10.1 二元一次方程组的概念 知识点专项训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期七年级数学 10.1 二元一次方程组的概念 知识点专项训练 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 4．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 5．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 8．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 9．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 10．甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 11．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买若干足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 12．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是 ． 13．若，是关于的方程的一组解，则的值为 ． 14．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 15．如果是方程的一组解，那么代数式 ． 16．二元一次方程的非负整数解有 个． 17．方程是二元一次方程，则的取值范围是 ； 18．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 19．已知方程是二元一次方程，则 ． 20．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 21．小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支 元，蓝笔每支 元． 三、解答题 22．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 23．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 24．解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 25．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 26．已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 27．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期七年级数学 10.1 二元一次方程组的概念 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的方程含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 3．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 4．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 5．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 6．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 7．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 8．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 9．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 10．甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出关于x和y的方程，代入求解y的值． 【详解】解：由题意得， 将代入，得：， 解得， 故选：B． 11．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买若干足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解的实际应用，根据总费用列出方程，化简后找出所有满足条件的非负整数解的组数即可． 【详解】解：设购买足球个，篮球个，、为非负整数， ∵总费用为1200元，足球单价80元/个，篮球单价120元/个， ∴， 化简得，即， ∵为非负整数， ∴为非负偶数，即是不大于30的偶数， ∴可取0、2、4、6、8、10，对应分别为15、12、9、6、3、0， 共6种购买方案． 故选：C． 二、填空题 12．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 13．若，是关于的方程的一组解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，是解答本题的关键．将和代入方程 ，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 14．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将已知解代入方程的一般形式，通过赋值构造方程是解题的关键． 根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可． 【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为． 将，代入，得． 取，，则，因此方程可为． 经验证，当，时，成立． 故答案为：（答案不唯一） 15．如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 16．二元一次方程的非负整数解有 个． 【答案】 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程化为，根据非负整数条件确定x的取值范围，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵方程的解为非负整数， ∴，，即， 解得． ∵x为非负整数， ∴，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4组非负整数解． 故答案为：4． 17．方程是二元一次方程，则的取值范围是 ； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 18．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：由移项，得． 故答案为：． 19．已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 20．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 21．小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支 元，蓝笔每支 元． 【答案】 13 4 【分析】本题考查二元一次方程的解，正确掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据题意，列出二元一次方程，再通过排除法，笔价不能是35的因数或18的因数，从而判断出满足题意的二元一次方程的解即可求解． 【详解】解：设红笔单价为x元，蓝笔单价为y元， 根据题意，可得，， x，y都是正整数，且， 满足条件的解有8个，分别为， ，，，，，，，， 他无论怎样买都不能恰好把35元用完， x和y不能为35的因数，即不能为1，5或7， ， 如果 x和y 中有一个或两个是18的因数，则存在购买的个数使得费用为18元， 那么每种笔再多买一个即17元，总花费为元， x和y 不能为18的因数，即不能为1、2、3、6、9， 满足条件的解只有， 验证：设购买红笔a个，蓝笔b个， 根据题意可得，，此方程没有非负整数解， 即当红笔每支13元，蓝笔每支4元时，小张无论怎样买都不能恰好把35元用完． 故答案为：13；4． 三、解答题 22．已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 23．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 24．解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 【答案】(1)二元一次方程的解有无数组． (2)二元一次方程的解有无数组． (3)同时满足方程和． (4)二元一次方程组的解为 【分析】（1）（2）根据二元一次方程解的性质，可知二元一次方程有无数组解，通过给赋值求得到解； （3）通过尝试或联立方程找同时满足两个方程的解； （4）根据前面的探究得出方程组的解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解有无数组． （2）解：二元一次方程的解有无数组． （3）解：联立方程，将两式相加得，代入得，则： 同时满足方程和． （4）解：二元一次方程组的解为 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的解，掌握二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的解是解题的关键． 25．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 26．已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． （1）先把用含有a的式子表示出来，再把b的系数化成1即可； （2）分别把和代入（1）中所求等式，求出b，从而求出方程对应的两个解． 【详解】（1）解：（1）， ， ； （2）当时，； 当时，， ∴方程对应的两个解为，． 27．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $