精品解析：2026届河北省承德市强基联盟高三一模数学试题

高三数学考试（一） 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 4. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有三个零点 D. 函数为偶函数 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O 的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且 则（ ） A. 点 E 的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于轴对称 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 13. 已知，为锐角，，，则_____. 14. 已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若，求AB边上的高. 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 17. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试（一） 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数单调性求解，确定集合B，再由并集运算即可求解. 【详解】由可得， 即， 所以， 故选：A 2. 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】求出，根据复数的几何意义即可求出答案. 【详解】由得， 所以复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内所对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故常数项为. 故选：C 4. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解. 【详解】，即， 则，即，因为，所以， . 故选：D 7. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离. 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为， 所以， 由正方体可得， 所以， 解得， 所以点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为. 故选：D 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式 ，令函数，显然函数在上单调递增， 依题意，不等式恒成立，即， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有三个零点 D. 函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由诱导公式及辅助角公式化简函数，由解析式求得函数最小正周期、对称轴函数零点，判断ABC选项，写出函数解析式，由解析式得函数奇偶性，判断D选项. 【详解】， ∴函数的最小正周期，A选项正确； 令，则，当时，，B选项错误； 令，则，∵， ∴，，，∴函数在有三个零点，C选项正确； 是偶函数，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O 的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且 则（ ） A. 点 E 的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】先由抛物线方程确定焦点及对称点，再利用向量关系得到坐标间的联系，结合抛物线方程求出的具体坐标，最后逐一验证选项. 【详解】已知抛物线，则，，焦点，点关于原点的对称点为， 设，，且，，由，得， 即：，化简得，， 又在抛物线上，故 ，，代入，得， 联立和，解得，，进而，，所以，； 选项A：点是关于原点的对称点，应为，而非，A错误； 选项B：由抛物线焦半径公式：，，故，B正确； 选项C：，并非，C错误； 选项D：，，即，且两直线均过轴上的点，故直线与关于轴对称，D正确. 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D. 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，， 作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误； 函数在上单调递减，故B正确； 由于函数与有5个交点， 则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令， 因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根， 设，显然， 则这两个根分别在、内， 有，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 如图， 由椭圆的定义知，， 所以的周长为. 故答案为：8 13. 已知，为锐角，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， ， 所以.. ， 故答案为： 14. 已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 【答案】2646 【解析】 【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出. 【详解】因为，所以前项和. 所以当时， 因为， 所以，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即. 当时，， 又满足上式，所以. 新数列中从到共有项. 当时，；当时，. 所以 . 故答案为：2646. 四、解答题：本题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若，求AB边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出. （2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； 【小问2详解】 设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 【答案】（1）在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下： 连接交于点，连接，取的中点，连接， 又平面,平面， 平面平面，故, O为的中点，点为中点，则， ，故四边形为平行四边形，则， 平面，平面，故平面； 又点为中点，为的中点，故, 平面，平面，故平面， 平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据条件推出平面平面，再根据面面平行的判定定理证明结论. （2）若选，在中，利用，求出，取中点，连接，从而证明，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可. 若选，由，求出，取中点，连接，从而证明，仿照选的方法可求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择， 四边形为菱形，, 则为正三角形，， 故在中，， 由余弦定理知， 取中点，连接， 在中，， 则，所以， 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 平面， 又平面， 故平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 若选： 由（1）可知，， 取中点，连接， 在中，，则，所以， 因为是正三角形，所以， 又平面，则平面， 平面，故； 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 17. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 【答案】（1） 不存在，理由如下： 由知的定义域为，且， 假设存在实数，使得为函数的极小值点， 则，即，解得， 此时， 所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾， 所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）反证法说明不存在满足题意的实数； （2）将问题转化为在上有解，整理后得到一个等式，换元后构造函数，利用导数研究该函数的最值，对的范围分类讨论从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若图象上总存在关于点对称的两点， 则在上有解， 即在上有解， 整理得， 令，得， 问题可转化为在上有解， 令，则； ①当时，，是减函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ②当时，，是增函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ③当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以的最小值为， 又时，， 根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②直线的中垂线为， 直线的中垂线为， 联立直线方程得：， 消得， 于是， 所以， 代入得， 当时，点在直线上，不符合题意，故， 又消得：，推出， 推出：， 得：， 得：， 又，则， 又，所以， 故外接圆圆心， 令，消去得， 故必在直线上. 【解析】 【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案. （2）①直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知，， 所以动点的轨迹为双曲线的右支，，， 即，，所以， 所以点的轨迹曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，， 联立得，， 由题意得，解得， 于是，， 所以 ，所以． ②略 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】（1）分布列： 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【小问1详解】 由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. 【小问2详解】 记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． 【小问3详解】 记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $