6.1 平面向量的概念 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.1 平面向量的概念 1. 以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 2. （多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 3. （多选）下列命题正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C．若与是平行向量，则 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误， 对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确， 对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误， 对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确， 故选：BD. 4. 如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可． 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 5. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【详解】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 6. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心.    (1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个? (2)图中所示的向量中与共线的向量有几个? 【答案】(1)11 (2)4 【难度】0.94 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】 （1）根据平面向量的概念即可得出结论； （2）由共线向量的概念即可得出结论. 【详解】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长. 因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个. （2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个. 7. 如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 8. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【难度】0.85 【知识点】向量的模、相反向量、平面向量的概念与表示 【分析】（1）根据向量的长度作出； （2）根据方向及模长即可求解； （3）根据模长相等方向相反即可作图. 【详解】（1）作出向量如下图所示： （2）作出向量如上图所示： （3）作出向量的负向量如上图所示. 9. 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，D在B的正北方向， 则△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 10. 如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.1 平面向量的概念 1. 以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 2. （多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 3. （多选）下列命题正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C．若与是平行向量，则 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 4. 如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 5. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 6. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心.    (1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个? (2)图中所示的向量中与共线的向量有几个? 7. 如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 8. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 9. 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 10. 如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $