，由勾股定理即可求出BF的长． 【解析】解：过点F作FH⊥BD于点H，如图所示： ∵Rt△ABC≌Rt△CDE，AB＝1，DE＝2， ∴BC＝DE＝2，AB＝CD＝1， ∴BD＝BC+CD＝3， ∵∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴AB⊥BD，DE⊥BD， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是直角梯形， ∵FH⊥BD， ∴FH∥AB∥DE， 又∵F是AE的中点， ∴FH是直角梯形ABDE的中位线， ∴FH＝（AB+DE）＝，BH＝DH＝BD＝， 在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF＝＝＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质，梯形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 6．（2025•钱塘区二模）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝6，BC＝7，则△ABF 的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【思路点拨】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，再根据三角形周长公式计算即可． 【解析】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， ∵AB＝6，BC＝7， ∴△ABF＝AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6+7＝13， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．（2025•路桥区二模）如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1 【思路点拨】利用SAS证明△ABM≌△DCN，根据全等三角形的性质求出∠ABM＝∠1，再根据邻补角定义求解即可． 【解析】解：如图， 在△ABM和△DCN中， ， ∴△ABM≌△DCN（SAS）， ∴∠ABM＝∠1， ∵∠ABM+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 8．（2025•漳州模拟）在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，线段AB的垂直平分线DE交BC点D，交AB点E，连接AD，则∠CAD的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【思路点拨】由三角形内角和定理求出∠BAC＝70°，由线段垂直平分线的性质推出DA＝BD，得到∠BAD＝∠B＝50°，即可求出∠CAD的度数． 【解析】解：∵∠C＝60°，∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝50°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°． 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质定理推出DA＝DB． 9．（2024•浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 【思路点拨】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，则EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE， ∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3， ∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1， ∵四边形形EFGH是正方形， ∴∠DHE＝90°， ∴DE＝＝＝， 故选：C． 【点睛】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键． 10．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　） A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2 【思路点拨】连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，由正方形的性质得BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，则∠ABD＝∠NBC，即可证明△ABD≌△NBC，得∠BAD＝∠BNC，推导出∠AIC＝90°，可证明AC2+DN2＝CD2+AN2，由DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，得CD2＝2BC2＝2a2，AN2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，则y2+x2＝2a2+2y2+2a2，整理得x2﹣y2＝4a2，所以x2﹣y2为定值，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L， ∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形， ∴BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°， ∴∠ABD＝∠NBC＝90°+∠ABC， 在△ABD和△NBC中， ， ∴△ABD≌△NBC（SAS）， ∴∠BAD＝∠BNC， ∵∠ALI＝∠BLN， ∴∠AIC＝∠BAD+∠ALI＝∠BNC+∠BLN＝90°， ∴∠AIN＝∠DIN＝∠CID＝90°， ∵AC2+DN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，CD2+AN2＝AI2+CI2+DI2+NI2， ∴AC2+DN2＝CD2+AN2， ∵DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°， ∴CD2＝BD2+BC2＝2BC2＝2a2，AN2＝AB2+NB2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2， ∴y2+x2＝2a2+2y2+2a2， ∴x2﹣y2＝4a2， ∴x2﹣y2为定值， 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二．填空题 11．（2025•椒江区二模）如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ 　5　 ． 【思路点拨】由全等三角形的性质推出CD＝AB＝3，AC＝CE＝8，即可求出AD的长． 【解析】解：∵△ABC≌△CDE， ∴CD＝AB＝3，AC＝CE＝8， ∴AD＝AC﹣CD＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 12．（2025•瓯海区二模）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需添加一个条件 AB＝AC（答案不唯一）　 ．（写一个即可） 【思路点拨】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法解答即可． 【解析】解：补充的条件是AB＝AC，理由如下： 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：AB＝AC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13．（2025•甘肃模拟）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若BD＝3，CD＝5，则AC＝　8　 ． 【思路点拨】根据题意得到AD＝BD＝3，得到AC＝AD+CD＝3+5＝8，即可得到答案． 【解析】解：∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D， ∴AD＝BD， ∵BD＝3， ∴AD＝BD＝3， ∵CD＝5（已知）， ∴AC＝AD+CD＝3+5＝8， 即AC的长为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（2025•萧山区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝3，则BD的长为　　 ． 【思路点拨】过点D作DF⊥AB于点F，则DF＝DE，再由∠B＝60°即可得出结论． 【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵∠B＝60°， ∴BD＝＝＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15．（2025•景宁县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线分别交AB，AC于点E，F． （1）若，C△BCF＝12，则S△ABC＝　16　 ； （2）若AB＝m，C△BCF＝n，则S△ABC＝　　 （用含m，n的代数式表示）． 【思路点拨】（1）由中垂线的性质得AF＝BF，由C△BCF＝12得BC+AC＝12，由勾股定理得AC2+BC2＝80，进而求得AC•BC＝32，从而求出； （2）思路方法同（1）． 【解析】解：（1）∵EF是AB的中垂线， ∴AF＝BF， ∵C△BCF＝12， ∴BC+CF+BF＝12， ∴BC+CF+AF＝BC+AC＝12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2， ∵， ∴AC2+BC2＝80， 又（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC， ∴122＝80+2AC•BC， 解得AC•BC＝32， ∴， 则三角形ABC的面积为16， 故答案为：16； （2）∵EF是AB的中垂线， ∴AF＝BF， ∵C△BCF＝n， ∴BC+CF+BF＝n， ∴BC+CF+AF＝BC+AC＝n， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2， ∵AB＝m， ∴AC2+BC2＝m2， 又（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC， ∴n2＝m2+2AC•BC， 解得， ∴， 则三角形ABC的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 16．（2025•萧山区二模）M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，BC＝13，MN＝3，则△ABC的周长等于　35　 ． 【思路点拨】延长线段BN交AC于E，易证△ABN≌△AEN，可得N为BE的中点；由已知M是BC的中点，可得MN是△BCE的中位线，由中位线定理可得CE的长，根据AC＝AE+CE可得AC的长，进而得出△ABC的周长． 【解析】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN， 在△ABN和△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE＝AB＝8，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×3＝6， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝8+13+8+6＝35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 三．解答题 17．（2025•泗阳县三模）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　①（答案不唯一）　 （只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 【思路点拨】当选择①BF＝DE时，可依据“SSS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，可依据“SAS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE；综上所述即可得出答案（答案不唯一）． 【解析】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠B＝∠D，BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF， 即BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF； 当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； ∴∠B＝∠D，BF＝DE， 同理可证：△ABE≌△CDF（SAS）， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF； 当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE， 故答案为：①（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 18．（2025•临平区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：AD＝BD． （2）若AD＝12，BF＝13，求AF的长． 【思路点拨】（1）根据AD⊥BC，得出∠BDA＝∠ADC＝90°，再根据HL证明△BFD≌△ACD，即可推出结论； （2）由勾股定理求得DF＝7，进而得到AF＝AD﹣DF＝7． 【解析】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∵BF＝AC，DF＝DC， ∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）， ∴AD＝BD； （2）∵AD＝12，BF＝13， ∴BD＝12， 由勾股定理得：DF＝＝＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 19．（2025•温州模拟）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC． （1）求证：△CDE是等腰三角形． （2）若AD＝5，AC＝2，求CF的长． 【思路点拨】（1）先根据平行线的性质得到∠A＝∠B，则可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，所以CD＝CE，从而可判断△CDE是等腰三角形； （2）先根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BCE，再证明∠ADF＝∠AFD得到AD＝AF，所以AC+CF＝AD，从而可求出CF的长． 【解析】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰三角形； （2）解：∵△ADC≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BCE， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ADF＝∠ADC+∠CDF，∠AFD＝∠BCE+∠CED， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴AD＝AF， ∴AC+CF＝AD， 即2+CF＝5， ∴CF＝3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的判定与性质． 20．（2025•宁波模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 【思路点拨】根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：认同． 理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠PDE＝90°， ∴∠ACB+∠A＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠EPD＝90°， ∴∠A＝∠EPD， 在△ABC与△PDE中， ， ∴△ABC≌△PDE（AAS）， ∴CD＝AB． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．（2025•杭州模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DL⊥BC于L，过点L作LF⊥AB于F，连接DF，CD＝LB． （1）如图1，求证：4∠FDL﹣∠CAB＝180°； （2）如图2，过点L作DF的垂线交AF于H，连接DH，若∠FDL＝∠CAB，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四个与△DLC全等的三角形（△DLC除外）． 【思路点拨】（1）先证明△BLF≌△CDL，得LF＝LD，∠FDL＝∠LFD，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出4∠FDL﹣∠CAB＝180°． （2）由（1）得△BLF≌△CDL，∠DLF＝∠B＝∠C，∠FDL＝∠LFD，4∠FDL﹣∠CAB＝180°，根据∠FDL＝∠CAB，得△DLF是等边三角形，△ABC是等边三角形，进而利用三角形全等的判定方法即可得解． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC，DL⊥BC，LF⊥AB， ∴∠B＝∠C，∠BFL＝∠DLB＝∠CLD＝90°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B，∠B+∠BLF＝∠DLF+∠BLF＝90°， ∴∠B＝∠FLD，2∠B＝180°﹣∠BAC ∵CD＝LB，∠B＝∠C，∠BFL＝∠CLD＝90°， ∴△BLF≌△CDL， ∴LF＝LD， ∴∠FDL＝∠LFD， ∴2∠FDL＝180°﹣∠FLD， ∴4∠FDL﹣∠CAB＝360°﹣2∠FLD﹣∠CAB ＝360°﹣2∠B﹣∠CAB ＝360°﹣（180°﹣∠CAB）﹣∠CAB ＝180°； （2）解：由条件可知∠FDL＝∠CAB， ∴3∠FDL＝180°， ∴∠FDL＝∠LFD＝∠CAB＝60°， ∴△DLF是等边三角形， ∴DL＝FD＝FL，∠DLF＝∠B＝∠C＝60°＝∠FDL＝∠LFD＝∠CAB， 由条件可知△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵LF⊥AB，∠B＝60°， ∴∠BLF＝30°，∠LFH＝∠LFB＝90°， ∵LH⊥DF，LD＝LF， ∴∠HLF＝∠HLD＝30°＝∠BLF， ∵LF＝LF， ∴△LFH≌△LFB（SAS）， ∴BL＝LH＝CD，BF＝FH＝CL，DL＝LF＝LF， ∴△CDL≌△HLF（SSS）， ∵LD＝LF，∠DLH＝∠FLH，LH＝LH， ∴△DLH≌△FLH（SAS）， ∴DL＝FL，DH＝FH＝CL，CH＝CD， ∴△CDL≌△HLD（SSS）， ∵∠C＝60°，DL⊥BC， ∴∠CDL＝30°， ∴∠ADF＝180°﹣30°﹣60°＝90°＝∠DLC， ∵∠C＝∠A＝60°，DF＝DL， ∴△CDL≌△AFD（AAS）， 综上可得，与△DLC全等的三角形有△LDH，△LFH，△LFB，△FDA． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、四边形内角和、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定（AAS、ASA等），熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定条件以及等边三角形的判定及性质，并能灵活运用这些知识进行角度和边的等量代换是解题的关键． 22．（2025•临平区模拟）Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD． （1）如图1，求证：AC＝BD； （2）如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD相交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形．（△BOD与△AOC除外） 【思路点拨】（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，根据全等三角形的性质即可证明AC＝BD； （2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形． 【解析】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， 即∠BOD＝∠AOC， 在△BOD和△AOC中， ， ∴△BOD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝AC， 即AC＝BD； （2）解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，且OA＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO＝∠BAO＝∠DCO＝45°， 由（1）得△BOD≌△AOC， ∴BD＝AC，∠OBD＝∠OAC＝∠ODB＝∠OCA， 在△DFB和△AFC中，∠OBD﹣45°＝∠OCA﹣45°， 即∠DBF＝∠ACF， 又∠DFB＝∠AFC，BD＝AC， ∴△DFB≌△AFC（AAS）， 在△DCB和△ABC中， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， 则45°﹣∠OBC＝45°﹣∠OCB， ∴∠ABC＝∠DCB， ∵∠OAC＝∠ODB， 则45°+∠OAC＝45°+∠ODB， ∴∠BAC＝∠CDB， ∵AB＝CD， ∴△DCB≌△ABC（ASA）， 同理，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $