精品解析：云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，解得，则，所以． 2. 若，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得，充分性成立； 由， 易得或时等式都成立， 当时，不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 3. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 4. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 5. 已知直线：与圆：无公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为，， 由题意知，圆心到直线的距离满足，解得． 6. 若关于的不等式有解，则实数的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作垂线构造相似，由得相似比，进而可求点坐标，通过勾股定理即可求解. 【详解】设准线与轴的交点为，过向轴作垂线，垂足为，如图， 由题意得，， 因为，，易得与相似， 所以，所以， 所以，从而，由图象可得，即， 则， 由于抛物线关于轴对称，所以当点在轴下方时结果一致. 8. 在中，内角的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因，由正弦定理得，， ， 计算得． 又因为， 所以， 即， 整理得， 所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A正确，B错误． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，，且，所以，从而，A正确． 因为，，，所以，所以，B错误，C正确，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． 13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】使用空间中点到直线的距离公式结合数量积公式即可求解. 【详解】因为，， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离． 14. 已知为双曲线：（，）右支上的一个动点，，，分别为的左、右焦点，的内切圆与轴相切于点，以坐标原点为圆心，为半径的圆恰好与直线相切，则双曲线的离心率的平方等于______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，设． 由三角形内切圆的性质可知，所以． 因为以坐标原点为圆心，为半径的圆恰好与直线相切， 所以在中，由等面积法可知，即． 又，则，所以，解得 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求ω的值； （2）求在上的单调递减区间； （3）求方程在上所有解的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的性质求解即可. （2）利用换元法结合正弦函数的单调性求解即可. （3）利用正弦函数的性质结合特殊角的三角函数值得到方程的解再求和即可. 【小问1详解】 ． 由题意可知函数的最小正周期，即，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，． 由，，解得，， 因为，令，得， 所以函数在上的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得， 所以或，， 解得或，． 令，得，； 令，得，； 令，得，（舍去）． 故在上所有解的和为． 16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1），76.5分，88 （2）． 【解析】 小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 17. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积即可求证； （2）通过线面平行将三棱锥的顶点转化到上，再使用等体积法即可； （3）求出平面与平面的法向量，再使用向量的夹角公式即可. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以，，，， 所以，． 由，得，故． 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 则，又， 直三棱柱中，平面，且， 所以三棱锥的体积． 【小问3详解】 因为，，， 所以，． 设平面的法向量为，则，即， 令，得． 易知平面的一个法向量为， 所以，故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知数列与满足（），且，． （1）证明：是等差数列． （2）当时，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以，． 所以，化简得， 即， 所以是等差数列． 【小问2详解】 由（1）知是公差为1的等差数列，且， 所以，从而， 所以， 所以 19. 已知椭圆：（）的上顶点、左顶点、左焦点构成的三角形的面积为，且的长轴长为短轴长的2倍． （1）求椭圆的标准方程． （2）设斜率为且不过坐标原点以及椭圆上下顶点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，已知，，成等比数列． ①求的值； ②证明：为定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求解椭圆的基本量； （2）①设点坐标分别表示出，，的关系，利用韦达定理计算结果；②运用两点间距离公式，消元得到关于的对称式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得，，． 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①设直线的方程为（），点，． 将直线的方程代入椭圆的方程，得， 由，得，则，． 因为，，成等比数列， 所以， 即． 因，所以，即，解得． ②证明：由①知，，， 则，． ， 故为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 4. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与圆：无公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式有解，则实数的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，内角的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 11 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 14. 已知为双曲线：（，）右支上的一个动点，，，分别为的左、右焦点，的内切圆与轴相切于点，以坐标原点为圆心，为半径的圆恰好与直线相切，则双曲线的离心率的平方等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求ω的值； （2）求在上的单调递减区间； （3）求方程在上所有解的和． 16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 17. 在直三棱柱中，，，，分别是，中点． （1）证明：． （2）求三棱锥的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18 已知数列与满足（），且，． （1）证明：是等差数列． （2）当时，求数列的前项和． 19. 已知椭圆：（）的上顶点、左顶点、左焦点构成的三角形的面积为，且的长轴长为短轴长的2倍． （1）求椭圆的标准方程． （2）设斜率为且不过坐标原点以及椭圆上下顶点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，已知，，成等比数列． ①求的值； ②证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $