4.2 等差数列（6知识点+10考点+过关检测）（预习讲义）高二数学人教A版

4.2 等差数列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 解析 （1）公差是每一项减前一项，常数指的是与无关； （2）公差，当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列 （3））是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. （2025高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 知识点2：等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 证明 若成等差数列，由等差数列的定义可得，则. （2025高二上·全国·专题练习）已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的概念，列方程，求的m+n=12，再根据等差中项的定义，可知m和n的等差中项为6. 【详解】：∵m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10， 由等差中项的概念得：m+2n=16 ① ,2m+n=20  ② ①+②得：3m+3n=36，即m+n=12． ∴m和n的等差中项为6． 故选：C 【点睛】本题考查了等差中项的概念，是基础题． 知识点3 ：等差数列的通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 解析 (1)证明 若等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的定义可得，， 所以, 把以上项等式累加可得, 当时，上式为，即上式当时也成立， 故. 等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法. (2)从函数的角度看等差数列的通项公式． 由等差数列的通项公式可得， 当时，是关于的一次函数；当时，是常数列. (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项． (4)等差数列的通项公式中共含有四个变数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】根据已知递推关系式可得数列为等差数列，从而根据等差数列求解通项公式，从而可得的值. 【详解】因为，，令，所以， 所以，所以为等差数列，首项和公差均为1， 所以， 所以． 故选：D． 知识点4： 与通项公式有关基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； 证明 由等差数列通项公式可得，， 两式相减可得，即. 意义 求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等差数列中，，，则 . 解 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等差数列任意两项可求公差. 例 若等差数列中，，,则公差 . 解 . 若, 则； 证明 由等差数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 证明 ，得证. 例 若是等差数列，则是公差为的等差数列, 均是公差为的等差数列. 数列(是常数)是公差是的等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 知识点5：等差数列的前项和公式 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 解析 (1)证明 (1) (2) 两式相加可得， 有等差数列的性质：若， 则； 可得， 故； 又，所以. 以上方法是倒序相加法. (2)等差数列的前项和，可写成， 当时，可看成关于的二次函数. （25-26高三上·山东济南·开学考试）记为等差数列的前项和.若，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式即可求解. 【详解】，，， . 故选：C. 知识点6：与前项和有关的基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； 证明 ； 即； 同理； 归纳得证. 例 是一等差数列的前项和，成等差数列. . 证明 . 例 是一等差数列的前项和，，. （25-26高三上·福建泉州·期中）设等差数列前项和为.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】在等差数列中， 又，即，解得. 故选：A 题型一：等差数列的判定与证明 例1.1（2025高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 例1.2 （25-26高二下·上海宝山·月考）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列（    ） A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 【答案】A 【分析】通过计算可得答案 【详解】解：因为， 所以数列{an}是以为公差的等差数列 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【详解】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 【变式1-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义判断即可. 【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确； B选项：，所以数列为等差数列，故B正确； C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错； D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 故选：C. 题型二：等差数列通项公式的基本量计算 例2. （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】根据已知递推关系式可得数列为等差数列，从而根据等差数列求解通项公式，从而可得的值. 【详解】因为，，令，所以， 所以，所以为等差数列，首项和公差均为1， 所以， 所以． 故选：D． 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】设公差为， 依题意，，解得. 故选：B 【变式2-2】（25-26高三上·山西大同·期中）首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设该等差数列为，且公差为，由题意得， 即有，解得. 故选：B. 【变式2-3】（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 题型三：求等差中项 例3. （24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃天水·期中）如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度（    ） A．30° B．60° C．90° D．45° 【答案】B 【分析】设三内角由小到大依次为，利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答. 【详解】设三角形三内角由小到大依次为，依题意，，而， 则有，解得， 所以中间的角是. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·新疆·月考）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高三上·广东广州·月考）已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】依题意得，，则，由基本不等式即可求解． 【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为， 故选：B. 题型四：利用等差数列的性质计算 例4. 1 （24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 例4. 2（25-26高三上·辽宁·期中）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．7 B．14 C．2021 D．2028 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，进而根据等差数列的角标和性质得，再将所求问题转化为关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以， 所以， 当时，有最小值，此时数列为常数列， 所以等差数列的通项公式为：，故. 故选：A 【变式4-1】（2024·甘肃·一模）已知数列为等差数列，，则（    ） A．16 B．19 C．25 D．29 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】由题意， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 题型五：等差数列的单调性 例5. （24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 【变式5-2】（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 【变式5-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 题型六：求等差数列的前n项和 例6. （25-26高三上·山东青岛·期中）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 【变式6-1】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．63 B．70 C．84 D．126 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算即可. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·吉林·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．52 C．45 D．72 【答案】C 【分析】先利用等差数列的通项公式求出再求出，最后利用等差数列的求和公式计算出的值. 【详解】设等差数列的公差为，，即，故，又因为，即， 故，,. 故选：C 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 【答案】C 【分析】设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 【详解】因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以， 所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C 题型七：等差数列前n项和的基本量计算 例7. （2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 【变式7-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式和通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 在等差数列中，，， 所以有， 故选：A 【变式7-2】（2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 【变式7-4】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 【答案】D 【分析】由等差数列求和公式和通项公式基本量计算，得到首项和公差，进而逐项判断即可. 【详解】由题意及等差数列的前项和公式， ，， 即：即， 解得所以，故A，B正确． ，解不等式，，得， 所以的最大值为12，故C正确． 因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，， ，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误． 故选：D． 题型八：等差数列前n项和的性质及运用 例8. 1（24-25高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：D 例8. 2 （多选）（24-25高三上·海南·月考）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 【答案】ABC 【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；由可判断C；利用下标和性质表示出可判断D. 【详解】解：因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 当时，取得最大值，B正确； 由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； ，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC． 【变式8-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式8-2】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故，故， 故，而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：B. 【变式8-3】（24-25高二·全国·假期作业）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的特征设，，可得，,进而可得. 【详解】设数列，的前项和分别为，， 则，，故， 根据等差数列前项和的特征，不妨设，， ，, 故， 故选：D 题型九： 求等差数列的前n项和的最值 例9. （25-26高三·全国·假期作业）等差数列中，，．记数列前n项和为，下列选项正确的是（    ） A．数列的公差为3 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式检验各选项即可求解． 【详解】等差数列中，，， 则，，A错误； 所以， 则，，故时，取得最小值，B错误； ，C错误； 数列的前10项和为，D正确． 故选：D． 【变式9-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 【变式9-2】（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 【答案】C 【分析】根据题意，通过数列为等差数列，可列出关于首项和公差的等式求解，再将结果代入求解即可. 【详解】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），， 因为，，所以， 解得， 所以，最大时，， 但由于为正整数，所以当或，最大. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（    ） A．1 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，所以数列是首项，的等差数列， ，则， ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为. 故选：B 【变式9-4】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；或时，取得最大值，无最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出，然后写出等差数列通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式写出，再利用函数性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 题型十：等差数列的简单应用 例10. （2024·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【分析】根据题意设第n个儿子的年龄为岁，易知是等差数列，，利用等差数列前n项和公式求出即可. 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 【变式10-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 【变式10-2】（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【变式10-3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 1（25-26高二上·陕西铜川·期中）若数列的通项公式，则此数列（    ） A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义即可求解. 【详解】解：， 是公差为，首项为的等差数列． 故选：A. 2（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】由等差数列通项公式代入题设即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题得. 故选：C 3（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 4（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质列出数列的通项公式，再根据求出公差，从而解出数列的通项公式，代入求解． 【详解】数列是等差数列，设公差为，则， 又 ， ， 数列的通项公式为：， ， ． 故选：C． 5（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 【答案】A 【分析】由等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在公差为正数的等差数列中， 因为，所以， 又，所以或， 又因为公差为正数，所以，所以， 所以，则. 故选：A. 6（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 7（25-26高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 8（多选）（24-25高一上·重庆·期末）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 【答案】ABC 【分析】根据已知条件可得是以为首项，为公差的等差数列，利用通项公式求出，，根据二次函数性质可判断选项B，利用与的关系可求得，即可判断选项A，根据等差数列前项和的公式和性质即可判断选项CD. 【详解】由，， 可得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 对于函数，开口向下，其对称轴为， 所以对于，当或时，取得最大值，B正确； 则 ， 又，符合上式， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 所以，，成等差数列， 又，， 所以， 所以，，成等差数列，且公差为，D错； 又当时，， 所以数列的前项和是 ， 又，， 所以数列的前项和为，C正确. 故选：ABC 9（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 10（25-26高二下·福建厦门·期中）设数列 的前 项和为 ， 若 . (1)求 ， 并证明: 数列 是等差数列; (2)求 . 【答案】(1)，，证明见解析 (2)420. 【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由可得，作差后得到，即可证明结果. （2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即， 所以. 11（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)最小值为-42，无最大值. (3)106 【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案； （2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值； （3）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 等差数列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) （1）公差是每一项减前一项，常数指的是与无关； （2）公差，当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列 （3））是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. （2025高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 知识点2：等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 证明 若成等差数列，由等差数列的定义可得，则. （2025高二上·全国·专题练习）已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是 A． B． C． D． 知识点3 ：等差数列的通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) (1)证明 若等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的定义可得，， 所以, 把以上项等式累加可得, 当时，上式为，即上式当时也成立， 故. 等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法. (2)从函数的角度看等差数列的通项公式． 由等差数列的通项公式可得， 当时，是关于的一次函数；当时，是常数列. (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项． (4)等差数列的通项公式中共含有四个变数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 知识点4： 与通项公式有关基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； 证明 由等差数列通项公式可得，， 两式相减可得，即. 意义 求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等差数列中，，，则 . 解 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等差数列任意两项可求公差. 例 若等差数列中，，,则公差 . 解 . 若, 则； 证明 由等差数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 证明 ，得证. 例 若是等差数列，则是公差为的等差数列, 均是公差为的等差数列. 数列(是常数)是公差是的等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 知识点5：等差数列的前项和公式 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， (1)证明 (1) (2) 两式相加可得， 有等差数列的性质：若， 则； 可得， 故； 又，所以. 以上方法是倒序相加法. (2)等差数列的前项和，可写成， 当时，可看成关于的二次函数. （25-26高三上·山东济南·开学考试）记为等差数列的前项和.若，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 知识点6：与前项和有关的基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； 证明 ； 即； 同理； 归纳得证. 例 是一等差数列的前项和，成等差数列. . 证明 . 例 是一等差数列的前项和，，. （25-26高三上·福建泉州·期中）设等差数列前项和为.若，则（    ） A． B． C．1 D． 题型一：等差数列的判定与证明 例1.1（2025高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 例1.2 （25-26高二下·上海宝山·月考）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列（    ） A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 【变式1-2】（25-26高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 题型二：等差数列通项公式的基本量计算 例2. （25-26高三上·云南楚雄·期中）在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（25-26高三上·山西大同·期中）首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 题型三：求等差中项 例3. （24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【变式3-1】（25-26高二上·甘肃天水·期中）如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度（    ） A．30° B．60° C．90° D．45° 【变式3-2】（24-25高二上·新疆·月考）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·广东广州·月考）已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 题型四：利用等差数列的性质计算 例4. 1 （24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例4. 2（25-26高三上·辽宁·期中）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．7 B．14 C．2021 D．2028 【变式4-1】（2024·甘肃·一模）已知数列为等差数列，，则（    ） A．16 B．19 C．25 D．29 【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型五：等差数列的单调性 例5. （24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 题型六：求等差数列的前n项和 例6. （25-26高三上·山东青岛·期中）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 【变式6-1】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．63 B．70 C．84 D．126 【变式6-2】（25-26高二上·吉林·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．52 C．45 D．72 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 题型七：等差数列前n项和的基本量计算 例7. （2025·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式7-2】（2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式7-4】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 题型八：等差数列前n项和的性质及运用 例8. 1（24-25高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 例8. 2 （多选）（24-25高三上·海南·月考）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 【变式8-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【变式8-2】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 【变式8-3】（24-25高二·全国·假期作业）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 题型九： 求等差数列的前n项和的最值 例9. （25-26高三·全国·假期作业）等差数列中，，．记数列前n项和为，下列选项正确的是（    ） A．数列的公差为3 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 【变式9-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（    ） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 【变式9-3】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（    ） A．1 B．27 C．28 D．29 【变式9-4】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 题型十：等差数列的简单应用 例10. （2024·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【变式10-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【变式10-2】（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式10-3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 1（25-26高二上·陕西铜川·期中）若数列的通项公式，则此数列（    ） A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 2（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 6（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 7（25-26高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 8（多选）（24-25高一上·重庆·期末）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 9（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 10（25-26高二下·福建厦门·期中）设数列 的前 项和为 ， 若 . (1)求 ， 并证明: 数列 是等差数列; (2)求 . 11（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $