4.2 全等三角形 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常能看到三角形的身影——屋顶的框架、自行车的车架、三角尺、交通标志中的警示标志，这些图形都有什么共同特点？它们为什么都设计成三角形的形状呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的三角形特点，教师点评总结：这些图形都是由三条线段围成的封闭图形，三角形不仅美观，还具有独特的稳定性，这也是它在生活中广泛应用的原因。今天我们就正式开启第四章——三角形的学习，本节课我们将探究三角形的定义、分类、构成要素及基本性质，为后续深入学习打下基础。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）三角形的定义与构成要素 1. 概念探究：出示一组图形（三角形、四边形、五边形及不封闭的三条线段），引导学生分组讨论，找出三角形的共同特征，区分三角形与其他图形的差异。 师生共同总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫作三角形。强调两个核心条件：① 三条线段不在同一直线上；② 首尾顺次相接、封闭，缺一不可。 2. 构成要素：结合画出的三角形ABC，讲解三角形的组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段，记作AB、BC、AC，三角形的三边可以用小写字母表示，即a（BC）、b（AC）、c（AB）； （2）顶点：三条线段的交点，即A、B、C三个点； （3）内角：三角形相邻两边组成的角，记作∠A、∠B、∠C，三个内角的和为180°（暂不推导，重点感知）。 补充说明：三角形可以记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，规范三角形的表示方法，避免书写错误。 （二）三角形的分类 1. 按角分类：引导学生观察不同的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），根据内角的大小分类： （1）锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形； （2）直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，直角所对的边叫作斜边，另外两条边叫作直角边； （3）钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。 强调：一个三角形中最多有一个直角或一个钝角，不可能有两个及以上的直角或钝角，结合图形让学生快速识别各类三角形。 2. 按边分类：根据三角形三边的长度关系，分为： （1）等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角； （2）等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形； （3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 （三）三角形的三边关系 1. 动手探究：引导学生用准备好的小木棒（长度分别为3cm、4cm、5cm，2cm、3cm、6cm，4cm、4cm、5cm），尝试拼出三角形，观察哪些组合能拼成三角形，哪些不能。 2. 规律总结：结合操作结果，师生共同推导三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 举例示范：判断3cm、4cm、5cm能否组成三角形，3+4>5，3+5>4，4+5>3，满足三边关系，能组成三角形；2cm、3cm、6cm，2+3<6，不满足，不能组成三角形。 强调：“任意”二字的含义，即三条边中任意两条边的和都要大于第三边，缺一不可。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列图形是否为三角形，并说明理由： （1）三条线段首尾顺次相接，但有两条线段在同一直线上；（2）由三条线段组成，但不封闭；（3）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接。 解析：（1）不是三角形，理由：三条线段中有两条在同一直线上，不符合“不在同一直线上”的条件；（2）不是三角形，理由：图形不封闭，不符合三角形的定义；（3）是三角形，理由：满足“不在同一直线上、三条线段首尾顺次相接、封闭”的条件。 例2：已知一个三角形的两边长分别为4cm和6cm，求第三边的取值范围。 解析：根据三角形三边关系，设第三边长为x cm，可得：6-4<x<6+4，即2<x<10，所以第三边的取值范围是大于2cm且小于10cm。 例3：判断下列三角形按角和按边分别属于什么三角形： （1）三边为5cm、5cm、7cm，内角分别为70°、70°、40°；（2）三边为3cm、4cm、5cm，内角分别为37°、53°、90°；（3）三边为2cm、3cm、4cm，内角分别为30°、60°、90°。 解析：（1）按边：等腰三角形；按角：锐角三角形；（2）按边：不等边三角形；按角：直角三角形；（3）按边：不等边三角形；按角：直角三角形。 补充说明：判断三角形类型时，按角看最大内角的度数，按边看三边的长度关系，灵活运用分类标准。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列各组线段能否组成三角形，说明理由；（1）2cm、3cm、4cm；（2）1cm、2cm、3cm；（3）5cm、5cm、5cm。 2. 提升题：一个三角形的两边长为3cm和8cm，第三边长为偶数，求第三边的长度。 3. 拓展题：指出下列三角形按角和按边的分类，学生独立完成，小组内互相核对。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如忽略“任意”二字判断三边关系、混淆三角形分类标准）进行重点讲解，强化对三角形定义、分类和三边关系的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接的封闭图形；2. 构成要素：边、顶点、内角；3. 分类：按角分为锐角、直角、钝角三角形，按边分为等腰、等边、不等边三角形；4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调三角形是初中几何的基础图形，掌握其基本性质和分类，为后续学习三角形的内角和、全等三角形等知识奠定基础。 4.2　全等三角形 【素养目标】 1．学会辨认全等三角形的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质． 2．通过动手操作，认真观察全等三角形，丰富学生对全等三角形的感性认知，培养学生的观察和动手能力，发展学生的空间观念． 3．通过对全等三角形概念和性质的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学几何语言表达与交流的习惯． 重点：理解并掌握全等三角形的性质． 难点：全等三角形性质的应用． 【复习导入】 1. 在前面我们学习了三角形的有关知识，请同学们回顾一下三角形的元素有哪些? 2. 观察下面的图形，它们有什么特点？ 【合作探究】 探究点：全等三角形的定义及性质 活动：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有什么发现? 追问：你能找出他们的对应点、对应边和对应角吗？ 要点归纳：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”． △ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF.　 全等三角形性质的几何语言： 因为△ABC≌△DEF， 所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边相等)， ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F (全等三角形对应角相等) [典例精析] 例1 如图，若△BOD≌△COE，指出这两个三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角. 例2 如图，△ABC≌△EBD，问∠1 与∠2 相等吗?若相等请说明理由. 要点归纳： 全等三角形找对应边、对应角方法 1.有公共边的，公共边是对应边； 2.有公共角的，公共角是对应角； 3.有对顶角的，对顶角是对应角； 4.长边对应长边，短边对应短边，大角对应大角，小角对应小角. [操作·交流] (1) 每人准备两张全等三角形纸片，并画出两张三角形纸片对应边的高。全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应的角平分线呢？ (2)如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你如何在△A′B′C′中画出与线段DE相对应的线段？ [尝试·交流] 准备一张等边三角形纸片，你能用折纸的办法把它分成两个全等三角形吗?能把它分成三个全等三角形吗?能把它分成四个全等三角形吗?与同伴进行交流。 例3 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长． [练一练] 1. 如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm. （1）试写出两三角形的对应边、对应角； （2）求线段 NM 及 HG 的长度； （3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由. 当堂反馈 1.下列说法正确的是(　　) A.能完全重合的两个三角形全等 B.两个等边三角形全等 C.形状相同的两个三角形全等 D.面积相等的两个三角形全等 2.如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为(　　) A.12 B.7 C.2 D.14 3.如图，△ABC≌△FDE. (1)若∠A＝30°，则∠DFE＝　　°； (2)若AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是　　cm. 4.如图，△AOB≌△COD，∠AOB＝110°，OB⊥OC，则∠DOB＝　　°. 5.如图，点A在BE上，△ABC≌△DEB. (1)试说明：DE∥BC； (2)若BC＝12，AE＝7，求DE的长. 6.如图，D是△ABC的边BC上一点，且△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°. (1)求∠B的度数； (2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由. 参考答案 【合作探究】 探究点：全等三角形的定义及性质 [典例精析] 例1 解：△BOD 与△COE 的对应边为： BO 与 CO，OD 与 OE，BD 与 CE； △ADO 与△AEO 的对应角为： ∠DAO 与∠EAO，∠ADO 与∠AEO，∠AOD 与∠AOE. 例2 解：∠1＝∠2.　理由如下： 因为△EBD≌△ABC， 所以∠A＝∠E. 在△AOF与△EOB中，∠AOF＝∠EOB. 根据三角形内角和为180°，所以∠1＝∠2. 例3 解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， 所以∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7. 所以 CF＝BC－BF＝7－4＝3. [练一练]1. 解：（1）对应边有 EF 和 NM，FG 和 MH，EG 和 NH； 对应角有∠E 和∠N，∠F 和∠M，∠EGF 和∠NHM. （2）因为 △EFG≌△NMH， 所以 EF = NM = 2.1 cm，EG = NH = 3.3 cm. 所以 HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm). （3）结论：EF∥NM.理由： 因为△EFG≌△NMH， 所以∠E =∠N. 所以 EF∥NM. 当堂反馈 1.　A　 2.　A　 3.(1)　30　； (2)　5　. 4.　20　. 5.解：(1)因为△ABC≌△DEB，所以∠E＝∠EBC.所以DE∥BC. (2)因为△ABC≌△DEB， 所以BE＝BC＝12，DE＝AB. 又因为AE＝7， 所以DE＝AB＝BE－AE＝12－7＝5. 6.解：(1)因为△ABD≌△ACD， 所以∠B＝∠C. 又因为∠BAC＝90°， 所以∠B＝45°. (2)AD⊥BC. 理由如下：因为△ABD≌△ACD， 所以∠BDA＝∠CDA. 因为∠BDA＋∠CDA＝180°， 所以∠BDA＝∠CDA＝90°. 所以AD⊥BC. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $