2025-2026学年第二学期八年级数学第一次月考试卷02（人教版）

2025-2026学年第二学期第一次月考试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：人教版（2024）八年级下册第19-20两个章节。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义．根据二次根式的定义求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， ∴， 故选：C． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 3．下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（   ） A．，2， B．2，3，5 C．，， D．4，5，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等，以判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A：∵，且， ∴ ，能构成直角三角形． 对于选项B：∵，，，∴不能构成直角三角形． 对于选项C：∵、、表示边长为9、16、25，，，，∴不能构成直角三角形． 对于选项D：∵，，，∴不能构成直角三角形． 故选A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质，加法法则，除法法则，逐一进行判断即可．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 5．已知是正整数，则自然数的最小值为（   ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， 是正整数，是自然数， 的最小值为5． 故选：B ． 6．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为． 根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数是 故选：A ． 7．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 8．已知是的三边，下列条件：①，，；②，；③：④，能够判断为直角三角形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中． 【详解】解：①∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项符合题意； ②∵，，， ∴，，是钝角三角形， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项符合题意； ④设，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项符合题意； 综上，能够判断为直角三角形的有个， 故选：D． 9. 张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为(　　) A．30 m B．40 m C．50 m D．70 m 【答案】C 【分析】画出示意图，然后根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离． 【详解】如图，由题意可得，∠ABC=90°， 所以他离家的距离AB==50m， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出示意图，并熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 10. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则（    ） A．128 B．72 C．64 D．59 【答案】C 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理可得，即，从而可得答案． 【详解】解：由题意可知：，，，， 连接， 在直角和中， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简的结果是 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，先把分子和分母同时乘上，得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知长方形的长和宽分别为，则它的周长是_______． 【答案】/厘米 【分析】此题考查了二次根式加减运算的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用长方形的周长计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵一个长方形的长和宽分别是， ∴它的周长为：， 故答案为：． 13．能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数：________． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，是一组勾股数； 故答案为：，，． 14．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为________．    【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．已知的三边满足，则中最大的角是______________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了绝对值的非负性，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据非负性得出，再把代入，求出，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 把代入 ∴ ∴ ∴ ∵ 即 ∴ ∴则中最大的角是 故答案为： 16. 16．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)+3； (2)3-2 【分析】（1）先化简，再算加减即可； （2）先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： =+3； （2）解： =3-2． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18．（8分）已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴能围成这两个正方形． 19．（8分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、B 、C 均在格点上． (1)直接写出的长为 ，的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出边上的高 ，并求出的长． 【答案】(1)， (2)作图见解析， 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，作三角形的高，二次根式的除法运算； （1）利用勾股定理可得的长度，再利用割补法求解三角形的面积即可； （2）取格点，连接交于，则即为所求；利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：如图所示，即为所求， 理由如下：由图可得： ，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为上的高． ∵， ∴． 20．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； （2）解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 21．（8分）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，连接． (1)若，则的度数为_____． (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线性质得出，从而得到等腰三角形，推导出再利用直角三角形两个锐角互余求出，最后通过角度的加减关系求得． （2）利用垂直平分线性质和角的条件，推导出，在中，利用角直角三角形的性质，设未知数表示三边，根据周长列出方程求解未知数，进而求出的两条直角边的长度，最后计算其面积． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线 在中， ． （2）解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 设，则， ， ， ， ，，， ， 的面积． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、勾股定理和三角形面积公式，掌握利用垂直平分线性质构造等腰三角形并结合特殊角度的直角三角形性质求解边长是解题的关键． 22．（１０分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（１０分）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是____________ ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析； 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24． （１２分） 【模型呈现】 如图1和图2，在，容易证明和全等，小明发现用这样的方法可以解决许多数学问题． （1）在图2中，线段EF、AE、BF之间有何数量关系？请直接写出你的结论. 【定义概念】 在平面直角坐标系中，对于点P和线段给出如下定义：若点P满足最小，且，则称点P为线段的“幸福点”． （2）如图3，已知线段，，线段的“幸福点”的坐标． 【问题解决】 （3）如图4，为坐标轴上的点，点C为线段的一个“幸福点”．为求出点C的坐标，我们可以过C作x轴的垂线，交x轴于D，过N作交于E． ①求出点C的坐标． ②线段还有其他“幸福点”吗？如果有，请直接写出坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）EF=BF-AE (2)P(0,0)或P（1，-1） （3）①；②有其他“幸福点”，坐标为； 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用完全平方公式变形求值等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）由△AEC≌△CBF得到AE=CF，BF＝CE，所以，EF=BF-AE （２）因为｜AP－BP｜最小，所以AP＝BP，所以△APB是各等腰直角三角形，所以P(0,0)或P（1，-1）； （３）①过点C作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，证明，则，那么，解得，则，即可求解坐标；②当“幸福点”在右侧时，同理可求； 【详解】（1）解：EF=BF-AE ； （2） ∵｜AP－BP｜最小， ∴AP＝BP， ∵ ∴△APB是各等腰直角三角形，所以P(0,0)或P（1，-1）； （３）①过点C作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，如图， ∵， ∴， ∵轴，， ∴四边形为长方形， ∴， 设，则， ∵点C为线段的一个“幸福点”， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段还有其他“幸福点”，坐标为，理由： 设这个“幸福点”为G，过点G作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，如图， ∵， ∴， 同理可得四边形为长方形， ∴， 设，则 ∵点G为线段的一个“幸福点”， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，线段还有其他“幸福点”，坐标为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期第一次月考试卷 八年级数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位 置. 2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3.测试范围：人教版(2024)八年级下册第19-20两个章节。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.式子一在实数范围内有意义，则的取值范围是(） A.x≠1 B.x≤1 C.x≥1 D.x<1 2.下列二次根式是最简二次根式的是() A.V18 B. c.V0.3 D.√30 3.下列几组数中，能构成直角三角形三边的是() A.5,2,7 B.2,3,5 C.,4,5 D.4,5,6 4.下列计算正确的是() A.3W2+2W5=55 B.V8=4W2 C.√27÷√5=3 D.V-22=-2 5.已知20m是正整数，则自然数”的最小值为() A.20 B.5 C.4 D.2 6.如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C,且BC=1,连接OB,以点O为圆心，OB长为 半径画弧与数轴交于点A,则点A表示的数是() -1 CA 试卷第1页，共3页 A.5 B.V5 C.2-5 D.5-2 7.如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m,以点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆， 并将同心圆平均分成十二等分.一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A,B两处鱼群，那么A,B两处鱼 群的距离是（) 北 A.5m B.100m C.500m D.300m 8.己知abC是△ABC的三边，下列条件：①a=6,b=10,c=8;②∠C=23°，∠B=57°：③ 4:@0:62c2=43:1 ∠B-∠C=∠A △ABC 能够判断 为直角三角形的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为() A.30m B.40m C.50m D.70m ABCD ∠DAB=∠BCD=90° 10.如图，在四边形 中， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若 S+S,=100S2-S3=28 则 S D S A B S 试卷第2页，共3页 A.128 B.72 C.64 D.59 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12 11. 5化简的结果是 12.已知长方形的长和宽分别 ,√8cm,v8cm,则它的周长是 13.能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数.请你写出一组都是两位数的勾股数： 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为9、5.则BC的长为 B 15.已知△ABC的三边满足a+b-50+Va-b-32+(c-40)=0,则△ABC中最大的角是 16.16.如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为 EF,则△ABE的面积为 E D B 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(8分)计算： )v24-v6+5 试卷第3页，共3页 18.(8分) 已知边长分别是5+m,5-m的两个正方形的面积分别为S,S, 0求+8的值： (2)用一根长为14m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 19.(8分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上. X (I)直接写出AC的长为_，△ABC的面积为： (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD,并求出BD的长， 20.(8分)如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m,将秋千AD 往前推送4m(即BC为4m),到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m,秋千的绳 索始终保持拉直的状态. 777777777777777777777777 (1)求秋千的长度. (2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送 m. 21.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是线段AB的垂直平分线，连接BE. 试卷第4页，共3页 (1若∠A=35°，则∠CBE的度数为 (2若∠A=30°，aBCE的周长为15+55 求△MBC的面积 22.（10分)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：5+26=2+3到+22x3=(V2+V5+22x5=2+: V7+4W5=V7+2W2=V4+2W4x3+=V4+V5=2+5: 【类比归纳】 (1)填空：4+2W5=,V5-2√6= (2)进一步研究发现：形如Vm±2历的化简，只要我们找到两个正数4，b(a>),使a+b=m,ab=n, 即(a'+V例=m,Nax6=i,那么便有：m±2=. 【拓展提升】 (3)化简： V8+45+V8-45 (请写出化简过程)· 23.(10分)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC. 【初步发现】(I)如图L,若点D在线段AB上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,连接 DE,BE,先由边角边证明△ACD≌△BCE,从而得到∠A=∠CBE=45°，AD=BE,所以 ∠DBE=∠DBC+∠CBE=45+45°=90°，进而得到AD2、BD2、DE2之间满足的数量关系是 试卷第5页，共3页 【深入研究】(2)如图2，若点D在线段AB延长线上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE, 则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由： 图 图2 备用图 24.(12分) 【模型呈现】 RtAABC,AC=BC,∠ACB=90°，AE⊥EF,BF⊥EF △AEC△CFB 如图1和图2，在 ,容易证明 和1 全等，小 明发现用这样的方法可以解决许多数学问题. 图1 图2 图3 图4 (1)在图2中，线段EF、AE、BF之间有何数量关系？请直接写出你的结论 【定义概念】 在平面直角坐标系Oy中，对于点P和线段AB给出如下定义：若点P满足MP-B最小，且∠APB=90, 则称点P为线段AB的“幸福点”· (2)如图3，已知线段B,A,0,B0,-,线段B的“幸福点”的坐标。 【问题解决】 （3)如图4，M1,0,N(0,4为坐标轴上的点，点C为线段MW的一个“幸福点”.为求出点C的坐标， 我们可以过C作x轴的垂线，交x轴于D,过N作NE⊥CD交于E. 试卷第6页，共3页 ①求出点C的坐标. ②线段MN还有其他“幸福点”吗？如果有，请直接写出坐标；如果没有，请说明理由. 试卷第7页，共3页