28.2.2应用举例 同步练2025-2026学年人教 版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.2.2应用举例 A 基础过关 1.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置AB绕点O 旋转到A'B'的位置,已知AO=4m ,若栏杆的旋转角 栏杆A 端升高的高度是 ( ) A. B.4sin 50°m C. D.4cos50°m 2.如图，河堤横断面迎水坡 BC 的坡度是1： ，堤高AC=5m ,则坡面 BC 的长度是 . B随堂检测 3.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站,AB=2km,从A 处测得船C 在北偏东45°的方向，从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船 C 离海岸线 l 的距离(即CD 的长)为 ( ) A.4km B. C. D. 4.如图，为了测得电视塔的高度 AB，在D 处用高为1m 的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进 100m到达F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为() A. B.51 C. D.101 5.如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为 ( ) A. 米B. 米 C. 米D. 米 6.如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的 A 处，若渔船沿北偏西75°方向以 40 海里/时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到 B 在C 的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为() A.20海里 B.10 海里 C.20 海里 D.30海里 7.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，AC 是水平线，BA 与AC 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知AC=4m，楼梯宽度为 1m ，则地毯的面积至少需要 ( ) A. B. C. D. 8.如图，一个直角梯形的堤坝坡长 AB 为 6 米,斜坡 AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE 的长度为 ( ) A.3 B.3 C. 米D. 米 9.如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，这时，测得岛屿 P 在其北偏西30°方向，则海监船到岛屿的最小距离是 km；保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即PC 的长)为 km(结果保留根号). 10.如图,河流两岸a,b 互相平行,点 A,B 是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B 的距离约为200米.某人在河岸b上的点 P 处测得∠APC=75°,∠BPD =30°，则河流的宽度约为 米. 11.某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图，该小组在电视塔 BC 前的一座楼房楼顶A 处观测到电视塔最高点B 的仰角为(65°,电视塔最低点 C 的俯角为 30°，楼顶 A 与电视塔的水平距离AD 为 90 米，求电视塔 BC 的高度.(结果精确到1米，参考数据： 12.如图，射线 MN 表示一艘轮船的航行路线，从M 到 N 的走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东60°方向上有一点 A,A 处距离 M 处100海里. (1)求点 A 到航线MN 的距离; (2)在航线 MN 上有一点 B,且 15°，若轮船的速度为50 海里/时，求轮船从 M 处到 B 处所用时间为多少小时?(结果保留根号) C能力提升 13.如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到 P 处再测得点C 的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O，A，B在同一条直线上.求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点 P 的铅直高度.(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式) 1. B栏杆 A 端升高的高度为 2.10 m ∵迎水坡 BC 的坡度为1: 即 ∴BC=2AC=10(m). 3. B 如图,过点 B 作BE⊥AC 于点E,由题意可得,∠ACD=45°,∠BCD=22.5°, ∴∠ACB=22.5°, ∴BC 平分∠ACD. ∵BE⊥AC,BD⊥CD, ∴BE=BD, ∵AB=2,∠CAD=45°, 4. C 设AG=x m, 在 Rt△AEG 中, 在 Rt△ACG 中, ∵CG-EG=CE, 解得 5. D 如图,作 DM⊥AB 于M,CN⊥DM 于N. ∵∠BCD=120°,∠B=∠ODC=90°, ∴∠DOM=60°,∠DCN=30°, 米. 6. C 如图, 由题意可知,∠DAB=∠ABE=15°,∠CBE=60°, ∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°, ∠ABC=∠CBE-∠ABE=45°, ∴在 Rt△ABC 中. (海里). 7. D 在 Rt△ABC 中,BC=AC·tanθ=4tanθ, ∴AC+BC=4+4tanθ, ∴地毯的面积至少需要 1×(4+4tanθ)=(4+4tanθ)m², 8. A 如图,作AH⊥BC 于 H. 在 Rt△ABH 中, 则 ∵∠E=45°, (米). 在Rt△PAB中 ,AB=20,∠APB=30°, ∴海监船到岛屿的最小距离是： 由题意 BC=40, ∴PB=BC,∴∠C=∠CPB, ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°, ∴∠C=30°, 即海监船到达C 处时与岛屿P 之间的距离为40 km. 10.100 如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点E. ∵∠APC=75°,∠BPD=30°, ∴∠APB=75°, ∵∠BAP=∠APC=75°, ∴∠APB=∠BAP, ∴AB=PB=200, ∵∠ABP=∠BPD=30°, (米)，即河流的宽度约为100米. 11.解:在 Rt△ADB 中, ∵∠BAD=65°,AD=90, 同理,在 Rt△ADC 中, ∵∠DAC=30°,AD=90, ∴BC=BD+CD=192.6+51.9=244.5≈245(米). ∴电视塔 BC 的高度约为245 米. 12.解:(1)如图,过点 A 作AH⊥MN 于点 H. ∵∠QMB=30°,∠QMA=60°, ∴∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°. 在 Rt△AMH 中, 海里)， ∴点 A 到航线MN 的距离为50海里； (2)在 Rt△AMH 中, ∵∠AMH=30°,∴∠HAM=60°, ∵∠MAB=15°, ∴∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°, ∴BH=AH=50, 海里， 小时， ∴轮船从 M 处到B 处所用时间为( 小时. 13.解:作 PE⊥OB 于点E,PF⊥OC 于点F,在 Rt△AOC 中,AO=100,∠CAO=60°, 设PE=x米, 在 Rt△PCF 中,∠CPF=45°,∴PF=CF. ∵PF=OE=AO+AE=100+2x, 解得 ∴电视塔OC 的高度为100 米，点 P 的铅直高度为 米. 学科网（北京）股份有限公司 $