2025-2026学年第二学期八年级数学第一次月考试卷01（人教版）

2025-2026学年第二学期期中考试试卷 八年级数学（人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：人教版（2024）八年级下册第19-20两个章节。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故一定是二次根式，符合题意； 故选D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式：若，则是解题的关键． 由两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为， 故选：C． 4．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用分式和二次根式有意义的条件求字母的取值范围，理解式子有意义的条件是解题的关键．根据分式中分母不为0和二次根式中被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：要使有意义，则，即， 又分母，即， ． 故选：A． 5．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（    ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】直接将房子看作一个点，利用勾股定理分析得出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知：（米）． 由于8＜9， 所以，大树倒下时不能砸到张大爷的房子． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意； B、54，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 7．能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不能合并，故此选项不符合题意； B、，与不能合并，故此选项不符合题意； C、，与能合并，故此选项符合题意； D、，与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， 又∵都是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 故选：． 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是_______． 【答案】 【详解】 ． 12．计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．当________时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键． 14．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 15如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标． 【详解】解：∵A(8，0)，B(0，6)， ∴OA=8，OB=6， ∴， ∴AC=AB=10， ∴点C的横坐标为：8-10=-2，纵坐标为：0， ∴点C的坐标为(-2，0)， 故答案为(-2，0)． 16．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理、不规则图形的面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是解题关键．根据勾股定理求出的长，分别求出三个半圆的面积和的面积，用两小半圆与直角三角形的和减去大半圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：15． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. （8分）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 19．（8分）已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 20．（8分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 20．（8分）已知，求下列各式的值： （1）；     （2）． 【答案】（1）12；（2）． 【分析】先求出 ， ， （1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴（1）； （2）． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（8分）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； 22．（8分）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 23．（12分）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 24. （12分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)证明见解析，点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试试卷 八年级数学（人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：人教版（2024）八年级下册第19-20两个章节。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1．下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（    ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 6．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．能与合并的是（　　） A． B． C． D． 8．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是_______． 12．计算______． 13．当________时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 14．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为_________． 15如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________． 16．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2) 18. （8分）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 19．（8分）已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 20．（8分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 20．（8分）已知，求下列各式的值： （1）；     （2）． 21．（8分）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； 22．（8分）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 23．（12分）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 24. （12分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $