专题05二元一次方程组的应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题05二元一次方程组的应用同步讲义 【题型01 由几何图形列二元一次方程组】.............................3 【题型02 由实际问题列二元一次方程组】.............................5 【题型03 二元一次方程组的应用:分配问题】...........................8 【题型04 二元一次方程组的应用:图表信息问题】......................10 【题型05 二元一次方程组的应用:行程问题】..........................12 【题型06 二元一次方程组的应用:工程问题】..........................15 【题型07 二元一次方程组的应用:几何问题】..........................18 【题型08 二元一次方程组的应用:方案问题】..........................21 【题型09 二元一次方程组的应用:数字问题】..........................23 【题型10 二元一次方程组的应用:年龄问题】..........................27 【题型11 二元一次方程组的应用:销售利润问题】......................29 【题型12 二元一次方程组的应用:和差倍分问题】......................31 【题型13 二元一次方程组的应用:古代问题】..........................34 【题型14 二元一次方程组的应用:其他实际问题】......................36 ★知识梳理★ 核心思想 用两个未知数表示题目中的两个未知量，根据两个等量关系列两个方程，组成二元一次方程组求解。 知识点01:解题步骤（六步必记） 1.审：读懂题意，找出两个未知量和两个等量关系 2.设：设两个未知数，一般设为 x、y 3.找：抓住关键词，列出两个等量关系 4.列：根据等量关系列二元一次方程组 5.解：用代入法或加减法解方程组 6.验 + 答：检验解是否符合题意，写答句 知识点02:常见等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11) 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 知识点03:关键提醒 1.必须找到两个独立等量关系，才能列方程组 2.设未知数要带单位，结果要检验合理性 3.最后一步一定要写答 【题型1.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，设的度数为，的度数为，那么可列出关于x、y的方程组是__________________． 【答案】 【分析】设的度数为，的度数为，根据邻补角互补及的度数比的度数的3倍少，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设的度数为，的度数为， 依题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 由图示可得等量关系：①2个长个长个宽，②一个长一个宽，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据题意，得： ，即． 故选：C． 【跟踪专练2】一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【答案】，，． 【分析】本题考查了角的和差计算，二元一次方程组的应用，根据平角的定义及已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：由已知得， 得：，解得：， 将代入①，解得：， 原方程组的解为， ，． 【跟踪专练3】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ . 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【题型2.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】某学校组织七年级135名学生参加学雷锋活动．去人民广场的学生人数比去公园的学生人数的3倍少1，去人民广场和去公园的学生各有多少名？根据题意，列出方程组其中表示____________，表示____________。 【答案】 去公园的学生人数 去人民广场的学生人数 【分析】本题通过分析去人民广场的学生人数与去公园的学生人数的和为且人民广场人数是公园人数的倍少这两个数量关系，结合方程组的结构，确定未知数、的意义． 【详解】解：观察方程组，其中第二个方程体现了一个量是另一个量的倍少 的关系，因此： 表示去公园的学生人数； 表示去人民广场的学生人数． 故答案为：①去公园的学生人数,②去人民广场的学生人数． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用（和倍问题），解题关键是根据题目中的数量关系（和、倍数关系），结合方程组的形式，确定未知数所代表的实际意义． 【跟踪专练1】阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有只，则只没地方去，若每棵树上有只，则剩下一棵树没乌鸦．”设树棵，乌鸦只．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，正确理解题意，得出方程组是解题的关键．分别根据两种乌鸦栖息的情况，建立乌鸦数量与树的数量的等量关系即可． 【详解】解：根据题意可列方程组为． 故选：B． 【跟踪专练2】已知甲、乙两种物品共有13个，甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重． (1)列出关于的二元一次方程组． (2)与哪组是该方程组的解？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及解，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接列出方程组； （2）分别把与代入（1）方程组进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意可列方程组为； （2）解：把代入得：， ∴不是方程组的解； 把代入得：， ∴是方程组的解． 【跟踪专练3】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 【题型3.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某幼儿园组织114个小朋友去春游，旅行社同时安排了32座、16座、7座的三种客车共5辆，每辆客车随行1名教师，三种车的租金分别为480元、280元、200元一辆． 这样出游时每辆车刚好坐满（客车座位数量不包括司机位），则该校出租车费用为 __________． 【答案】1920 【分析】设32座车为辆，16座汽车为辆，则7座汽车为辆，利用客车能坐的人数=总人数列出关系式分别求出不同类型客车的数量，再运算总费用即可． 【详解】解：设32座车为辆，16座汽车为辆，则7座汽车为辆； 由题意可得： 整理可得： ∵和都为整数，且， ∴， ∴7座车数量为： ∴总费用 故答案为：1920 【点睛】本题主要考查了二元一次方程及不等式的性质，根据题目中的已知条件正确列出方程式解题的关键． 【跟踪专练1】盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 【跟踪专练2】张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？ 【答案】他们租了条大船，坐小船的有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设他们租了条大船，则租了条小船，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设他们租了条大船，则租了条小船， 由题意得：， 解得：， 人， 答：他们租了条大船，坐小船的有人． 【跟踪专练3】某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【题型4.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左上到右下的对角线上数的关系：，即， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得： ， 解得：， ， 故选择：A 【跟踪专练2】某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃 (2)果农应付总运费1200元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃，再根据表格信息建立方程组求解即可； （2）根据货车的数量列式计算即可. 【详解】（1）解：设甲种货车每辆可装吨水蜜桃，乙种货车每辆可装吨水蜜桃． ，解得： 答：甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃． （2）（元） 答：果农应付总运费1200元； 【跟踪专练3】.如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【题型5.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】某船顺流航行36km用了，逆流航行也用了，则水流的速度为_____，船在静水中的速度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设水流速度为，船在静水中的速度为，根据“顺流3小时航行，逆流3小时航行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解∶设水流速度为，船在静水中的速度为， 依题意，得： ， 解得∶， 故答案为：，． 【跟踪专练1】哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 【跟踪专练2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 【跟踪专练3】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【题型6.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 【跟踪专练2】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了y天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解得， 答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【跟踪专练3】现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【答案】(1)20  180  180  20 工程队用的时间    工程队用的时间 工程队整治河道的米数   工程队整治河道的米数 (2)过程见解析，工程队整治河道的米数为60，工程队整治河道的米数为120． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出基本数量关系并准确解方程是解题的关键． （1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设A工程队用时天，B工程队用时天； 乙所列方程组中未知数为：设A工程队整治米，B工程队整治米，据此不全方程组即可； （2）选择其中一个方程组准确解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲：乙： 故答案为：20；180；180；20． 甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． 故答案为：工程队用的时间 ；工程队用的时间； 工程队整治河道的米数； 工程队整治河道的米数． （2）解：示例：选甲同学所列的方程组．解答如下： ②-①，得，解得． 把代入①，得，所以方程组的解为 所以工程队整治河道的米数为，工程队整治河道的米数为． 【题型7.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为________． 【答案】750 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是求出大长方形的长，然后运用长方形的面积公式进行解答即可．设小长方形的长是，宽是，再建立方程组，进而求出大长方形的长和宽以及面积． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是． 由题意得， 解得， 所以大长方形的长是． 答：大长方形的面积是． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：， 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【答案】每个小长方形的是，宽是． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是，宽是． 【跟踪专练3】根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【题型8.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有______种． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 设兑换成10元张，20元的零钱张，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：设兑换成10元张，20元的零钱张， 由题意得：， 整理得：， 满足题意的方程的整数解为：，,，， ∴兑换方案有种， 故答案为：． 【跟踪专练1】七年级（）班的同学去参加科技体验活动，第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；若设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程组即可． 【详解】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元， 根据第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元， 可列方程； 根据第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元， 可列方程； 可列方程组． 故选：A． 【跟踪专练2】一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？ 【答案】粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨，根据14天要加工完成150吨蔬菜，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨． 【跟踪专练3】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【题型9.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 【跟踪专练2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 【跟踪专练3】将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)见详解 (3)39 【分析】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． （1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出，，即可证明． （3）设该幻方的幻方值为，根据，，得出，，则，由幻方的特征得，，即，，由幻方的特征，用分别表示出幻方空的数，根据最中间的数列等式得出，再根据幻方的特征列方程，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：， 故答案为： 8，0 ； （2）证明：如图， ①根据题意可得，则； ②根据题意可得，则； （3）解：设该幻方的幻方值为， ∵，， ∴，， 则， 由幻方的特征得，， 即， 整理可得，， 则， 由幻方的特征得，左上角的数为， 第三排中间的数为， 第二排第三个空的数为， 最中间的数为， 或， 即， 整理得， 由幻方的特征得，对角线三个数之和为m，即， 解得：， 则， 即幻方值为39． 【题型10.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 【跟踪专练1】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【跟踪专练2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【跟踪专练3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【题型11.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 【跟踪专练1】某服装店用6000元购进A、B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价、标价如表所示：则这两种服装共购进（     ） 　类型 价格 A型 B型 　进价（元/件） 60 100 　标价（元/件） 100 160 A．50件 B．60件 C．70件 D．80件 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据用6000元购进A、B两种新式服装，按标价售出后获得毛利润3800元，列方程组求解． 【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件， 由题意，得， 解得：． 即：A种服装购进50件，B种服装购进30件． 则（件）． 故选：D． 【跟踪专练2】邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，.列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【跟踪专练3】设适当的未知数，列出二元一次方程（组）． (1)小红用1张50元的纸币买了5本笔记本和2支中性笔，找回18元； (2)根据图中给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格． 【答案】(1)设买1本笔记本需要元，买1支中性笔需要元， (2)设T恤衫每件元，矿泉水每瓶元， 【分析】（1）设每本笔记本的价格为元，每支中性笔的价格为元。根据“本笔记本的总价支中性笔的总价找回的元付出的元”这一等量关系列方程； （2）设每件恤衫的价格为元，每瓶矿泉水的价格为元。根据图中“件 T 恤瓶矿泉水元”和“件恤瓶矿泉水元” 的信息，列出二元一次方程组． 【详解】（1）解：设买本笔记本需要元，买支中性笔需要元． 由题意，得． （2）解：设恤衫每件元，矿泉水每瓶元． 由题意，得 【点睛】本题考查了根据实际问题列二元一次方程（组），解题关键是从题目或图形中找到两个等量关系，再设出适当的未知数，将等量关系转化为方程（组）． 【题型12.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 【答案】20 g，30g 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，根据题图，可得3块巧克力的质量2个果冻的质量；1块巧克力的质量＋1个果冻的质量50 g，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，则， 解得； ∴每块巧克力的质量为20 g，每个果冻的质量为30g； 故答案为：20 g，30g． 【跟踪专练1】一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 【跟踪专练2】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 【答案】每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据“A、B一体机价格关系”和“采购金额与数量关系”列出方程组求解． 设每套A型—体机价格为万元，每套B型—体机价格为万元，根据B型比A型价格多0.6万元、960万元买500套A型和200套B型这两个条件列方程组，求解得出价格． 【详解】设今年每套型一体机的价格是万元，每套型一体机的价格是万元， 根据题意，可得， 解得， 把代入，得， 答：每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元． 【跟踪专练3】“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【答案】(1)实际采购白猪500头，黑猪400头 (2)5 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）通过设原计划白猪和黑猪数量，根据增长百分比和总数量列方程组求解； （2）根据实际运输到位的猪数量及加工费列方程求解a的值． 【详解】（1）解：设原计划采购白猪x头，黑猪y头， 由题意得：， 解得， （头）， （头）， 答：实际采购白猪500头，黑猪400头． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：a的值为5． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，设绳索长m尺，竿长n尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺”，即可得出关于m， n的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长m尺，竿长n尺， 根据题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据题目中绢布总匹数和总售价的两个等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 【跟踪专练3】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图1规律，列出图2关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． （2）利用加减消元法，即消去x，再求出y即可求解． 【详解】（1）解：依题意得； 故答案为. （2）， 得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为：． 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】、、各代表一个数，已知：，，，那么_____． 【答案】17 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据条件可得，将代入中，得到，与联立，解方程组求出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由可得， 代入可得：， ∵， ∴两式相减可得：，即， ∴， 代入可得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】哪吒和敖丙比试法术．假设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．已知哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．则下列结论错误的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．据此列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】解：设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力． 则 得，， 解得， 把代入①得到， 解得，， ∴ ∴，， 故选项A、B、D正确，C错误， 故选：C 【跟踪专练2】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶单价为200元，小垃圾桶的单价为90元 (2)2820 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元． 根据题意得： 解得： 答：大垃圾桶单价为200元，小垃圾桶的单价为90元． （2）解：根据题意得：（元） 答：该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需2820元． 【跟踪专练3】某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸（正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收纳班级文具（制作时的接缝材料不计）． (1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰好能将准备的卡纸全部用完； (2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且，求这一天制作两种收纳盒时a的所有可能值． 【答案】(1)制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完 (2)在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组，推出二元一次方程． （1）设制作竖式收纳盒x个，横式收纳盒y个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和长方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设制作竖式收纳盒m个，横式收纳盒n个，根据竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒各用正方形和长方形卡纸的数量，列出二元一次方程组，解方程组得出二元一次方程，再由n、a均为正整数，，即可得出结果． 【详解】（1）解：设制作竖式收纳盒个，横式收纳盒个， 依题意得：，解得：． 答：制作竖式收纳盒300个，横式收纳盒400个，恰能将准备的卡纸全部用完． （2）解：设制作竖式收纳盒个，横式收纳盒个， 依题意得：， ， ，a为正整数， 为5的倍数， 又， 满足条件的为：115，120，125． 答：在这一天制作两种收纳盒时，a的所有可能值为115，120，125． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组的应用同步讲义 【题型01 由几何图形列二元一次方程组】.............................3 【题型02 由实际问题列二元一次方程组】.............................4 【题型03 二元一次方程组的应用:分配问题】...........................4 【题型04 二元一次方程组的应用:图表信息问题】.......................5 【题型05 二元一次方程组的应用:行程问题】...........................6 【题型06 二元一次方程组的应用:工程问题】...........................6 【题型07 二元一次方程组的应用:几何问题】...........................7 【题型08 二元一次方程组的应用:方案问题】...........................8 【题型09 二元一次方程组的应用:数字问题】...........................9 【题型10 二元一次方程组的应用:年龄问题】..........................10 【题型11 二元一次方程组的应用:销售利润问题】......................10 【题型12 二元一次方程组的应用:和差倍分问题】......................11 【题型13 二元一次方程组的应用:古代问题】..........................12 【题型14 二元一次方程组的应用:其他实际问题】......................13 ★知识梳理★ 用两个未知数表示题目中的两个未知量，根据两个等量关系列两个方程，组成二元一次方程组求解。 知识点01:解题步骤（六步必记） 1.审：读懂题意，找出两个未知量和两个等量关系 2.设：设两个未知数，一般设为 x、y 3.找：抓住关键词，列出两个等量关系 4.列：根据等量关系列二元一次方程组 5.解：用代入法或加减法解方程组 6.验 + 答：检验解是否符合题意，写答句 知识点02:常见等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11) 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 知识点03:关键提醒 1.必须找到两个独立等量关系，才能列方程组 2.设未知数要带单位，结果要检验合理性 3.最后一步一定要写答 【题型1.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，设的度数为，的度数为，那么可列出关于x、y的方程组是__________________． 【跟踪专练1】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【跟踪专练3】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ . 【题型2.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】某学校组织七年级135名学生参加学雷锋活动．去人民广场的学生人数比去公园的学生人数的3倍少1，去人民广场和去公园的学生各有多少名？根据题意，列出方程组其中表示____________，表示____________。 【跟踪专练1】阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有只，则只没地方去，若每棵树上有只，则剩下一棵树没乌鸦．”设树棵，乌鸦只．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知甲、乙两种物品共有13个，甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重． (1)列出关于的二元一次方程组． (2)与哪组是该方程组的解？ 【跟踪专练3】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【题型3.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某幼儿园组织114个小朋友去春游，旅行社同时安排了32座、16座、7座的三种客车共5辆，每辆客车随行1名教师，三种车的租金分别为480元、280元、200元一辆． 这样出游时每辆车刚好坐满（客车座位数量不包括司机位），则该校出租车费用为 __________． 【跟踪专练1】盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？ 【跟踪专练3】某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【题型4.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 【跟踪专练1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 【跟踪专练2】某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求果农应付运费总共多少元？ 【跟踪专练3】.如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【题型5.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】某船顺流航行36km用了，逆流航行也用了，则水流的速度为_____，船在静水中的速度为______． 【跟踪专练1】哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【跟踪专练2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【跟踪专练3】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型6.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【跟踪专练2】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【跟踪专练3】现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【题型7.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【跟踪专练2】如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【跟踪专练3】根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【题型8.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有______种． 【跟踪专练1】七年级（）班的同学去参加科技体验活动，第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；若设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？ 【跟踪专练3】2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【题型9.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【跟踪专练1】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【跟踪专练3】将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【题型10.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【跟踪专练1】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【跟踪专练2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【跟踪专练3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【题型11.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【跟踪专练1】某服装店用6000元购进A、B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价、标价如表所示：则这两种服装共购进（     ） 　类型 价格 A型 B型 　进价（元/件） 60 100 　标价（元/件） 100 160 A．50件 B．60件 C．70件 D．80件 【跟踪专练2】邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【跟踪专练3】设适当的未知数，列出二元一次方程（组）． (1)小红用1张50元的纸币买了5本笔记本和2支中性笔，找回18元； (2)根据图中给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格． 【题型12.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 【跟踪专练1】一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【跟踪专练2】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 【跟踪专练3】“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为_____． 【跟踪专练1】《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【跟踪专练3】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】、、各代表一个数，已知：，，，那么_____． 【跟踪专练1】哪吒和敖丙比试法术．假设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．已知哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．则下列结论错误的是（   ） A．， B． C． D． 【跟踪专练2】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和3个小垃圾桶共需670元；购买5个大垃圾桶和7个小垃圾桶共需1630元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买6个大垃圾桶和18个小垃圾桶共需多少元？ 【跟踪专练3】某班级开展综合实践活动，用如图1所示的正方形和长方形卡纸（正方形的边长与长方形的宽相等），制作成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体收纳盒，用于收纳班级文具（制作时的接缝材料不计）． (1)若该班级准备了正方形卡纸1100张，长方形卡纸2400张，求竖式与横式两种收纳盒各制作多少个，恰好能将准备的卡纸全部用完； (2)该班级某一天共使用了正方形卡纸60张，长方形卡纸a张，全部制作成上述两种收纳盒，且，求这一天制作两种收纳盒时a的所有可能值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $