5.3.2函数的极值与最大（小）值(3)课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与 最大(小)值 (3) 5.3 导数在研究函数中的应用 ——利用导数解决其它综合问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 求函数 y＝f (x) 在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤： 复习回顾 题型一：函数交点(方程根)个数的问题 例7 给定函数. (1) 判断函数的单调性，并求出的极值； 解：(1) 函数的定义域为. x (－∞, －2) －2 (－2, +∞) f '(x) 0 f (x) 当变化时、的变化情况如表所示: 令f '(x) =0,解得： ∵ f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex – + 单调递减 单调递增 ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当时，有极小值= 题型一：函数交点(方程根)个数的问题 例7 给定函数. (2) 画出函数的大致图象； 解：(2) 令=0，解得： 当时， 0; 当时， 0. ∴的图象经过特殊点A( ), B,C. 当时, 与一次函数相比,指数函数 呈爆炸性增长, 从而 当时， , . 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示: x y O 1 -1 -2 • • • 题型一：函数交点(方程根)个数的问题 例7 给定函数. (3) 求出方程= ()的解的个数. 解： x y O 1 -1 -2 • • • 当时，有最小值 所以，方程= 的解得个数有如下结论； 补充练习 1. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若f(x)在x=1处有极值-1,求b,c的值; (2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的 交点,求实数k的取值范围. 解: (1)∵f(x)=x3+bx2+cx+2, ∴f'(x)=3x2+2bx+c. 由已知得f'(1)=0, f(1)=-1, 经验证, b=1, c=-5 符合题意. 补充练习 (2)由(1)知f (x)=x3+x2-5x+2，f'(x)=3x2+2x-5. 令f'(x)=0,解得x= - ，或x=1. 当x变化时，f'(x)，f (x)的变化情况如下表: 当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=-1. 补充练习 函数f(x)=x3+x2-5x+2的大致图象如图所示. 补充练习 2. 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a. (1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象; 解: (1)由f(x)=-x3+3x+a，得f'(x)=-3x2+3, 令f'(x)=0，得x=1或x=-1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示. 由表可知函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2，极大值为f(1)=a+2. 由函数f(x)的单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示. x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 a-2 单调递增 a+2 单调递减 补充练习 解:(2) 当极大值a+2=0时,极小值a-2<0, 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=-2满足条件; 当极小值a-2=0时,极大值a+2>0, 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=2满足条件. 综上,当a=±2时,方程恰有两个实数根. 2. 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a. (2)当a为何值时，方程f(x)=0恰有两个实数根? 方法总结 方程根的问题可以转化为相应函数的图象问题. 方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标, 方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点； （3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值； （4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象: 题型二：导数在解决实际问题中的应用 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解： 当时，<0;当时，0. 因此，当半径>2时，0 ，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2时，<0，单调递减，即半径越大，利润越低. 题型二：导数在解决实际问题中的应用 (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? (1) 半径为6cm时，利润最大 (2) 半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种 瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值. 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ r y O 3 2 1 从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值. 课堂练习 教材P97 证明： x y O 1 π 课堂练习 教材P97 解： 2. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少? 题型三：恒成立问题 二次函数在R上恒成立条件 3. 题型三：恒成立问题 参数分离法 题型三：恒成立问题 课堂小结 利用导数画函数图像的步骤： 解决优化问题的基本思路： （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点； （3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值； （4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案→优化问题 PS: 开区间(a,b)内函数若有唯一的极值, 则此极值必是函数的最值. （1） 求函数在区间上的极值； （2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 即解得b=1,c=-5. x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=- 时,函数f(x)取得极大值,且极大值为f; 根据题意及函数图象可知k的取值范围是. 解：因为g′(x)＝3x2＋2ax－1,由题意得2xln x≤3x2＋2ax＋1恒成立． ∵x>0，所以a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝ln x－x－(x>0), h′(x)＝－＋＝－. 令h′(x)＝0, 得x1＝1, x2＝－(舍)． 4. 已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － h(x)  极大值  ∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2， ∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2， 故实数a的取值范围是[－2，＋∞)． $