第一章 整式的乘除 章节检测卷（AB卷） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2025-2026学年七年级数学下学期第一章（整式的乘除） · 章末检测卷-B卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版新教材七年级数学下册第1章（整式的乘除）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 5．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 6．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．已知，．则的值为（   ） A．3 B．18 C． D． 8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 11．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 12．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若，则的值为______． 14．比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜） 15．去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 16．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．先化简，再求值：，其中，． 18．计算： (1)， (2)． 19．“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克． (1)一粒大米约重多少克？ (2)全国按14亿人口，若每人每餐节约一粒大米，则每餐大约能节约大米多少千克？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少万元？ 20．（1）先化简，再求值：，其中． （2）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 21．如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 22．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 23．将8个直角边长分别为和的直角三角形拼成如下图案. (1)该图案可以用来证明哪个等式是成立的； (2)请从代数的角度来证明（1）中的式子是成立的； (3)若已知，，求的值. 24．已知 ．观察下列等式： ； ； ； …… (1)猜想：___________； (2)证明你在（1）中的猜想； (3)根据你的猜想计算：． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2025-2026学年七年级数学下学期第一章（整式的乘除） · 章末检测卷-A卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版新教材七年级数学下册第1章（整式的乘除）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．若展开合并后不含项，则常数的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 6．若，求的值是（    ） A．5 B．6 C． D． 7．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 8．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 11．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 12．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图中的杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：按上述规律，则的展开式中，从左起第三项的系数为______． 14．图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________． 15．计算 __． 16．若是一个完全平方式，则m的值是___________． 三、解答题（本大题共9小题，每小题8分，满分72分） 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)． 19．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 20．小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 21．信息存储设备常用等作为存储量的单位，其中（字节），．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某文件的大小是等．对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少字节？ 22．已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 23．新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？ (2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”． 24．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a、b的正方形和长为b．宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： (1)图3可以解释为等式________． (2)要拼出一个两边长为，的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论． 25．（1）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成两个图形．请将分割成的这两个图形拼成一个常见的几何图形，要求画出两种不同的图形，并用图1剪拼前后的两个图形验证一个乘法公式． （2）如图2，某小区的花园起初被设计为边长为a米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：南边往北平移x（x＜a）米，而东边往东平移x米，问： ①修改后的花园面积是多少？ ②在周长为定值4a的长方形中，什么时候其面积最大？并说明理由．   试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2025-2026学年七年级数学下学期第一章（整式的乘除） · 章末检测卷-A卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版新教材七年级数学下册第1章（整式的乘除）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 2．若展开合并后不含项，则常数的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握多项式乘多项式可先拆分成多项式乘单项式是解题关键． 利用多项式乘多项式法则计算，合并，不含项得，计算即可． 【详解】解：， 根据题意，得：， 解得． 故选：A． 3．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 5．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的实际应用，根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴小路的宽度是， 故选：． 6．若，求的值是（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则的逆运算，比较简单．先逆用同底数幂的乘法法则把化成的形式，再把代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 7．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可． 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键． 8．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键掌握公式的特点并灵活利用平方差公式和完全平方公式进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，多项式除以单项式，多项式乘多项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 10．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键． 先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可． 【详解】解：， ，， 故选：C 11．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图①可得：阴影部分的面积为：； 由图②可得：阴影部分的面积为：， 再利用阴影部分的面积相等可得答案． 本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键． 【详解】解：由图①可得，阴影部分的面积为．由图②可得，阴影部分的面积为． ∵阴影部分的面积相等，、 ∴． 故选：D． 12．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图中的杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：按上述规律，则的展开式中，从左起第三项的系数为______． 【答案】 【分析】由题干中的等式总结规律即可得出答案，本题考查数式规律问题，由题干中已知等式总结出规律是解题的关键． 【详解】解：由题干中代数式可得，的展开式中，从左到右各项的系数依次为则其展开式中从左起第三项的系数为， 故答案为：． 14．图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________． 【答案】 【分析】大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，因此有 ． 【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得，； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算方法，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提． 15．计算 __． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则即可． 【详解】解：原式 故答案为： 16．若是一个完全平方式，则m的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，每小题8分，满分72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方和多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 20．小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 【答案】(1) (2)平方米，元 【分析】本题主要考查了代数式表示数量关系，理解图示中的数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的书写整式的计算方法是关键． （1）根据图示的数量关系，用字母表示数量关系即可； （2）根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据图示，卧室的长为米，宽为（米）， ∴卧室的面积为：（平方米）， 故答案为：； （2）解：客厅的面积为：（平方米）， 厨房的长为（米），宽为米，则面积为（平方米）， 卫生间的长为米，宽为（米），则面积为（平方米）， ∴（平方米）， ∴卧室以外的部分的面积为平方米， ∵某种地砖价格为元/平方米， ∴（元）， ∴购买所需地砖至少需要元． 21．信息存储设备常用等作为存储量的单位，其中（字节），．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某文件的大小是等．对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少字节？ 【答案】. 【分析】根据已知的各存储单位间的换算关系，从逐步换算到字节，通过连续的乘法运算得出结果．本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及存储单位间的换算关系，熟练掌握各存储单位的换算公式与同底数幂乘法法则（，，、为整数）是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ , ∴一个存储量为的闪存盘，其容量有字节. 22．已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 【答案】(1)； (2)4，证明见解析． 【分析】本题考查了规律性：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律； （1）观察已知等式得到一般性规律，写出第6个等式与第n个等式即可； （2）任意两个连续偶数的平方差能被4整数，验证即可． 【详解】（1）解：第6个等式为：， 第n个等式为：； （2）解：任意两个连续偶数的平方差能被4整除， 理由为：设m为整数，则， 则任意两个连续偶数的平方差能被4整除． 23．新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？ (2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”． 【答案】(1)嘉嘉说的对 (2)，说明见解析 【分析】（1）通过计算结合“4倍数”的概念求解即可； （2）设三个连续偶数分别为，，，然后通过计算结合“4倍数”的概念求解即可． 【详解】（1）嘉嘉：，是“4倍数”， 琪琪：，不是“4倍数”．所以嘉嘉说的对． （2）证明：设三个连续偶数分别为，，， ， ∵n为整数， ∴是“4倍数”． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式． 24．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a、b的正方形和长为b．宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： (1)图3可以解释为等式________． (2)要拼出一个两边长为，的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论． 【答案】(1) (2)画图见解析，需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块 【分析】（1）根据图形面积和求解列式可得此题结果； （2）根据边长画出图形，并根据面积列式写出结果即可． 【详解】（1）解：∵图3面积为； ∴图3可以解释为等式； 故答案为：； （2）解：需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示： 整式乘法验证：， ∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块． 【点睛】此题考查了整式乘法几何意义的应用能力，关键是能将图形面积和整式乘法算式相结合解决问题． 25．（1）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成两个图形．请将分割成的这两个图形拼成一个常见的几何图形，要求画出两种不同的图形，并用图1剪拼前后的两个图形验证一个乘法公式． （2）如图2，某小区的花园起初被设计为边长为a米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：南边往北平移x（x＜a）米，而东边往东平移x米，问： ①修改后的花园面积是多少？ ②在周长为定值4a的长方形中，什么时候其面积最大？并说明理由．   【答案】（1）见解析；（2）（a＋x）（a－x）＝a2－x2；②长宽相等，均为a时，面积最大，理由见解析 【分析】（1）可以拼成梯形或拼成长为a+b、宽为a﹣b的长方形，利用不同方法表示同一图形面积来验证平方差公式； （2）①修改后2的花园是个长为（a+x）米、宽为（a﹣x）米的长方形，由长方形的面积＝长×宽；②在周长为定值4a的长方形中，当边长为a为正方形时，面积最大． 【详解】解：（1）拼成的图形如图所示． 第一种： （a﹣b）a+（a﹣b）b＝a2﹣b2 ，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 第二种： 即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）①修改后的花园面积是（a＋x）（a－x）＝a2－x2． ②当长宽相等，均为a时，面积最大． 理由：设长为x，宽为y，则x＋y＝2a． 则面积为S＝xy＝[（x＋y）2－（x－y）2]＝[（2a）2－（x－y）2]， 显然，当x＝y时，S取得最大值a2． 【点睛】此题主要考查乘法公式的应用以及与图形的面积的结合，解题关键是树立数形结合思想，利用平方差公式求解． 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2025-2026学年七年级数学下学期第一章（整式的乘除） · 章末检测卷-B卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版新教材七年级数学下册第1章（整式的乘除）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 5．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 6．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．已知，．则的值为（   ） A．3 B．18 C． D． 8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 11．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 12．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若，则的值为______． 14．比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜） 15．去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 16．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．先化简，再求值：，其中，． 18．计算： (1)， (2)． 19．“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得1000粒大米约重20克． (1)一粒大米约重多少克？ (2)全国按14亿人口，若每人每餐节约一粒大米，则每餐大约能节约大米多少千克？ (3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少万元？ 20．（1）先化简，再求值：，其中． （2）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 21．如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． (1)请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． (2)请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 22．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 23．将8个直角边长分别为和的直角三角形拼成如下图案. (1)该图案可以用来证明哪个等式是成立的； (2)请从代数的角度来证明（1）中的式子是成立的； (3)若已知，，求的值. 24．已知 ．观察下列等式： ； ； ； …… (1)猜想：___________； (2)证明你在（1）中的猜想； (3)根据你的猜想计算：． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $