3.3.2与摸球相关的概率 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 3.3.2与摸球相关的概率 第三章 概率初步 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月8日 2026年3月8日星期日10时11分4秒 2026年3月8日星期日10时11分5秒 新课导入 箱子里有 1 个红球和 1 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 箱子里有 1 个红球和 2 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 计算与面积有关的事件的概率 教学过程 幻灯片1：情境导入 呈现问题：一个圆形转盘被等分为红、黄、蓝三个扇形，转动转盘，求指针落在红色区域的概率。引导学生回忆古典概型概率公式，提问：若转盘各区域面积不等，还能用“符合条件的结果数/总结果数”计算吗？引出课题——计算与面积有关的事件的概率。 幻灯片2：新知探究 1. 核心原理推导：引导学生思考“概率与面积的关系”，通过类比古典概型，得出结论：当试验结果落在平面区域内的每一点是等可能的，事件A的概率P(A)=事件A所在区域的面积/试验的全部结果所构成的区域的面积。2. 关键词解读：强调“等可能”“平面区域”两个前提条件，举例说明非等可能情况（如转盘质地不均）不适用此公式。 幻灯片3：例题讲解 例题：在边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆（直径与正方形一边重合），随机向正方形内投一点，求该点落在半圆内的概率。步骤拆解：1. 确定总区域（正方形）面积：2×2=4；2. 确定事件A（点落半圆）区域面积：(1/2)π×1²=π/2；3. 代入公式计算：P(A)=π/2÷4=π/8。强调“先定区域，再算面积，最后求比值”的解题步骤。 幻灯片4：巩固练习 练习：一个长方形花园长10米、宽5米，花园内有一个边长为2米的正方形花坛，随机在花园内选一点种花，求该点落在花坛外的概率。引导学生独立思考：1. 总区域面积：10×5=50；2. 事件A（花坛外）面积=50-2×2=46；3. 计算概率：46÷50=23/25。师生共同核对答案，纠正易错点（漏算“反向区域”面积）。 幻灯片5：课堂小结 1. 核心公式：P(A)=事件A区域面积/总区域面积；2. 适用条件：试验结果等可能落在平面区域内；3. 解题步骤：定区域→算面积→求比值。通过提问“今天你收获了什么？”梳理知识点，强化记忆。 新课探究 （1）一个袋中装有 2 个红球和 3 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P (摸到红球) = 问题：等可能试验的概率计算公式是什么？ 概率公式 事件 A 包含其中的 m 种结果 一次试验有 n 种等可能的结果 思考：(1) 一个袋中装有 2 个红球和 3 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 摸出的球不是红球就是白球，所以摸到 红球和白球的可能性相同，P(红球) = . 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 你觉得小明说得对吗？ 小明 从盒中任意摸出一个球， 如果将每一个球都编上号码， 摸出红球可能出现两种等可能的结果：摸出 1 号球或 2 号球. 共有 5 种等可能的结果：1 号球，2 号球，3 号球，4 号球，5 号球. P (摸到红球) = 1 2 3 4 5 小颖 你认为谁说得有道理 ? 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 【归纳总结】 P(摸出某种颜色的球) 该种颜色的球的数量 球的总数 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 (2) 小明和小颖一起做游戏. 在一个装有 2 个红球和 3 个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？ 解： 这个游戏不公平. 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 摸出白球可能出现三种等可能的结果： 摸出 3 号球或 4 号球或 5 号球. 因为 所以这个游戏对双方不公平. 理由如下： 将小球编号，如图： 小明胜：P (摸到红球) = 小颖胜：P(摸到白球) = 1 2 3 4 5 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 思考 在一个双人游戏中，你怎样理解游戏对双方 是否公平？ 双方赢的可能性相等就公平，否则就不公平. 并不是指每方获胜的概率必是 ，而是指只要获胜的概率相等即可. 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 设计游戏时需注意的事项： (1) 必须保证游戏中各类事件的发生都具有等可能性，即试验中，如果总设计有 n 种可能的结果，那么每种结果发生的可能性都相等，即机会相等，即每种结果发生的概率均为 . (2) 根据随机事件发生的概率的要求制订相应的游戏规则，选择合适的游戏工具. 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 例1 在一个不透明的袋中有 6 个除颜色外其他都相 同的小球，其中 3 个红球，2 个黄球，1 个白球． (1) 乐乐从中任意摸出一个小球，摸到的是白球的概率是多少？ 解：摸出的求一共有 6 种情况， 摸出白球只有 1 种情况 所以 P (摸出白球)＝ 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 解：该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意 可知 P(乐乐获胜)＝ P(亮亮获胜)＝ 所以他们获胜的概率相等，即游戏是公平的． 方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件发生的概率是否相同． (2) 乐乐和亮亮商定一个游戏，规则如下：乐乐从中 任意摸出一个小球，摸到红球则乐乐胜，否则亮亮 胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？ 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 思考 选取 4 个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. (1) 使得摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率也是 . 在一个不透明的袋中有 4 个除颜色外其他都相同的小球，其中 2 个红球，2 个白球. 搅匀后，从中任意摸一个球，则摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率也是 . 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 (2) 使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 . 在一个不透明的袋中有 4 个除颜色外其他都相同 的小球，其中 2 个红球，1个白球，1个黄球. 搅匀后，从中任意摸一个球，则摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 . 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 【思考交流】(1) 你能选取 8 个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗? (2) 你能选取 7 个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗? 答：不能，7÷2＝3.5，球都是整数个. 答：① 4 个红球、4 个白球； ② 4个红球、2 个白球、2 个黄球. 探究点：与摸球相关的等可能事件的概率 2. 游戏公平的原则：关注事件的发生概率一定相同. 1. 与摸球相关的等可能事件概率的求法 P (摸出某种颜色球) 该种颜色的球的数量 球的总数 1. 一个不透明的盒子中放有 4 个白色乒乓球和 2 个黄 色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随 机摸出 1 个乒乓球，则摸出黄色乒乓球的概率为 (　C　) A. B. C. D. C 随堂练习 2. 甲袋中装着2个红球、8个白球，乙袋中装着8个 红球、2个白球.如果你想从两个口袋中取出1个白 球，成功机会较大的是(　A　) A. 甲袋 B. 乙袋 C. 一样大 D. 无法确定 A 3. 袋中有 x 个红球，12 个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为 ，则x＝ . 4　 随堂练习 4. 一个袋中装有红、黄、白三种颜色的小球，它们 除颜色不同外其余都相同，其中，红球有 10 个，黄 球有 6 个，白球有 4 个，搅匀袋中的球. (1)闭上眼睛随机地从袋中摸出1个球，分别求出摸 到红球、黄球、白球的概率； 随堂练习 解：(1)因为红球有 10 个，黄球有 6 个，白球有 4 个， 所以袋中球的总数为 20 个. 所以摸到红球、黄球、白球的概率分别为 P(红球)＝ ＝ ， P(黄球)＝ ＝ ，P(白球)＝ ＝ . 随堂练习 (2)若先摸出 2 个红球、2 个黄球、1 个白球，将它们 放在桌上，再闭上眼随机地从袋中剩下的球中摸出 1 个球，求这时摸到红球、黄球、白球的概率. 解：(2)因为先摸出 2 个红球、2 个黄球、1 个白球， 将它们放在桌上，所以此时袋中剩余红球 8 个， 黄球4个，白球3个，球的总数为15个. 所以这时摸到红球、黄球、白球的概率分别为 P(红球)＝ ，P(黄球)＝ ，P(白球)＝ ＝ . 随堂练习 1. 小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整 数，然后都拿给对方看.他们约定：若两人所写的数都是奇数 或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数， 另一个是偶数，则小亮获胜.这个游戏( ) C A. 对小明有利 B. 对小亮有利 C. 公平 D. 无法确定对谁有利 中考考法 24 2.老师利用如图所示的幻方设计了一个游戏，游戏规则为： 甲、乙两人轮流在幻方上投掷棋子（落在边线上或区域外则 重新投掷），若棋子落在奇数所在方格上则甲获胜，若棋子 落在偶数所在方格上则乙获胜，那么获胜概率大的是____. 14 7 12 9 11 13 10 15 8 甲 中考考法 25 【点拨】 在这个幻方中共有9个数字，所以棋子落下会有9种等可能的 结果，其中是奇数的有5个数，所以甲获胜的概率是 ，其中 是偶数的有4个数，所以乙获胜的概率是.因为 ,所以甲 获胜的概率大. 中考考法 26 3.盒子中有8个白色乒乓球，6个黄色乒乓球，2个红色乒乓球， 16个乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小明同学从盒 子中任意摸出一个乒乓球. （1）请你计算出摸到每种颜色乒乓球的概率， （摸到白色 乒乓球）__;（摸到黄色乒乓球）__; （摸到红色乒乓 球） __. 中考考法 27 （2）小明和小亮同学一起做游戏，小明或小亮从上述盒子 中任意摸出一个乒乓球，如果摸到白色乒乓球，小明获胜， 否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗?为什么? 【解】公平.因为（摸到白色乒乓球）, （摸到黄色或红 色乒乓球）， ，所以游戏对双方公平. 中考考法 28 4. 某口袋中有10个球（球除颜色外其他都相同），其中白球 个，绿球 个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若 为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个 球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则 应该是( ) D A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【点拨】由题意可知，绿球与黑球的个数应相等，也为 个， 列方程可得，解得 .故选D. 中考考法 29 5. 请设计一个摸球游戏，使得 （摸到红球），（摸到白球） ，说明设计方案. 【解】 （答案不唯一）一个袋子中装有12个球（除颜色外其他都相 同），其中红球4个，白球3个，黄球5个. 从中任取一球，总共有12种等可能的结果，其中摸到红球的 结果有4种，摸到白球的结果有3种， 所以（摸到红球），（摸到白球） . 中考考法 30 6. 某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美 德”演讲比赛.每班选拔一人参加.七年级（1）班的小丽和小华 表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的 演讲比赛.为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里 装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1， 2，3，4，5，6，7，8，9，10.将它们充分摇匀，并从中任意 摸出一个小球.规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸 中考考法 31 出小球的号码能被5整除时，则小华去.这个游戏对双方公平 吗？请说明理由.如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对 双方公平？ 中考考法 【解】 这个游戏对双方不公平.理由如下： 因为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，质数有2,3,5,7，能 被5整除的数有5,10，所以小丽去的概率为 ，小华去的 概率为.因为 ,所以这个游戏不公平. 游戏规则修改不唯一，例如：摸出小球的号码为奇数时，则 小丽去；摸出小球的号码为偶数时，则小华去. 中考考法 33 $