第一章整式的乘除1.2整式的乘法题型总结2025-2026学年北师大版数学七年级下 册

北师大版七年级下第一章 整式的乘除 1.2整式的乘法 【题型一】单项式乘单项式 【例1】（2025秋•山西校级期末）下列运算正确的是（　　） A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3 C．a4+a2＝a2 D．3a2+4a7＝7a9 【分析】需根据运算法则逐一判断，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：根据整式的乘法和加法运算逐项分析判断如下： A、2a2•3a＝6a3，故原选项计算正确，符合题意； B、（2a）3＝8a3，故原选项计算错误，不符合题意； C、a4和a2不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、3a2和4a7不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025秋•阿克陶县期末）已知：（a﹣2）2+|b+3|＝0，c是最小的自然数，d是最大负整数． （1）求a、b、c、d的值； （2）试求a×b2+c﹣d的值． 【分析】（1）根据非负数的性质及有理数相关概念求出a、b、c、d的值即可； （2）将求出的a、b、c、d的值代入代数式求值即可． 【解答】解：（1）由条件可知a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∵c是最小的自然数，d是最大负整数， ∴c＝0，d＝﹣1； （2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝0，d＝﹣1 ∴原式＝2×（﹣3）2+0﹣（﹣1） ＝2×9+1 ＝19． 【变式1】（2026•湖北一模）下列计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a3b）2＝a2b2 C．（a3）4＝a7 D．5y2•3y3＝15y5 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、a2•a5＝a7，故此选项不符合题意； B、（a3b）2＝a6b2，故此选项不符合题意； C、（a3）4＝a12，故此选项不符合题意； D、5y2•3y3＝15y5，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025秋•西城区校级期末）计算：（﹣2a2b）（﹣4abc）＝　8a3b2c ． 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：（﹣2a2b）（﹣4abc） ＝[（﹣2）×（﹣4）]•（a2•a）•（b•b）•c ＝8a3b2c， 故答案为：8a3b2c． 【变式3】（2025秋•闵行区期末）计算：2a2•a3+（﹣a3）2． 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算前一部分，根据幂的乘方法则计算后一部分即可． 【解答】解：原式＝2a5+a6． 【题型二】单项式乘多项式 【例1】（2025秋•川汇区校级期末）如图，小明用四个边长为a的正方形．两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） A．2a＝4b B．a2＝2ab C．4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2 D．（2a+b）2＝4a2+4ab 【分析】分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【解答】解：小明用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成的图1的面积为：4a（a+b）， 小明用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成的图2的面积为：（2a+b）2﹣b2， 即4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2． 故选：C． 【例2】（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　　 ． 【分析】先设两个正方形的重合部分面积是m，分别列代数式表示出a，b的值，再化简所求代数式后，代入求解． 【解答】解：设两个正方形的重合部分面积是m， 则a＝4﹣m，bm， ∴2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2） ＝2ab﹣2a﹣2ab+2b ＝2（b﹣a） ＝2[（4﹣m）﹣（m）] ＝2（4﹣mm） ＝2 ， 故答案为：． 【变式1】（2025秋•西宁期末）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】由 m﹣n＝3 得 m＝n+3，代入 m（n+1）得到m（n+1）＝n2+4n+3，利用配方法可得n2+4n+3＝（n+2）2﹣1≥﹣1，即得m（n+1）≥﹣1，据此即可求解． 【解答】解：由条件可知m＝n+3， ∴m（n+1）＝（n+3）（n+1）＝n2+4n+3＝（n+2）2﹣1， ∴m（n+1）≥﹣1， ∴m（n+1）可能取值为﹣1， 故选：D． 【变式2】（2025秋•东台市期末）如果一个长方形的长是2x2y﹣y2，宽是3xy，则这个长方形的面积为　6x3y2﹣3xy3 ． 【分析】根据长方形的面积公式列出算式，然后根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得长方形的面积为（2x2y﹣y2）•3xy＝6x3y2﹣3xy3， 故答案为：6x3y2﹣3xy3． 【变式3】（2025秋•丰台区期末）已知m2﹣4m﹣5＝0，则代数式2m（m﹣4）﹣1的值为　9　 ． 【分析】将代数式整理得 2（m2﹣4m）﹣1，然后利用已知条件得到 m2﹣4m＝5，整体代入计算即可． 【解答】解：根据题意可知，m2﹣4m＝5， ∴原式＝2（m2﹣4m）﹣1 ＝2×5﹣1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为：9． 【题型三】多项式乘多项式 【例1】（2025秋•潮州期末）若长方形玻璃的长为2a+1，对应的宽为2a﹣1，则此玻璃的面积为（　　） A．4a2﹣1 B．4a2﹣4a+1 C．4a2+4a+1 D． 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算即可． 【解答】解：根据题意可知，此玻璃的面积为（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1． 故选：A． 【例2】（2025秋•宜昌期末）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据展开式中不含x3和x2项得出4+m＝0，n﹣3m＝0，即可求出m、n的值； （2）先根据多项式乘多项式的法则计算，再把m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 【变式1】（2025秋•大理州期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【分析】先把原式按多项式乘法展开后，代入a﹣b＝5，ab＝3，即可得到结果． 【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+1）（b﹣1） ＝ab﹣a+b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝3﹣5﹣1 ＝﹣3． 故选：A． 【变式2】（2025秋•宁乡市期末）若（m﹣2）（m﹣n）中不含m的一次项，则n＝　﹣2　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令m的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（m﹣2）（m﹣n）＝m2+（﹣n﹣2）m+2n不含m的一次项， ∴﹣n﹣2＝0， 解得n＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式3】（2025秋•成都校级期末）【知识回顾】 已知代数式xy+6+3x﹣1的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（y+3）x+5，所以y+3＝0，即y＝﹣3． 【理解运用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值． 【分析】（1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【解答】解：（1）原式＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x﹣3m+2m2， ∵（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 解得：； （2）原式＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy）﹣6x2+6xy﹣6 ＝6x2﹣6x﹣3+9xy﹣6x2+6xy﹣6 ＝15xy﹣6x﹣9 ＝（15y﹣6）x﹣9， ∵整式的值与x无关， ∴15y﹣6＝0， 解得：． 【课后练习】 1．（2025秋•章丘区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a•2b＝5ab B．a8﹣a4＝a4 C．a9÷a3＝a3 D．（﹣a3b）2＝a6b2 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法、除法运算法则，分别判断即可． 【解答】解：3a•2b＝6ab，故不符合题意； a8﹣a4≠a4，故不符合题意； a9÷a3＝a6，故不符合题意； （﹣a3b）2＝a6b2，故符合题意； 故选：D． 2．（2025秋•海州区校级期末）下列运算正确的是（　　） A．a12÷a6＝a6 B．m2+m3＝m5 C．3ab2•b3＝3ab6 D．（ab）4＝ab4 【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方法则计算，判断即可． 【解答】解：A、a12÷a6＝a12﹣6＝a6，故本选项运算正确，符合题意； B、m2与m3不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； C、3ab2•b3＝3ab5，故本选项运算错误，不符合题意； D、（ab）4＝a4b4，故本选项运算错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025秋•广安区期末）计算：a2•（3a）2＝　9a4 ． 【分析】先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 【解答】解：原式＝a2•9a2＝9a4． 故答案为：9a4． 4．（2025秋•滨海新区校级期末）计算：a2b×a3b2＝a5b3 ． 【分析】根据单项式乘单项式的法则即可求解． 【解答】解：原式＝a2+3b1+2＝a5b3． 故答案为：a5b3． 5．（2025秋•株洲校级期末）计算：2a2b•（﹣3a3）＝　﹣6a5b ． 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算即可． 【解答】解：根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算可得： 2a2b•（﹣3a3）＝﹣6a5b． 故答案为：﹣6a5b． 6．（2025秋•志丹县期末）计算：x3•x4+2x2•x5． 【分析】先计算同底数幂的乘法再合并即可． 【解答】解：原式＝x7+2x7＝3x7． 7．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：7a2•a4+（﹣2a2）3+a9÷a3． 【分析】根据多项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝7a6﹣8a6+a6 ＝0． 8．（2025秋•宜春期末）下列运算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x5）2＝x7 C．x5÷x3＝x2 D．x•（x﹣2y）＝x2+2xy 【分析】本题考查幂的运算性质及单项式乘多项式法则，需根据相关法则逐一验证选项． 【解答】解：A、x2•x4＝x2+4＝x6≠x8，选项计算错误，不符合题意； B、（x5）2＝x5×2＝x10≠x7，选项计算错误，不符合题意； C、x5÷x3＝x5﹣3＝x2，选项计算正确，符合题意； D、x•（x﹣2y）＝x2﹣2xy≠x2+2xy，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 9．（2025秋•杭州期末）已知a，b，c是实数，若ac＝bc，则下列式子一定成立的是（　　） A．a＝b B．a2＝b2 C．ac2＝bc2 D．a（c﹣1）＝b（c﹣1） 【分析】根据单项式乘单项式的计算方法以及等式的性逐项进行判断即可． 【解答】解：A．若ac＝bc，当c≠0时，有a＝b，当c＝0时，a与b可以不相等，因此选项A不符合题意； B．若ac＝bc，当c≠0时，有a＝b，当c＝0时，a与b可以不相等，所以a2与b2也不一定相等，故选项B不符合题意； C．若ac＝bc，将两边都乘以c可得ac2＝bc2，因此选项C符合题意； D．若ac＝bc，当c≠0时，有a＝b，当c＝0时，a与b可以不相等，所以a（c﹣1）与b（c﹣1）也不一定相等，因此选项D不符合题意． 故选：C． 10．（2025秋•历下区期末）计算：xy（x﹣2y）＝x2y﹣2xy2 ． 【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：xy（x﹣2y）＝xy•x﹣xy•2y＝x2y﹣2xy2， 故答案为：x2y﹣2xy2． 11．（2025秋•浦东新区期末）计算：　　 ． 【分析】根据单项式乘多项式法则和单项式乘单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 12．（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝　4a2﹣2a+1　 ． 【分析】根据题意求（12a3﹣6a2+3a）÷3a即可得出答案． 【解答】解：P＝（12a3﹣6a2+3a）÷3a ＝4a2﹣2a+1； 故答案为：4a2﹣2a+1． 13．（2025秋•东莞市校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则化简进而得出答案． 【解答】解：原式＝3x2﹣x3+x3﹣2x2+1 ＝x2+1， 把x＝3代入x2+1＝9+1＝10． 14．（2025秋•镇原县期末）计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝﹣8x3y3+2x2y2+8x3y3 ＝2x2y2． 15．（2025秋•岳塘区期中）关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求出两个多项式的和，再根据不含a2和a项进行求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则化简，然后代入值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝ma2+3a﹣1﹣4a2+na﹣a﹣1＝（m﹣4）a2+（3+n﹣1）a﹣2， ∵a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a， ∴m﹣4＝0，3+n﹣1＝0， 解得：m＝4，n＝﹣2； （2）原式＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2＝2m2n﹣5mn2， 当m＝4，n＝﹣2时， 原式＝2×42×（﹣2）﹣5×4×（﹣2）2＝﹣144． 16．（2025秋•仓山区校级期中）计算： （1）（3a3）2﹣4a5•2a； （2）2ab（2a2+ab﹣2b2）． 【分析】（1）首先计算积的乘方和单项式乘单项式，然后合并同类项； （2）用单项式乘多项式的每一项即可． 【解答】解：（1）原式＝9a6﹣8a6＝a6； （2）原式＝4a3b+2a2b2﹣4ab3． 17．（2025秋•长春校级期中）如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示）． （2）若b＝2a，大长方形面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，则　　 ． 【分析】（1）先根据小长方形的长、宽确定大长方形的长n和宽m，计算大长方形面积后，减去6个小长方形的面积，得到阴影部分面积； （2）将b＝2a代入S2和S1的表达式，计算两者的比值． 【解答】解：（1）根据题意可知，大长方形的长为：n＝4a+b，大长方形的宽为：m＝2a+b， ∴面积为：n×m＝（4a+b）（2a+b）， 又∵6个小长方形面积为：6×a（a+b）＝6a（a+b）， ∴阴影部分面为：（4a+b）（2a+b）﹣6a（a+b） ＝8a2+4ab+2ab+b2﹣6a2﹣6ab ＝2a2+b2； （2）∵b＝2a， ∴， ， ∴． 18．（2025秋•龙马潭区校级期中）计算：（x2y）2﹣x（x﹣2x3y2）． 【分析】利用单项式乘单项式去括号，再合并同类项． 【解答】解：（x2y）2﹣x（x﹣2x3y2） ＝x4y2﹣x2+2x4y2 ＝3x4y2﹣x2． 19．（2025秋•驻马店期末）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25； ③当a＝3时，352＝1225＝　3×4×100+25　 ； … （2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？请说明理由． 【分析】（1）根据规律直接得出结论即可； （2）根据（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论． 【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25； ∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25， 故答案为：3×4×100+25； （2）100a（a+1）+25，理由如下： （10a+5）（10a+5） ＝100a2+100a+25 ＝100a（a+1）+25． 20．（2025秋•渝中区期末）若（x﹣4）（x+3）＝x2+mx+n，则mn的值为（　　） A．12 B．﹣7 C．7 D．﹣12 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再结合已知求出m、n的值，再计算即可． 【解答】解：（x﹣4）（x+3）＝x2+3x﹣4x﹣12＝x2﹣x﹣12， ∵（x﹣4）（x+3）＝x2+mx+n， ∴m＝﹣1，n＝﹣12， ∴mn＝﹣1×（﹣12）＝12， 故选：A． 21．（2025秋•汉阳区期末）若（2x﹣m）（x+6）的结果中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【解答】解：根据题意可知，（2x﹣m）（x+6）＝2x2+12x﹣mx﹣6m＝2x2+（12﹣m）x﹣6m， 又∵（2x﹣m）（x+6）的结果中不含x的一次项， ∴12﹣m＝0， 解得：m＝12． 故选：D． 22．（2025秋•无锡校级期末）要使（x+2）（x2﹣ax﹣1）的展开式中x2项系数为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含x2项的系数为1，进而得出答案． 【解答】解：原式＝x3﹣ax2+2x2﹣x﹣2ax﹣2＝x3+（2﹣a）x2﹣（1+2a）x﹣2， ∵展开式中x2项系数为1， ∴2﹣a＝1， 解得：a＝1． 故选：D． 23．（2025秋•内江期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 【分析】先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求m的值． 【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） ＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m ＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次项， ∴8+m＝0， 解得：m＝﹣8． 故选：B． 24．（2025秋•西华县期末）已知m，n为常数，且（x+3）（x+m）＝x2+nx﹣24为恒等式，则m+n＝　﹣13　 ． 【分析】由（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m＝x2+nx﹣24，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【解答】解：∵（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m＝x2+nx﹣24， ∴m+3＝n，3m＝﹣24， 解得n＝﹣5，m＝﹣8， ∴m+n＝﹣8+（﹣5）＝﹣13， 故答案为：﹣13． 25．（2025秋•历城区校级期末）当x2+x＝9时，（1﹣x）（2+x）的值是　﹣7　 ． 【分析】先将所求代数式展开整理，再结合已知条件x2+x＝9进行整体代入计算． 【解答】解：（1﹣x）（2+x）＝2+x﹣2x﹣x2＝2﹣x﹣x2＝﹣（x2+x）+2； 由条件可得﹣9+2＝﹣7； 故答案为：﹣7． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）若（x2﹣2x+m）（x2+x﹣25）的展开式中不含x的一次项，则m＝　﹣50　 ． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2﹣2x+m）（x2+x﹣25）＝x4﹣x3+（m﹣27）x2+（m+50）x﹣25m不含x的一次项， ∴m+50＝0， 解得m＝﹣50． 故答案为：﹣50． 27．（2025秋•海沧区校级期末）一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为　4　 ． 【分析】设它的宽是xcm．可利用面积相等列方程，求出x的值即可． 【解答】解：设它原来的宽是xcm， 由题意得，12x＝（12﹣4）（x+2）， 解得x＝4， 答：它的宽是4cm． 故答案为：4． 28．（2025秋•无锡校级期末）计算： （1）； （2）（﹣2a+3）（a﹣4）． 【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，再算加减法即可； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2+1+4＝3； （2）原式＝﹣2a2+8a+3a﹣12＝﹣2a2+11a﹣12． 29．（2025秋•娄烦县期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为（3a﹣5b）cm，宽为（a﹣b）cm，小长方形的长为acm，宽为（a﹣2b）cm． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【分析】（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为： （3a﹣5b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b） ＝3a2﹣5ab﹣3ab+5b2﹣a2+2ab ＝（2a2﹣6ab+5b2）cm2， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为（2a2﹣6ab+5b2）cm2； （2）（2a2﹣6ab+5b2）﹣a（a﹣2b） ＝2a2﹣6ab+5b2﹣a2+2ab ＝（a2﹣4ab+5b2）cm2， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大（a2﹣4ab+5b2）cm2． 30．（2025秋•金昌校级期末）计算：2x（x﹣2）+（4+2x）（2﹣x）． 【分析】运用整式乘法法则进行运算即可． 【解答】解：原式＝﹣2x（2﹣x）+（4+2x）（2﹣x） ＝（4+2x﹣2x）（2﹣x） ＝4（2﹣x） ＝8﹣4x． 31．（2025秋•横山区期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积＝（3a﹣b）（a+b），利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【解答】解：（1）（4a+2b+3a﹣b）（3a+2b） ＝21a2+14ab+3ab+2b2 ＝（21a2+17ab+2b2）平方米， 答：这块长方形土地的总面积是（21a2+17ab+2b2）平方米． （2）（3a﹣b）[（3a+2b）﹣（2a+b）]＝（3a2+2ab﹣b2）平方米， 当a＝2，b＝2时，原式＝3×22+2×2×2﹣22＝16平方米， 答：厨房的用地面积为16平方米． 32．（2025秋•长清区期末）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可作出答案； （2）将x＝2，y＝3代入即可． 【解答】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2 ＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2 ＝2x2+5xy； （2）当x＝2，y＝3时， 2x2+5xy ＝2×22+5×2×3 ＝8+30 ＝38（平方米）， 答：文化广场的面积为38平方米． 33．（2025秋•农安县校级期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10， （2x+a）（x+b） ＝2x2+（a+2b）x+ab ＝2x2﹣9x+10， 所以2b﹣3a＝11，① a+2b＝﹣9．② 由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11， 所以a＝﹣5． 所以2b＝﹣4． 所以b＝﹣2． （2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10． 34．（2025秋•花都区期末）计算：（x+2）（x+3）． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果． 【解答】解：原式＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6． 35．（2025秋•丰台区期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣x（x﹣2y）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣xy+4xy﹣2y2﹣x2+2xy ＝x2+5xy﹣2y2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级下第一章 整式的乘除 1.2整式的乘法 【题型一】单项式乘单项式 【例1】（2025秋•山西校级期末）下列运算正确的是（　　） A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3 C．a4+a2＝a2 D．3a2+4a7＝7a9 【分析】需根据运算法则逐一判断，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：根据整式的乘法和加法运算逐项分析判断如下： A、2a2•3a＝6a3，故原选项计算正确，符合题意； B、（2a）3＝8a3，故原选项计算错误，不符合题意； C、a4和a2不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、3a2和4a7不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025秋•阿克陶县期末）已知：（a﹣2）2+|b+3|＝0，c是最小的自然数，d是最大负整数． （1）求a、b、c、d的值； （2）试求a×b2+c﹣d的值． 【分析】（1）根据非负数的性质及有理数相关概念求出a、b、c、d的值即可； （2）将求出的a、b、c、d的值代入代数式求值即可． 【解答】解：（1）由条件可知a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∵c是最小的自然数，d是最大负整数， ∴c＝0，d＝﹣1； （2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝0，d＝﹣1 ∴原式＝2×（﹣3）2+0﹣（﹣1） ＝2×9+1 ＝19． 【变式1】（2026•湖北一模）下列计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a3b）2＝a2b2 C．（a3）4＝a7 D．5y2•3y3＝15y5 【变式2】（2025秋•西城区校级期末）计算：（﹣2a2b）（﹣4abc）＝　 ． 【变式3】（2025秋•闵行区期末）计算：2a2•a3+（﹣a3）2． 【题型二】单项式乘多项式 【例1】（2025秋•川汇区校级期末）如图，小明用四个边长为a的正方形．两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） A．2a＝4b B．a2＝2ab C．4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2 D．（2a+b）2＝4a2+4ab 【例2】（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　 　 ． 【变式1】（2025秋•西宁期末）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【变式2】（2025秋•东台市期末）如果一个长方形的长是2x2y﹣y2，宽是3xy，则这个长方形的面积为　 ． 【变式3】（2025秋•丰台区期末）已知m2﹣4m﹣5＝0，则代数式2m（m﹣4）﹣1的值为　 　 ． 【题型三】多项式乘多项式 【例1】（2025秋•潮州期末）若长方形玻璃的长为2a+1，对应的宽为2a﹣1，则此玻璃的面积为（　　） A．4a2﹣1 B．4a2﹣4a+1 C．4a2+4a+1 D． 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算即可． 【解答】解：根据题意可知，此玻璃的面积为（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1． 故选：A． 【例2】（2025秋•宜昌期末）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据展开式中不含x3和x2项得出4+m＝0，n﹣3m＝0，即可求出m、n的值； （2）先根据多项式乘多项式的法则计算，再把m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 【变式1】（2025秋•大理州期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【变式2】（2025秋•宁乡市期末）若（m﹣2）（m﹣n）中不含m的一次项，则n＝　 　 ． 【变式3】（2025秋•成都校级期末）【知识回顾】 已知代数式xy+6+3x﹣1的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（y+3）x+5，所以y+3＝0，即y＝﹣3． 【理解运用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值． 【课后练习】 1．（2025秋•章丘区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a•2b＝5ab B．a8﹣a4＝a4 C．a9÷a3＝a3 D．（﹣a3b）2＝a6b2 2．（2025秋•海州区校级期末）下列运算正确的是（　　） A．a12÷a6＝a6 B．m2+m3＝m5 C．3ab2•b3＝3ab6 D．（ab）4＝ab4 3．（2025秋•广安区期末）计算：a2•（3a）2＝　 ． 4．（2025秋•滨海新区校级期末）计算：a2b×a3b2＝ ． 5．（2025秋•株洲校级期末）计算：2a2b•（﹣3a3）＝　 ． 6．（2025秋•志丹县期末）计算：x3•x4+2x2•x5． 7．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：7a2•a4+（﹣2a2）3+a9÷a3． 8．（2025秋•宜春期末）下列运算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x5）2＝x7 C．x5÷x3＝x2 D．x•（x﹣2y）＝x2+2xy 9．（2025秋•杭州期末）已知a，b，c是实数，若ac＝bc，则下列式子一定成立的是（　　） A．a＝b B．a2＝b2 C．ac2＝bc2 D．a（c﹣1）＝b（c﹣1） 10．（2025秋•历下区期末）计算：xy（x﹣2y）＝ ． 11．（2025秋•浦东新区期末）计算： 　 ． 12．（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝　 　 ． 13．（2025秋•东莞市校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 14．（2025秋•镇原县期末）计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 15．（2025秋•岳塘区期中）关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 16．（2025秋•仓山区校级期中）计算： （1）（3a3）2﹣4a5•2a； （2）2ab（2a2+ab﹣2b2）． 17．（2025秋•长春校级期中）如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示）． （2）若b＝2a，大长方形面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，则　 　 ． 18．（2025秋•龙马潭区校级期中）计算：（x2y）2﹣x（x﹣2x3y2）． 19．（2025秋•驻马店期末）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25； ③当a＝3时，352＝1225＝　 　 ； … （2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？请说明理由． 20．（2025秋•渝中区期末）若（x﹣4）（x+3）＝x2+mx+n，则mn的值为（　　） A．12 B．﹣7 C．7 D．﹣12 21．（2025秋•汉阳区期末）若（2x﹣m）（x+6）的结果中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（2025秋•无锡校级期末）要使（x+2）（x2﹣ax﹣1）的展开式中x2项系数为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 23．（2025秋•内江期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 24．（2025秋•西华县期末）已知m，n为常数，且（x+3）（x+m）＝x2+nx﹣24为恒等式，则m+n＝　 　 ． 25．（2025秋•历城区校级期末）当x2+x＝9时，（1﹣x）（2+x）的值是　 　 ． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）若（x2﹣2x+m）（x2+x﹣25）的展开式中不含x的一次项，则m＝　 　 ． 27．（2025秋•海沧区校级期末）一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为　 　 ． 28．（2025秋•无锡校级期末）计算： （1）； （2）（﹣2a+3）（a﹣4）． 29．（2025秋•娄烦县期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为（3a﹣5b）cm，宽为（a﹣b）cm，小长方形的长为acm，宽为（a﹣2b）cm． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 30．（2025秋•金昌校级期末）计算：2x（x﹣2）+（4+2x）（2﹣x）． 31．（2025秋•横山区期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 32．（2025秋•长清区期末）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积． 33．（2025秋•农安县校级期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 34．（2025秋•花都区期末）计算：（x+2）（x+3）． 35．（2025秋•丰台区期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣x（x﹣2y）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $