6.1 平面向量的概念 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.1 平面向量的概念 目录 题型1：向量有关概念的辨析 3 题型2：向量的几何表示 5 题型3：相等向量或共线向量问题 6 1. 向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 提醒 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； (2)看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； (3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2. 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，其包含三个要素：起点、方向、长度。 通常有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作（起点写在终点的前面），有向线段的长度记作。 3. 向量的表示法 (1) 几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 (2) 字母表示：向量可以用字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如。 4. 向量的有关概念 (1) 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小。 (2) 零向量 长度为0的向量，它的方向是任意的，记作。 (3) 单位向量 长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量。 提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. (4) 相等向量 长度相等且方向相同的向量。如果向量与向量相等，记为。 提醒 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 5. 平行向量（共线向量） (1) 方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量。如果向量与平行，那么可记为。 (2) 任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：与任一向量平行。 (3) 传递性：如果非零向量，满足，，则。 提醒 (1)两个向量共线要区别于两条直线共线。两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系。 (2)共线向量不一定是相等向量，相等向量一定是共线向量。 题型1：向量有关概念的辨析 方法提炼 理解向量有关概念的关键点 (1) 向量定义的关键是方向与长度； (2) 共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关； (3) 相等向量要求两个向量方向相同且长度相等； (4) 共线向量或相等向量均与向量起点无关； (5) 零向量的长度是零，规定零向量与任意向量平行; (6) 单位向量的长度都是一个单位长度. 【例1.1.】 下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【例1.2.】 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【例1.3.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【例1.4.】 (多选)下列命题中正确的有（   ） A．平行向量就是共线向量 B．方向相反的向量就是相反向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【例1.5.】 下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【例1.6.】 下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【例1.7.】 （多选）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 题型2：向量的几何表示 【例2.1.】 某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【例2.2.】 在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【例2.3.】 飞机从A地按北偏西的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，求该飞机飞行的路程和位移． 【例2.4.】 如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 题型3：相等向量或共线向量问题 方法提炼 （1） 在平面图形中找共线向量时，可先找同一条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应一正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段也可以表示共线向量。 （2） 找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度和方向都相等的共线向量。 （3） 常用结论： （4） ，且四点不共线 四边形为平行四边形 （5） 若，则三点共线；若，则三点共线。 【例3.1.】 设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 【例3.2.】 给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【例3.3.】 （多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【例3.4.】 （多选）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例3.5.】 在四边形中，有，则四边形的形状为__________. 【例3.6.】 如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【例3.7.】 如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.1 平面向量的概念 目录 题型1：向量有关概念的辨析 3 题型2：向量的几何表示 7 题型3：相等向量或共线向量问题 11 1. 向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量。数量可以比较大小，物理学中称为标量；向量不能比较大小，物理学中称为矢量。 提醒 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； (2)看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； (3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2. 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，其包含三个要素：起点、方向、长度。 通常有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以为起点，为终点的有向线段记作（起点写在终点的前面），有向线段的长度记作。 3. 向量的表示法 (1) 几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 (2) 字母表示：向量可以用字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如。 4. 向量的有关概念 (1) 向量的模 向量的大小称为向量的长度（或称模，记作，向量的模可以比较大小。 (2) 零向量 长度为0的向量，它的方向是任意的，记作。 (3) 单位向量 长度等于1个单位长度的向量。 是与同方向的单位向量。 提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. (4) 相等向量 长度相等且方向相同的向量。如果向量与向量相等，记为。 提醒 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 5. 平行向量（共线向量） (1) 方向相同或相反的非零向量（模不一定相等）叫做平行向量，即共线向量。如果向量与平行，那么可记为。 (2) 任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：与任一向量平行。 (3) 传递性：如果非零向量，满足，，则。 提醒 (1)两个向量共线要区别于两条直线共线。两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系。 (2)共线向量不一定是相等向量，相等向量一定是共线向量。 题型1：向量有关概念的辨析 方法提炼 理解向量有关概念的关键点 (1) 向量定义的关键是方向与长度； (2) 共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关； (3) 相等向量要求两个向量方向相同且长度相等； (4) 共线向量或相等向量均与向量起点无关； (5) 零向量的长度是零，规定零向量与任意向量平行; (6) 单位向量的长度都是一个单位长度. 【例1.1.】 下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【例1.2.】 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【例1.3.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 【例1.4.】 (多选)下列命题中正确的有（   ） A．平行向量就是共线向量 B．方向相反的向量就是相反向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、判断命题的必要不充分条件、向量的模 【分析】根据平行向量和相等相反向量的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对； 对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错； 对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错； 对于D选项，“两个向量平行”推不出 “这两个向量相等”， 另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”， 所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对. 故选：AD． 【例1.5.】 下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】零向量与单位向量、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误； C：根据零向量的定义可判断C正确； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 【例1.6.】 下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量） 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【例1.7.】 （多选）下列结论中，错误的是（    ） A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误. 故选：BCD. 题型2：向量的几何表示 【例2.1.】 某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【例2.2.】 在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【例2.3.】 飞机从A地按北偏西的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，求该飞机飞行的路程和位移． 【答案】位移大小为(方向在A地的东偏北)，路程 【难度】0.94 【知识点】速度、位移的合成 【分析】 根据题意作出图形，由位移的合成及三角形的知识即可求解. 【详解】 如图所示，表示飞机从A地按北偏西方向飞行到B地的位移，则． 表示飞机从B地按南偏东方向飞行到C地的位移，则． 所以该飞机飞行的路程为． 表示飞机从A地到C地的位移，在中，， 且，则为等边三角形， 所以，则． 所以该飞机飞行的位移的大小为，方向在A地的东偏北. 【例2.4.】 如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 题型3：相等向量或共线向量问题 方法提炼 （1） 在平面图形中找共线向量时，可先找同一条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应一正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段也可以表示共线向量。 （2） 找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度和方向都相等的共线向量。 （3） 常用结论： （4） ，且四点不共线 四边形为平行四边形 （5） 若，则三点共线；若，则三点共线。 【例3.1.】 设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】根据三角形外心的性质和相等向量、平行向量等知识逐项判断即可. 【详解】因为是的外心，则有. 因为的方向不同，所以它们是模相等的向量，所以C正确. 对于A，因为它们的方向不同，所以不是相等向量，所以A错误； 对于B，因为它们不共线，所以不是平行向量，所以B错误； 对于D，因为的起点分别为，所以它们的起点不同，所以D错误； 故选：C. 【例3.2.】 给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 【例3.3.】 （多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 【例3.4.】 （多选）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解． 【详解】由正六边形的结构特征可知， 与方向相同，长度相等，，故选项A正确， 与方向相反，，故选项B正确， 由正六边形的性质可知，，故选项C正确， 与不共线，所以不会相等，故选项D错误， 故选：ABC． 【例3.5.】 在四边形中，有，则四边形的形状为__________. 【答案】平行四边形 【难度】0.85 【知识点】相等向量 【分析】根据向量相等的概念可得结果. 【详解】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 【例3.6.】 如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 【例3.7.】 如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】（1）根据题意，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量； （2）根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论. 【详解】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $