5.3.2函数的极值与最大（小）值(2)课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与 最大(小)值 (2) 5.3 导数在研究函数中的应用 ——函数的最值 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 复习回顾 左正右负有极大值; 左负右正有极小值. ① 求出函数f (x)的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值. 求函数极值的步骤： ⑤对函数f(x)的极值下结论. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 极大值f(x1) ↓ 极小值f(x2) (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ [a, b] x1或x2 复习回顾 新知导入 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 函数在什么条件下一定有最大、最小值? 它们与函数极值关系如何？ 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 新知探究 在闭区间[a,b]上的连续函数必有最大值与最小值 x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) 探究1：观察下列图形,你能找出函数的最值吗？ x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值. 该函数没有最大值 新知探究 结论：一般的，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 探究1：观察下列图形,你能找出函数的最值吗？ 新知探究 探究2：观察下面定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，找出最值并总结规律. 发现图中____________是极小值，_____是极大值，在区间上的函数的最大值是_____，最小值是_____. f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) x3 x x2 O a b x1 y y=f(x) 结论：极值在函数的极值点或是端点处取到. 新知探究 思考：最值与极值有什么区别和联系？ 1. 极大(小)值是函数的局部性质，最大（小）值是函数的整体性质； 2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的； 3.函数的极大值不一定大于极小值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 4.函数的极大(小)值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最大（小）值可以在端点取到. 最值与极值的联系是：最值有时是函数的极值. 新知探究 思考：如何求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤？ 2. 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； 1. 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 3. 将 y=f(x) 的各极值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值. 举例应用 例6 用求函数在[0,3]上的最大值与最小值. 解: ∵f (x)= ，其定义域为[0,3]， ∴ f (x)=x2－4 = (x－2)(x+2)， 令 f (x)=0，解得 x=﹣2或x=﹣2. 列表如下： ∴当x=2时，f (x)有极小值，为f (2)= . x －2 f (x) （舍） x (0, 2) 2 ( 2,3) f '(x) 0 f (x) + – 单调递减 单调递增 x y O 4 2 3 课堂练习 教材P94 解: (1) ∵f (x)=6x2－x－2，其定义域为[0, 2]， ∴ f (x)=12x－1， 令 f (x)=0，解得 x= . 列表如下： ∴当x= 时，f (x)有极小值，为f ()= . x f (x) f (x) (, 2) 0 + 极小值 f() ↑ (0, ) － ↓ x f (x) 课堂练习 教材P94 解: (2) ∵f (x)=x3－27x，其定义域为R， ∴ f (x)=3x2－27=3(x－3)(x+3)， 令 f (x)=0，解得 x=－3或x=3. 列表如下： ∴当x=－3时，f (x)有极大值，为f (－3)=54； 当x=3时，f (x)有极小值，为f (3)= 54. x f (x) f (x) －3 (－3, 3) 3 0 － 0 f(－) = 54 ↓ (－4, －3) (3, 4) + ↑ + ↑ x f (x) f(3) = －54 课堂练习 教材P94 解: (3) ∵f (x)=6+12x－x3，其定义域为 ∴ f (x)=12－3x2=3(4－x2)， 令 f (x)=0，解得 x=2或x=－2 列表如下： ∴当x=2时，f (x)有极大值，为f (2)=22 . x f (x) f (x) (－, 2) 2 + 0 ↑ (2, 3) － ↓ x －2 f (x) f(1) = 22 （舍） 课堂练习 教材P94 解: (4) ∵f (x)=3x－x3，其定义域为R， ∴ f (x)=3－3x2=3(1－x2)， 令 f (x)=0，解得 x=－1或x=1. x －1 f (x) （舍） 补充练习 解: 补充练习 注意： 闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值. 开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值, 但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. 举例应用 回顾例4中的图，我们发现，当时，. 怎么证明这个结论呢？ 我们将不等式转化为： （恒成立问题） 解：将不等式 转化为 设 ，那么 举例应用 回顾例4中的图，我们发现，当时，. 怎么证明这个结论呢？ 所以，当x=1时， s(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) s '(x) 0 s (x) – + 单调递减 单调递增 所以， s(x) ≥ s(1)=0， 即 故当x>0时， . 课堂练习 教材P94 所以,当x=1时, f(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0 解：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0 故当x>0时, lnx≤ x－1. 补充练习 解: 补充练习 2. 已知函数 (2)求函数 在区间 上最值. 解: (1)求曲线 在点 处的切线方程; 课堂小结 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： 2. 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； 1. 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 3. 将 y=f(x) 的各极值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值. 利用导数证明不等式：转化为求函数的最值. $