精品解析：河北辛集中学2025-2026学年第二学期收心练习高二数学试题

河北辛集中学2025—2026学年度第二学期收心练习 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 2. 已知，则到直线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 3. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 4. 已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 5. 已知数列对任意满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 6. 若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】设这个等差数列，则， 由题意可得，解得. 故选：D. 7. 已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分，，和四种情况讨论，然后画出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 记，变形可得，则的几何意义是直线纵截距的2倍， 由图知，，当直线与四分之一椭圆相切时，取最大值， ，而，当且仅当时等号成立， 则有，变形可得， 则有，当且仅当时等号成立， 即的取值范围为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查椭圆和双曲线，解题的关键是对方程化简，作出图象，结合图象求解，考查分类讨论思想和数形结合的思想，属于较难题. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 若，则直线一定相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确. 【详解】对于，两条直线的方程分别为与， 当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误； 对于，当，则，解得，故正确； 对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线是的一条渐近线 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量大，很容易出错. 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上， 由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，15分） 12. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由题意得， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案：. 13. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断曲线表示的曲线，再利用数形结合表示直线与曲线有两个交点时，参数的取值范围. 【详解】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解. 【小问1详解】 证明：取为的中点，连接． 因为为棱的中点，所以，且． 又为棱的中点，所以． 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 取为的中点，为的中点，连接． 因为为正三棱柱，所以两两垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项是该数列的第几项； （3）若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求通项公式即可； （2）求出数列的通项公式，利用数列的单调性求出最大项； （3）分离出，利用数列的单调性求出的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，,不满足上式， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由已知得， 当时，， ，则，， 所以当时，单调递增， ， 所以数列的最大项是该数列的第项； 【小问3详解】 由已知得，， 则，解得， 当时， ， 要使，即， 设， 则， 所以数列为单调递增数列，即， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． （1）求的方程； （2）求证：直线过定点； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求参； （2）先设直线再把对称关系转化为斜率和为0，应用韦达定理求出定点即可； （3）根据焦半径公式结合韦达定理化简最后应用单调性求范围. 【小问1详解】 由题知，点的横坐标为， 根据抛物线的定义知，， 解得或4（舍去）， 的方程为． 【小问2详解】 由（1）知． 设，，直线的方程为，代入，整理得， 则，，． 直线，关于轴对称， ， ， ，， 直线过定点． 【小问3详解】 由（Ⅱ）知，，，， ， 又在时单调递增， ， 的取值范围为． 18. 设椭圆：（）的离心率为，下顶点为，右顶点为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足. （ⅰ）设，求点的坐标（用表示）； （ⅱ）设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得； （2）（ⅰ）由点在射线上，设，再结合可得R点坐标；（ⅱ）由可得P点轨迹方程，进而可得M到圆心D的最大值，从而可得的最大值. 【小问1详解】 因为椭圆：（），所以下顶点为，右顶点为， 由，得，即——①. 又因为离心率，得，即——②， 将②代入①得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，所以， 因为点在射线上，设， ，如图： 由，得，即，， 所以，即， 所以. （ⅱ）因为直线的斜率为直线的斜率的3倍，即，所以. 再将代入，得， 化简得，即. 所以点在以为圆心，以为半径的圆上，如图： 又因为点是椭圆上，设， 所以点到圆D的距离 ， 当且仅当时等号成立，所以. 19. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值； （2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论. 【小问1详解】 ，由题意知，则，即， 由，知，即． 【小问2详解】 由（1）得，设， 则． 设，则在上单调递增， 且，所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递减；当时，单调递增． ． 设，则， 当时，单调递减，所以，所以， 故当时，． 【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法： （1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案； （2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论； （3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后不等式成立，即可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025—2026学年度第二学期收心练习 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则到直线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 12 5 已知数列对任意满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若一个等差数列的首项为，从第项起开始比大，则这个等差数列的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则两条平行直线之间的距离为 C. 若，则 D. 若，则直线一定相交 10. 已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线是的一条渐近线 C. 若，则的离心率为 D. 若，则渐近线方程为 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，15分） 12. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 13. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项是该数列的第几项； （3）若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 17. 已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称． （1）求的方程； （2）求证：直线过定点； （3）求的取值范围． 18. 设椭圆：（）离心率为，下顶点为，右顶点为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足. （ⅰ）设，求点的坐标（用表示）； （ⅱ）设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值. 19. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $