5.3.2函数的极值与最大（小）值(第一课时)-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第 一课时 函数的极值 一 二 三 学习目标 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 能利用导数求某些函数的极大值、极小值 过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展直观想象与数学运算素养 单调性与导数的关系： 设函数y=f (x)在区间(a,b)内的导数为f ′(x). 如果f ′(x)>0， 如果f ′(x)<0， 如果f ′(x)=0， 如果f(x)在(a,b)内为增函数， 如果f(x)在(a,b)内为减函数， 则f(x)在(a,b)内为单调递增； 则f(x)在(a,b)内为单调递减； 则f(x)在(a,b)内为常数函数； 则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 复习回顾 新课导入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 新知探究 我们再次来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 问题1 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 新知探究 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 追问1 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 以x=a, b两点为例 新知探究 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 以x=a, b两点为例 追问2：y=f (x)在这些点处的导数值是多少？ f ′(a)=0 f ′(b)=0 追问3 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 新知探究 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 以x=a, b两点为例 概念生成 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值； 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). 极值点与极值的定义： 1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 课本P92 跟踪练习 概念提升 问题3 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点? x y O y＝x3 例如：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2 当x=0时， f ′(0)=0 当x≠0时， f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. 结论： 若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点。 概念提升 追问1 f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？ 问题3 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点? x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 f ′(x0)=0 结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. 概念提升 追问2 函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？ 问题3 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点? x0左右侧导数异号 f ′(x0)=0 x0为极值点 概念提升 问题4 函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 (3) 极大值与极小值没有