7.3 第2课时　定理、证明 教案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 7.3 第2课时 定理、证明 1．掌握定理的概念，并能分清命题与定理之间的关系． 2．了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理． 重点：掌握定理的概念，了解证明的意义． 难点：掌握推理的方法和步骤． 一、导入新课 知识链接 1．什么叫定义？ 2．命题的结构是什么？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：定理 讨论：判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；(真命题) (2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(假命题) (3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；(假命题) (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(真命题) (5)两点确定一条直线．(真命题) 要点归纳：上面练习中的(1)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．(4)(5)是真命题，属于基本事实．　 思考：你能举例说出几个学过的定理吗？ 探究二：证明 讨论：前面我们学习了命题、定理，现在我们来学习证明，命题、定理和证明之间有什么联系和区别？ 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 要点归纳： 　 教材P23例题在课件中展示，师生互动． 如图，给出下列论断：(1)AB∥DC，(2)AD∥BC，(3)∠A＋∠ABC＝180°，(4)∠ABC＋∠C＝180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题．想一想，若连接BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？ 思考：证明需要注意些什么？ 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等． 三、当堂检测　　　　　　　　　　　　 1．请把下面证明过程补充完整． 如图，已知AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于点G，交AC于点F，∠E＝∠1.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°(垂直的定义). ∴AD∥EG(同位角相等，两直线平行). ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)， ∠E＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠E＝∠__1__(已知)， ∴∠2＝∠3(等式的基本事实). ∴AD平分∠BAC(角平分线的定义). 2．如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． (1)你构造的是哪几个命题？ (2)请选择其中一个真命题加以证明． 解：(1)由①②得③；由①③得②；由②③得①. (2)由①②得③，证明过程如下：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠C. 又∵∠B＝∠C，∴∠EAB＝∠B.∴CE∥BF.∴∠E＝∠F. (答案不唯一) (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并能积极主动地提出各类问题并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足，针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $