安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三下学期数学统一作业1

2026届合肥八中高三下学期数学统一作业1 命题：操瑞康 审题：金启富 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ） 参考数据：，，． A．455 B．2718 C．6346 D．9545 5．设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．中，三边之比，则等于（    ） A． B． C．2 D． 8．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列计算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 11．已知四棱柱的底面为正方形，，，则（    ） A．点在平面内的射影在上 B．平面 C．与平面的交点是的重心 D．二面角的大小为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）. 13．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 14．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知函数. （1）求的最小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性. 16．（15分）在四棱棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．M为线段PD上一点（M不与D重合），且． (1)证明：M为PD的中点； (2)若平面BAM与平面CAM夹角的余弦值为，求AB． 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点在直线上； （Ⅱ）设，求的内切圆的方程 . 19．（17分）编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为，编号为偶数的白色球的个数为，记事件“”为． (1)求； (2)当时，求； (3)当时，设，证明： 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届合肥八中高三下学期数学统一作业1 命题：操瑞康 审题：金启富 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ） 参考数据：，，． A．455 B．2718 C．6346 D．9545 5．设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．中，三边之比，则等于（    ） A． B． C．2 D． 8．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列计算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 11．已知四棱柱的底面为正方形，，，则（    ） A．点在平面内的射影在上 B．平面 C．与平面的交点是的重心 D．二面角的大小为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）. 13．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 14．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知函数. （1）求的最小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性. 16．（15分）在四棱棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．M为线段PD上一点（M不与D重合），且． (1)证明：M为PD的中点； (2)若平面BAM与平面CAM夹角的余弦值为，求AB． 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点在直线上； （Ⅱ）设，求的内切圆的方程 . 19．（17分）编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为，编号为偶数的白色球的个数为，记事件“”为． (1)求； (2)当时，求； (3)当时，设，证明：． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026届合肥八中高三下学期数学统一作业1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B B D C A ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2．B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 3．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的性质判断可得出结论. 【详解】若“”成立，设，且，又，所以，又，所以“”； 若“”成立，且，可推出或。所以“”不一定成立. 故选：A. 4．B 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于[80，88]的人数约为. 故选：B 5．B 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 6．D 【分析】定点与圆心连线垂直于直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点， 则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小， 故最小值为. 故选：D. 7．C 【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果. 【详解】因为， 不妨设， 则， 所以. 故选：C. 8．A 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 9．ACD 【分析】设，则，利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】设，则，， ，， 所以，同理可得， 因此，， 故选：ACD. 10．ABD 【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为，则， 由题意知，A正确. ，B正确. 对于C，双曲线的渐近线方程为， 所以顶点到渐近线距离，C错误. 对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且， 所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】设，，，正方形的边长为1，根据对称性得到A正确，计算得到B错误，根据相似得到得到C正确，确定为二面角的平面角，计算得到D正确，得到答案. 【详解】设，，，正方形的边长为1， 则，，， 对选项A：，，根据对称性知，点在平面内 的射影在的角平分线上，即在上，正确； 对选项B：，， ，错误； 对选项C：设，相交于，与交于点， 即为与平面的交点， 则，为中边上的中线，故为的重心，正确； 对选项D：连接与相交于，连接，根据对称性知， 又，平面，平面， 故为二面角的平面角， ， 故，故， ，，故，正确 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，可以简化过程，是解题的关键. 12．462 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 所以当或时，其系数最大， 则最大系数为， 故答案为：462. 13． 【详解】试题分析：在中，由余弦定理知，因为∠为钝角，所以 ，即 ，化简得，设 ，因为在椭圆上，所以 ，解不等式得： ，所以答案应填：． 考点：1、余弦定理；2、椭圆的简单几何性质；3、解不等式． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆中的关系、椭圆的定义，余弦定理，解不等式，属于难题．利用余弦定理及椭圆的定义知，∠为钝角时，，再由两点间的距离公式代入化简得：，，所以，从而解得：，本题对计算能力要求较高． 14． 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 15．（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值； （2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性. 【详解】（1） ， 则的最小正周期为， 当，即时，取得最大值为； （2）当时，， 则当，即时，为增函数； 当时，即时，为减函数， 在单调递增，在单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数. 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，从而，再证明AM⊥平面PCD，从而得到，根据可得到M为PD的中点. （2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量的方法求解即可. 【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以． 因为，， 平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． 因为平面PAD，所以． 又AM⊥MC，，平面PCD，平面PCD， 所以AM⊥平面PCD． 又平面PCD，所以． 又因为，所以M为PD的中点． （2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，． 设平面BAM的法向量， 因为，， 所以，令，则． 设平面CAM的法向量为， 因为，， 所以，令，得． 设平面BAM与平面CAM夹角为，则， 解得，即． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可求出切线方程； （2）对的取值分类讨论，根据的单调性可求得，分析法证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性可证. 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 18．（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点的直线方程代入抛物线方程消去，设与 的交点，，根据韦达定理求得和的表达式，进而根据点求得点的坐标，进而表示出直线的直线方程，求出直线在轴上的截距进而原式得证；（Ⅱ）首先表示出结果为求得，进而求得的值，推知的斜率，则方程可知，设，利用点到直线的距离进而求得和圆的半径，则圆的方程可得． 试题解析：（Ⅰ）设，，， 的方程为. 将代入得到： 由韦达定理知道： 所以直线BD 的方程为：， 即 令得到：=1 所以点F（1,0）在直线BD上 （Ⅱ）由①知， 因为    ， 故，  解得 所以的方程为 又由①知 ，故直线BD的斜率， 因而直线BD的方程为 因为KF为的平分线，故可设圆心， 到及BD的距离分别为. 由得，或（舍去）， 故圆M的半径. 所以圆M的方程为. 19．(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件定义分析，分别对应的事件，并计算对应概率，再根据条件概率公式计算即可. （2）当时，分析可能情况，记事件“编号为奇数的个球中，被涂成黑色的球的个数为”为，事件“编号为偶数的个球中，被涂成白色的球的个数小于”为，则，且两两互斥，再根据公式计算即可. （3）根据题意列出对应事件及其概率，再用期望公式计算，最后根据组合数性质进行化简计算即可得证. 【详解】（1）记事件“编号为的球被涂黑色”为，则 ，且相互独立，所以， 同理，可得， 所以 事件， 所以， 故． （2）记事件“编号为奇数的个球中，被涂成黑色的球的个数为”为， 事件“编号为偶数的个球中，被涂成白色的球的个数小于”为， 则， 且两两互斥， 所以 设， 则， 故， 从而，所以． （3）设，则可取，故可取， 根据对称性， 且， 根据组合数的对称性， 可得， 因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 故， 故 从而， 整理，得 又 ， 所以， 所以， 又 根据，可得． 可得． 记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件，其概率为 由（2）知，所以， 又由（2）知，可得， 所以 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $