6.2.1-6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.2.1-S6.2.3向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘 运算 1.已知在三角形△4BC中，可，C=6,用，万表示向量=() A.a+b 8.a-b C.-a+b D.-a-b 2.(多选)下列向量运算正确的有() A.AB+CD+BC=AD B.MC-NC=MN C.PA+AB-BO-PO D.AB-AC-BD)-CD=0 3.给出下列说法，其中不正确的是() A.若a,5是单位向量，且a,6 共线，则G=b B.若01+0D=05+ C,则4,8，C,D四点共面 C.若2PC-P+P ，则点C是线段B； 的中点 D.若a+6=0,6+8=0,则=d 4.如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设 oA=a.0B=6,则Dc=() A.26-56 B.2a+36 3 c.2a-46 3 D.-2a+46 3 5.设e是单位向量，AB=3论，CD=-3e, AD=3,则四边形ABCD是（) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 6.如图，在平行四边形1BC 中，F为CD的中点，8C-BE,则所=() D B E A..C 6 c.6 D.6 2 7.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点，则下列 选项正确的有() D A 夕 AF丽 3 BE=CB-CE D. AD+DC=AB+BC 8.已知可， 是不共线的向量， 0A=a+b,oB=2a-b,0C=a-25,AB,C三点共线，则 元，u 满足() 2=-3 2=u+3 九=u+2 2=4-2 A. B. C. D. 2 9.如图，在△MBC中，D为8C的中点，M正=2C,D与BE交于点F,若 ，则下面对于太的描述正确的是（) E B D 2x+3y=-1 2x-3y=1 ①， ②， ③， x-y=1 x+y=-1 ④， A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 10如图，在ABC中，N=时4C,网-号项，者西-A丽+C,则1+n-《) B C A.9 B.3 c 1.如图，在△4BC中，N=2C,p是N上的-点，若P=丽+号4C,则实数，的 值为 C 12.如图所示，在△1BC中，10是BC边上的中线，K为10上一点，且40=2派 ,经过 K的直线分别交直线B,AC 不同的两 点M,N.若B=mW,AC=n孤，则m+n- 3 B M 13.如图，矩形ABCD中，E是线段DC的中点，F是线段AE的中点，连接BF,若 BF=AAB+HAD ,则2+u= D F 14.如图，在梯形ABCD中，AB/1DC,AB=2DC,点E是线段AD的中点.点F是线段 BE上的点，且BF=4FE, D E F B (用，D表示配，BC (2)求证：A,C,F三点共线. 15在A1OB中，∠40B为直角，0c-o,0D-0丽，405C相交于点M连接 oM,记OA=d,OB=b E 4 B (4试用°，5表示向量OM。 2在线段1C上取一点E,在线段BD上取一点F,使得直线EF过M,设O正=O 13 OF=uO丽（2'u均为非零实数)，求元+的值. 5 §6.2.1-§6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 1. 已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 2. （多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 3. 给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若是单位向量，且共线，则 B．若，则，，，四点共面 C．若，则点是线段的中点 D．若，，则 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量的混合运算、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据向量的共线定理，向量的加法运算，减法运算即可求解. 【详解】对于A，若是单位向量，且共线，则，或，故A不正确； 对于B, 若，则，即, ,则，，，四点共面，故B正确； 对于C，若，则，即， 则，且三点共线，因此可得点是线段的中点，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D正确； 故选：A. 4. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 5. 设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的模、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 6. 如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 7. （多选）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 8. 已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、向量减法的法则 【分析】根据条件，利用向量的线性运算，得，，再利用向量共线的充要条件，得，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 若A，B，C三点共线，则，则存在实数,使得，所以， 即，化简得， 故选：B. 9. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（    ） ①，   ②， ③，   ④， A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算即可得出. 【详解】 ， 因为，所以，即， 由三点共线，所以， 即，故①正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故③正确； 故选： 10. 如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 11. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 12. 如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 13. 如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____.    【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】向量减法法则的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解. 【详解】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 故答案为： 14. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 15. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)7 【难度】0.64 【知识点】用基底表示向量、已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $