1.3.2 函数的极值与导数课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数 若在区间(a，b)内， ，则函数 f (x) 在此区间内单调递增，(a，b)为 f (x) 的单调递增区间； 若在区间(a，b)内， ，则函数 f (x) 在此区间内单调递减，(a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 1.函数的导数与函数的单调性的关系： f ′ (x) > 0 f ′ (x) < 0 正增,负减. 2.利用导数确定函数的单调性步骤： （1）确定函数 f (x)的 ； （2）求出函数的导数 f ′ (x) ； （3）在定义域内 解不等式 f ′ (x)>0，得函数单增区间； 解不等式 f ′ (x)<0，得函数单减区间． 注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 定义域 导数是否还可以研究函数的其他性质？ 如图，设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的 一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． 极大值点 函数极值点和极值的概念 如图，设函数 y = f (x) 在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的 一个点，若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就 说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 极小值点 极大值点 极小值点 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点． 是局部开区间上的最值,是函数在某些区间内的局部性质 试一试：观察下列函数的图象，求出该函数的极值点，并思考函数的极大值一定大于极小值吗？ 极大值点：x1，x3，x5 极小值点：x2，x4． y = f (x) 由图可知，函数的某些极大值有时比其他极大值小，如 f (x1) < f (x3) ，甚至可能比一些极小值还小，如 f (x1) < f (x4) ． 对比最值的概念，你能说说极值与最值有何区别吗？ 函数的最值与函数的极值的区别： （1）最值是函数在定义域内函数值取得的最大值或最小值；一个函数之多只有一个最大值和一个最小值，且最大值大于最小值． （2）极值是函数的局部性概念，是函数在定义域内某个开区间的最值；一个函数可以有多个极值，且极大值与极小值大小不定． 说一说：结合下图，你认为函数的单调性与函数的极值有什么联系？ 若 y = f (x)在(a，x0]上单调递增，在[x0，b)上单调递减，则x0是极大值点， f (x0)是极大值； 若 y = f (x)在(a，x0]上单调递减，在[x0，b)上单调递增，则x0是极小值点， f (x0)是极小值． 议一议：观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? x x0左侧 x0 x0右侧 f (x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f (x) f (x) 增 f (x) >0 f (x) =0 f (x) <0 极大值 减 f (x) <0 f (x) =0 增 减 极小值 f (x) >0 现在你能说说如何判断f (x0)是极大值或是极小值吗？ 左正右负为极大，右正左负为极小 函数极值与导数的关系 o a x0 b x y o a x0 b x y 1.已知函数f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：如图,在(a,c),(d,b)上,f '(x)≥0, 所以函数f(x)在(a,c),(d,b)上单调递增, 在(c,d)上,f '(x)<0,所以f(x)在(c,d)上单调递减, 所以当x=c时,函数f(x)取得极大值,当x=d时,函数f(x)取得极小值. 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1. A 11 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? x y O f (x)x3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点. f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 想一想：函数在极值点的导数为0，反过来，导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点． 若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点． 驻点，就是驻扎下来稍事休息支点，至于休息之后继续前进还是后退，是另一回事． 也就是说，对可导函数而言，极值点一定是为驻点，而驻点不一定是极值点． 在什么条件下，驻点才是函数的极值点呢？ 如果一个函数在驻点的两侧单调性互异，即函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点． 若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点． 如果函数 y = f (x)在某个区间内可导，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号 （即讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 例1 试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 例1 试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 单调函数没有极值 例2 求函数 g (x) = x2 (3－x) 的极大值和极小值． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) g′ (x) g (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 当有多个区间时，列表能更直观方便的解决问题 2.求函数f(x)=x3-12x+12的极值. 解： =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 =0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论： (1)当 >0即x>2,或x<-2时; (2)当 <0即-2<x<2时; 当x变化时， , f(x)的变化情况如下表； x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + f(x) 单调递增↗ 28 单调递减↘ -4 单调递增↗ 当x变化时， , f(x)的变化情况如下表； 因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4 20 图象如右，结合图形来看，极值分布的位置将更直观. 当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4 例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于（ ） A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3 C 解：∵f (x)=x3+ax2+bx+a2,∴f '(x)=3x2+2ax+b. 由题意得 即 当时,f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 此时函数f(x)单调递增,无极值,不符合题意. ∴a=4. 这里是已知极值，求参数，请先与同学交流解题思路，再求解. 22 3.函数f (x) = ax3＋bx在x=1处有极值－2，求a，b的值． 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点： （1）根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组求解； （2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证充分性． 知识点 思想方法 函数极值的定义 函数的极值与导数的关系 求函数极值的步骤 数形结合 转化与化归 注意：导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件. 1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是（ ） A.在(1,2)上函数f(x)单调递增 B.在(3,4)上函数f(x)单调递减 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 D 2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是（ ） A.(-∞,2) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 解：∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值, ∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15, ∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 由f'(x)>0得x<2或x>3. AB 解：f '(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3, 所以 解得a=b=3,经检验a=b=3满足题意, 所以a-b=0. 3.函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a-b的值等于（ ） A.0 B.6 C.3 D.2 A $