8.3.1 棱柱棱锥棱台的表面积与体积 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学目标 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法； 2.掌握与棱柱、棱锥、棱台相关的简单几何体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题； 3.通过学习逐步培养学生的转化、类比、一般化与特殊化、极限等思想方法；提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力. 教学重点： 利用公式计算多面体的表面积和体积 教学难点： 棱台体积的推导，实际问题中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法. 教学过程 一、回顾复习 1.长方体的表面积公式： 正方体的表面积公式： 2. 长方体的体积公式： 正方体的体积公式： 【设计意图】本节课需对棱柱棱锥的表面积和体积公式进行研究。因此设置相关复习，为接下来的学习打好基础。 二、新知探究 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积 思考：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 表面积公式： 棱柱： ，棱锥： ，棱台： 归纳：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，则 【设计意图】问题中主要以直观感知为主，通过对棱柱、棱锥、棱台侧面展开图的研究，引导学生对棱柱、棱锥、棱台的表面积公式进行概括。最终通过学生自己的探索，总结出把空间问题转化成平面问题的思想。 经典例题 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积． 【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a， 所以 因此，四面体P-ABC的表面积 【设计意图】：熟悉棱锥表面积公式的应用，体会空间到平面的转化，规范书写。 练习1： 如图，四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面是全等的等腰梯形,斜高是12cm，求它的表面积？ 解析： 【设计意图】：熟悉棱锥表面积公式的应用，体会空间到平面的转化，规范书写。并且区别斜高与几何体的高的区别，并引出下个探究点：体积。 2.棱柱、棱锥、棱台的体积         （1）棱柱的体积：底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 思考探究1：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 【师生活动】:教师组织学生观察多媒体上的图像，学生独立思考后小组讨论，可以得到以下这些结论:(1)等底同高的三棱锥体积相等，即；(2) 由上述结论可得：。 【设计意图】:在公式给出之前，先建立直观具体的模型，再抽象符合学生的认知规律，通过对学生回答的答案分析、辨析、归纳，有利于培养学生的抽象概括能力，也更加深学生对棱锥体积公式的认知。 （2） 棱锥的体积公式：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都 是1.5 m，公共面ABCD是边长为2 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？ 解析： 【设计意图】熟悉棱柱棱锥体积公式的应用，规范格式，体会数学在实践中的应用。 思考探究2：根据台体的定义，如何求台体的体积？ 记S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高. 【师生活动】:师生共同分析得出棱台体积公式的求法，小组帮扶共同对棱台的体积公式进行推导。 （3）棱台的体积公式：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h， 则V＝(S′＋＋S)h. 【设计意图】:还台为锥，体会数学中的转化思想，通过公式的推导，提高学生的计算化简能力。 练习2 如图,四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别是10cm和20cm，侧面是全等的等腰梯形,斜高是13cm，求它的体积。 解析： 【设计意图】通过题目熟悉棱台体积公式，学会根据斜高与棱台的高所构成的直角梯形求高，体会数学在实践中的应用。 思考探究3：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 【设计意图】:通过思考棱柱棱锥棱台体积公式之间的区别与联系，体会数学中的一般与特殊，极限等思想。 ★思维提升★：.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是0.5m，那么石凳的体积是多少？ 【设计意图】:通过思考如何把不规则几何体转化成规则几何体，体会数学中求体积的割补思想。 三、课堂小练 1.已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为2和6，斜高，求此正三棱台的表面积和体积. 2.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积和体积。 四、课堂小结： 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式，推导公式中用到的方法。 2. 数学思想方法：转化思想，一般与特殊思想，极限思想。 【设计意图】本环节旨在通过回顾本节所学知识，达到巩固提高的目的。为便于学生记忆，我们将主要内容总结为几个数字特征。其中两类公式是基础，方法是延伸，三个数学思想是提高学生数学素养的指引性总结。 五、课后作业：完成导学案习题及课后练习题 学科网（北京）股份有限公司 $