6.3 用关系式表示变量之间的关系 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系 6.3　用关系式表示变量之间的关系教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常会遇到这样的情况——随着时间的推移，气温会发生变化；随着浇水次数的增加，植物会慢慢长高；随着行驶时间的延长，汽车行驶的路程会不断增加。这些变化的量之间，存在着怎样的联系呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的变化现象，教师点评总结：在这些场景中，都存在着两个或多个不断变化的量，它们之间相互影响、相互依存。今天我们就来学习“变量之间的关系”，本节课我们将探究变量、自变量、因变量的定义，掌握表示变量之间关系的三种基本方法，感受数学与生活的密切联系。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）变量、自变量、因变量 1. 概念探究：出示3个生活实例，引导学生分组讨论，找出每个实例中变化的量和不变的量： 实例1：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化； 实例2：一个水池有100L水，打开水龙头后，水池中的水量随放水时间的变化而变化； 实例3：正方形的边长发生变化时，正方形的面积也会随之变化。 师生共同总结： （1）变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量； （2）常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量； （3）自变量与因变量：在变化过程中，主动发生变化的量叫作自变量；随着自变量的变化而发生变化的量叫作因变量。 2. 巩固辨析：结合上述实例，明确：实例1中，时间和路程是变量，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量；实例2中，放水时间和水池水量是变量，水池总水量（初始）是常量，放水时间是自变量，水池水量是因变量；实例3中，边长和面积是变量，没有常量，边长是自变量，面积是因变量。 强调：自变量和因变量是相对的，要结合具体的变化过程来判断，不能孤立地确定。 （二）变量之间关系的表示方法 1. 表格法：出示实例：某同学在做俯卧撑，每分钟做的个数固定，随着时间（分钟）的变化，做的总个数如下表： 时间（分钟）1 2 3 4 5 总个数（个）15 30 45 60 75 讲解：表格法是用表格的形式，清晰地呈现自变量和因变量的对应数值，优点是直观、简洁，能快速找到具体数值对应的关系。引导学生观察表格，说出自变量、因变量，以及两者的变化规律（每分钟做15个，总个数=15×时间）。 2. 关系式法：结合上述表格实例，引导学生推导：总个数=每分钟个数×时间，若用t表示时间（分钟），s表示总个数（个），则关系式为s=15t。 讲解：关系式法是用数学式子表示自变量和因变量之间的关系，优点是能准确反映两者的内在规律，可根据自变量的值求出对应的因变量的值，反之也可根据因变量的值求出自变量的值。 举例示范：若t=6，代入关系式s=15t，得s=15×6=90（个），即6分钟做90个俯卧撑；若s=120，由120=15t，得t=8（分钟）。 3. 图像法：结合上述关系式s=15t，引导学生在平面直角坐标系中，画出对应的点（1,15）、（2,30）、（3,45）……，再将这些点连接起来，得到一条直线。 讲解：图像法是用平面直角坐标系中的点和线，直观地呈现变量之间的变化趋势，优点是能清晰看出因变量随自变量的变化规律（上升、下降、不变）。强调：横轴表示自变量（时间t），纵轴表示因变量（总个数s），标注坐标轴名称和单位，点的坐标要准确。 （三）易错辨析：引导学生区分三种表示方法的优缺点，明确：表格法直观但不能反映整体规律，关系式法准确但不够直观，图像法直观且能反映变化趋势但不够精确，实际应用中可根据需求选择合适的方法。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量： （1）圆的周长随半径的变化而变化；（2）购买单价为3元的笔记本，付款金额随购买数量的变化而变化。 解析：（1）自变量：圆的半径；因变量：圆的周长；常量：圆周率π（约3.14）；（2）自变量：购买数量；因变量：付款金额；常量：笔记本单价3元。 例2：已知某长方形的长为5cm，宽为x cm，面积为y cm²，写出y与x之间的关系式，并求出当x=3cm时，y的值；当y=25cm²时，x的值。 解析：根据长方形面积公式，关系式为y=5x；当x=3时，y=5×3=15（cm²）；当y=25时，5x=25，解得x=5（cm）。 例3：某地区一天的气温随时间变化的图像（略），根据图像回答：（1）自变量和因变量分别是什么？（2）哪个时间段气温在上升？哪个时间段气温在下降？（3）最高气温是多少？出现在什么时间？ 解析：（1）自变量：时间；因变量：气温；（2）如6:00-14:00气温上升，14:00-24:00气温下降（结合图像具体说明）；（3）最高气温如32℃，出现在14:00（结合图像具体说明）。 补充说明：解决变量相关问题时，先确定自变量和因变量，再根据三种表示方法的特点，灵活运用表格、关系式或图像分析规律、计算数值。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量；（1）蜡烛燃烧时，剩余长度随燃烧时间的变化而变化；（2）高铁以300km/h的速度行驶，路程随时间的变化而变化。 2. 提升题：已知一个三角形的底为8cm，高为h cm，面积为S cm²，写出S与h之间的关系式，并求出当h=5cm时S的值。 3. 拓展题：根据某商店的销量表格（时间与销量对应），分析销量随时间的变化规律，并用关系式表示两者的关系。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如混淆自变量和因变量、关系式书写错误、图像分析不准确）进行重点讲解，强化对变量概念和三种表示方法的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 核心概念：变量（自变量、因变量）和常量，能准确区分三者；2. 变量关系的三种表示方法：表格法（直观简洁）、关系式法（准确规律）、图像法（直观趋势）；3. 应用技巧：根据实际问题确定自变量和因变量，灵活运用三种方法分析规律、计算数值。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调变量之间的关系是后续学习函数的基础，培养学生用数学眼光分析生活中变化现象的能力。 【素养目标】 1．经历探索某些图形中变量之间关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号意识． 2．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想． 3．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系． 重点：能够在具体情境中列出表示变量关系的关系式． 难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系． 【复习导入】 问题：确定一个三角形面积的量有哪些？ 【合作探究】 探究：用关系式表示变量间的关系 △ABC的面积y(单位：cm2)与底边长x(单位：cm)之间的关系 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么? 当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? (2) 如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 如何表示? (3) 在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗?与同伴进行交流. (4)你能用表格完成三角形ABC面积变化的过程吗？ x/cm 10 9 8 7 6 y/cm2 [要点归纳] y = 3x 表示了三角形底边长 x 和三角形面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式. 注意：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法，利用关系式 (如 y = 3x)， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 要点归纳：利用表格可以写出关系式，利用关系式可以列表格，两者各有优缺点 优点 缺点 表格 关系式 [想一想]你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 其中的字母表示什么？ [观察·思考]如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的高不变，底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. (1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? (2) 如果圆锥底面半径为 r (单位：cm)，那么圆锥的体积 V (单位：cm3) 如何表示？ (3) 在这个变化过程中，取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定吗? [尝试·交流]你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式. 一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示： 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 (1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗? 其中的字母表示什么? (2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的? 与同伴进行交流. (3) 当用电量为 100 kW·h 时，二氧化碳排放量是多少? (4) 小明家本月大约用电 110 kW·h、开车耗油 75 L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和. [归纳总结] 根据表格中所列的数据，列出两个变量间的关系式，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值 [典例精析] 例 如图所示，梯形ABCD的上底长AD＝x cm，下底长BC＝25 cm，高DE＝10 cm，梯形面积是y cm2，上底长为x cm. (1)y与x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示当x从1变到6时(每次增加1)，y的相应值； x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm2 (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由. (4)当x＝0时，y等于什么？此时y表示的是什么？ 当堂反馈 1.一支铅笔是2元，小敏用10元钱买了x支铅笔，则剩余的钱y与x之间的关系式为(　　) A.y＝2x B.y＝2x＋10 C.y＝10－2x D.y＝10x－2 2.变量y与x之间的关系式是y＝x2＋1，当自变量x＝2时，因变量y的值是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.3 3.某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)之间的关系式为　 　. 4.运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里(Cal)＝0.0024×体重(kg)×跳绳次数.一名体重50kg的学生跳绳x次，他所消耗的卡路里y(单位：Cal)与x(单位：次)之间的关系式为　 　. 5.一个正方形的边长为15cm，它的各边长都减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm. (1)求y与x之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了4cm，求得到的新正方形的周长. 参考答案 【合作探究】 探究：用关系式表示变量间的关系 解：(1)三角形的底边长是自变量，三角形的面积是因变量. 当底边长减小时，三角形的面积减小. (2) y＝×x×6＝3x (3) 当 x＝9 时，y＝27. 所以取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定. x/cm 10 9 8 7 6 y/cm2 30 27 24 21 18 要点归纳： 优点 缺点 表格 直观反映两个变量的对应关系及变化趋势 变量的取值个数有限，估计时会有误差 关系式 准确反映两个变量间的关系，已知一个变量的值，可以求出另一个变量的值 变量间的对应关系不太直观 [想一想]V 表示圆锥体积； r 表示圆锥底面半径； h 表示圆锥的高. [观察·思考] (1) 圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量. 底面半径增大时，圆锥的体积随之增大. (2) (3) 取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定， 例如：当 r＝1 时，V＝ π. [尝试·交流] 解：(1) y = 0.785x；其中 y(kg)表示家居用电的二氧化碳排放量、x ( kW·h)表示用电量 (2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量增加. (3) 78.5 kg (4)家居用电的二氧化碳排放量： 110×0.785 = 86.35（kg）； 开私家车的二氧化碳排放量：75×2.7 = 202.5（kg）. 天然气的二氧化碳排放量：20×0.19 = 3.8（kg）； 自来水的二氧化碳排放量：5×0.91 = 4.55（kg）； 二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2(kg) [典例精析] 例 解：(1)y＝×10(x＋25)＝5x＋125. x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm2 130 135 140 145 150 155 (3)当x每增加1时，y随着增加5. (4)当x＝0时，y＝125，此时y表示的是△ABC的面积． 当堂反馈 1.　C　 2.　D　 3.　S＝　. 4.　y＝0.12x　. 5.解：(1)根据题意，得y＝4(15－x)＝－4x＋60， 所以y与x之间的关系式为y＝－4x＋60. (2)当x＝4时，y＝－4×4＋60＝44. 答：得到的新正方形的周长为44cm. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $