第四章 三角形问题解决策略：特殊化 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 问题解决策略：特殊化教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常能看到三角形的身影——屋顶的框架、自行车的车架、三角尺、交通标志中的警示标志，这些图形都有什么共同特点？它们为什么都设计成三角形的形状呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的三角形特点，教师点评总结：这些图形都是由三条线段围成的封闭图形，三角形不仅美观，还具有独特的稳定性，这也是它在生活中广泛应用的原因。今天我们就正式开启第四章——三角形的学习，本节课我们将探究三角形的定义、分类、构成要素及基本性质，为后续深入学习打下基础。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）三角形的定义与构成要素 1. 概念探究：出示一组图形（三角形、四边形、五边形及不封闭的三条线段），引导学生分组讨论，找出三角形的共同特征，区分三角形与其他图形的差异。 师生共同总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫作三角形。强调两个核心条件：① 三条线段不在同一直线上；② 首尾顺次相接、封闭，缺一不可。 2. 构成要素：结合画出的三角形ABC，讲解三角形的组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段，记作AB、BC、AC，三角形的三边可以用小写字母表示，即a（BC）、b（AC）、c（AB）； （2）顶点：三条线段的交点，即A、B、C三个点； （3）内角：三角形相邻两边组成的角，记作∠A、∠B、∠C，三个内角的和为180°（暂不推导，重点感知）。 补充说明：三角形可以记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，规范三角形的表示方法，避免书写错误。 （二）三角形的分类 1. 按角分类：引导学生观察不同的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），根据内角的大小分类： （1）锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形； （2）直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，直角所对的边叫作斜边，另外两条边叫作直角边； （3）钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。 强调：一个三角形中最多有一个直角或一个钝角，不可能有两个及以上的直角或钝角，结合图形让学生快速识别各类三角形。 2. 按边分类：根据三角形三边的长度关系，分为： （1）等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角； （2）等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形； （3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 （三）三角形的三边关系 1. 动手探究：引导学生用准备好的小木棒（长度分别为3cm、4cm、5cm，2cm、3cm、6cm，4cm、4cm、5cm），尝试拼出三角形，观察哪些组合能拼成三角形，哪些不能。 2. 规律总结：结合操作结果，师生共同推导三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 举例示范：判断3cm、4cm、5cm能否组成三角形，3+4>5，3+5>4，4+5>3，满足三边关系，能组成三角形；2cm、3cm、6cm，2+3<6，不满足，不能组成三角形。 强调：“任意”二字的含义，即三条边中任意两条边的和都要大于第三边，缺一不可。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列图形是否为三角形，并说明理由： （1）三条线段首尾顺次相接，但有两条线段在同一直线上；（2）由三条线段组成，但不封闭；（3）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接。 解析：（1）不是三角形，理由：三条线段中有两条在同一直线上，不符合“不在同一直线上”的条件；（2）不是三角形，理由：图形不封闭，不符合三角形的定义；（3）是三角形，理由：满足“不在同一直线上、三条线段首尾顺次相接、封闭”的条件。 例2：已知一个三角形的两边长分别为4cm和6cm，求第三边的取值范围。 解析：根据三角形三边关系，设第三边长为x cm，可得：6-4<x<6+4，即2<x<10，所以第三边的取值范围是大于2cm且小于10cm。 例3：判断下列三角形按角和按边分别属于什么三角形： （1）三边为5cm、5cm、7cm，内角分别为70°、70°、40°；（2）三边为3cm、4cm、5cm，内角分别为37°、53°、90°；（3）三边为2cm、3cm、4cm，内角分别为30°、60°、90°。 解析：（1）按边：等腰三角形；按角：锐角三角形；（2）按边：不等边三角形；按角：直角三角形；（3）按边：不等边三角形；按角：直角三角形。 补充说明：判断三角形类型时，按角看最大内角的度数，按边看三边的长度关系，灵活运用分类标准。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列各组线段能否组成三角形，说明理由；（1）2cm、3cm、4cm；（2）1cm、2cm、3cm；（3）5cm、5cm、5cm。 2. 提升题：一个三角形的两边长为3cm和8cm，第三边长为偶数，求第三边的长度。 3. 拓展题：指出下列三角形按角和按边的分类，学生独立完成，小组内互相核对。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如忽略“任意”二字判断三边关系、混淆三角形分类标准）进行重点讲解，强化对三角形定义、分类和三边关系的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接的封闭图形；2. 构成要素：边、顶点、内角；3. 分类：按角分为锐角、直角、钝角三角形，按边分为等腰、等边、不等边三角形；4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调三角形是初中几何的基础图形，掌握其基本性质和分类，为后续学习三角形的内角和、全等三角形等知识奠定基础。 【素养目标】 1．理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，明确特殊化策略是解决复杂问题的有效手段之一. 2．会识别出哪些类型的数学问题适合采用特殊化策略来解决，例如几何图形面积计算问题、与图形内点相关的线段关系问题等． 3．能熟练地将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，学会在不同特殊情形之间建立联系和转化，培养举一反三的学习能力． 重点：理解特殊化问题解决策略的本质，掌握运用特殊化策略解决几何问题的方法． 难点：将一般情形转化为特殊情形，并会运用特殊情形的结论解决一般问题． 【复习导入】 回顾七年级上册我们学过的数轴，点a在数轴上的位置如图所示，你知道怎么快速比较a，，| a | 的大小关系吗？ 【合作探究】 探究一：几何图形中的特殊化 活动1：裁出两块边长为10 cm，大小一样的正方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH，如图，把顶点E钉在纸片ABCD的正中心位置，旋转正方形纸片EFGH，画一画重叠部分，量一下两个正方形重叠部分的面积是多少？ 问题1：在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？ 问题2：对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？你会选择哪一种方法求正方形面积？ 要点归纳：1.面对一般性的问题时，可以考虑特殊图形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 2．在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．　 探究二：代数问题中的特殊化 活动2：同桌两人一组玩游戏． 游戏规则：甲、乙两人轮流在正方形纸片上放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出纸片的边界．规定谁在纸片上放下最后一枚硬币，谁就获胜． 你知道获胜的策略吗？如果你走第一步，你会放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由． 第一步应放正方形纸片的中心位置． 这时，对方放一枚硬币，你就可以在正方形纸片上放一枚硬币，使它与你同桌的硬币关于正方形中心对称，直到同桌无处可放，你就赢了． 思考2：在日常生活中，还有哪些问题可以用特殊化的方法来解决？写一篇小短文介绍你的发现． [典例精析] 例1 若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则÷3的最小值是41，最大值是329． 例2 如图，四边形ABCD各内角的平分线交于点O，则有AB＋CD＝AD＋BC，试说明理由． 当堂反馈 1. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的任意一点，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为点D，E，F. 小颖从特殊情形入手，认为 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高，你知道她是怎么做的吗? 2.如图，四边形 ABCD 的面积是16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP 与 NQ 相交于点O，求图中上色部分的面积. 3.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少? 参考答案 【复习导入】 答：取a＝－0.5，则a，，|a|三个数分别为－0.5，－2，0.5，所以＜a＜|a|. 【合作探究】 探究一：几何图形中的特殊化 问题1：几种情形如下： ①正方形ABCD的顶点在正方形EFGH边上； ②正方形ABCD的边与正方形EFGH的边垂直； ③两个正方形的边相交． 问题2：情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形BEC的面积，很容易得出为正方形面积的，为×10×10＝25(cm2). 情形②：两个正方形的边互相垂直时，重叠部分刚好也是一个小正方形，其面积为5×5＝25(cm2). 思考1：可以通过正方形的对称性或三角形全等关系来证明重叠部分面积是正方形面积的. 情形③：将一般情形转化为特殊情形． (1)如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠． (2)引导学生发现S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM；△BEM≌△CEN. (3)引导学生探究发现此时图③的情形就转化为图①的情形，S重叠＝S△BEC＝S正方形ABCD. 探究二：代数问题中的特殊化 [典例精析]例1 当x＝1，y＝2，z＝3时，123÷3＝41； 当x＝9，y＝8，z＝7时，987÷3＝329. 例2 特殊情形：显然当四边形ABCD是正方形时，点O是正方形的中心，满足题目条件，则有AB＝BC＝CD＝DA，显然结论AB＋CD＝AD＋BC成立． 一般情形：过点O作四边形ABCD各边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.在△AOE与△AOH中， ∴△AOE≌△AOH(AAS).∴AE＝AH. 同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG， ∴AB＋CD＝AD＋BC. 当堂反馈 1. 解：如图，过点 A作BC的垂线交BC于点Q，连接AP，BP，CP. S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP BC∙AQ＝AB∙PF＋ BC∙PD＋AC∙PE 因为 AB＝BC＝AC，所以 AQ＝PF＋PD＋PE. 所以 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高 2.解：如图，连接 AO，BO，CO，DO. 由于 M，N，P，Q 是各边中点， 所以 S△AOM＝S△AOB，S△AOQ＝S△AOD， S△OCP＝S△OCD，S△ONC＝S△OBC. 所以 S△AOM＋S△AOQ＋S△OCP＋S△ONC＝S四边形 ABCD＝8. 所以图中上色部分的面积为 8. 3.解：设这个三位数为 abc ( a、b、c 均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，这个三位数的值是100a + 10b + c，各位数字之和是 a + b + c. 要求商最大，就要让被除数尽可能大，除数尽可能小. 商＝ 当这个三位数是 900， 各位数字之和是9+0+0=9 时，商为＝100； 当这个三位数是100，各位数字之和是 1+ 0 + 0 = 1 时， 商为 ＝100 所以一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是100. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $