精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线上的一个动点作圆（其中为正常数）的两条切线，切点分别为，若的最小值为8，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 三、填空题（每题6分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且（），则______. 13. 已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 14. 若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 16. 已知函数，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 17. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线经过焦点，求直线的方程. 18. 已知一动圆与圆C1：（x+2）+y2=1､圆C2：（x-2）+y2=9都外切. （1）求动圆圆心Р的轨迹方程C； （2）若直线y=kx-1与（1）中所得曲线C交于M､N两点，且.求k的值 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为． （1）求的方程； （2）过的左焦点的直线与交于两点． （i）求（为坐标原点）面积的最大值； （ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，先由首项求出，再由求出. 【详解】已知，根据递推公式（）， 当时，； 当时，. 故选：C. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 5. 在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 6. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程，由知，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】设两点的坐标分别为，由直线的斜率为， 可得直线的方程为，整理为， 联立方程， 消去x后整理为， 所以. 又由，则， 即，可得， 故选：A. 7. 某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，问题可看作一个递减的等差数列，只需保证用了10年还正常，用了11年就报废，列不等式求d的取值范围. 【详解】设使用年后该设备的价值为，则由， 有， 又由，有，可得. 故选：D. 8. 过抛物线上的一个动点作圆（其中为正常数）的两条切线，切点分别为，若的最小值为8，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的切线性质，将转化为含的表达式，结合抛物线方程化简，通过二次函数最值确定最小值对应的等式，求解出. 【详解】根据圆的切线的性质可知，， 设，有 ， 可得，可得，此时. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式及性质逐一判断各选项. 【详解】等差数列的前项和为，公差为， 对于A：若，则，A选项正确； 对于C：若，则，C选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于D：若，则，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据根与系数的关系及向量的数量积计算可得；对于B，证明线段的中点到准线的距离等于线段长度的一半即可；对C，运用基本不等式可求其最大值；对于D，利用直线方程与准线方程联立求出点坐标，证明即可. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为4，可得，则，. 设两点的坐标为，直线的方程为. 联立方程，消去后整理为， 显然有，则， 可得. 对于A，由，故A错误； 对于B，由，设线段的中点为， 则点D到准线的距离为， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确； 对于C，由B项可得直线的斜率为， 因（当且仅当时取等号）， 所以，故直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，因直线的斜率为，可得直线的方程为， 令可求得点的坐标为， 又因，所以轴，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题6分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且（），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系，通过作差法即可求解. 【详解】由（）， 可得，， 两式作差可得：，， 又当时，，符合上式， 所以， 故答案为： 13. 已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先写出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再根据向量相等的性质列出方程，进而求出的值. 【详解】直线过点且斜率为，则直线的方程为. 令，得，. 联立直线与椭圆方程，整理得：. 设，则. ，. ，，即. 又，代入整理得：，. 故答案为： 14. 若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先代入转化不等式，针对分奇偶讨论符号，然后分别求奇偶项对应数列的最值，确定的上下限，最后取两种情况的交集，得到的最终取值范围. 【详解】首先，将代入不等式右边，得，原不等式化为 对任意正整数均成立，分奇偶讨论： 当为奇数时，，不等式变为，需小于等于所有奇数项的最小值， 通过计算（对所有），知严格递增， 故奇数项最小值为，即， 当为偶数时，，不等式变为，即， 需大于等于所有偶数项的最大值，因严格递增， 偶数项最小值为，故最大值为，即， 综上，需同时满足上述两个条件，故取值范围为两者的交集，即. 故答案为： 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量列出等式求解即可； （2）通过分组求和即可求解. 【小问1详解】 等差数列的前项和为，， ，即， 又，，即， 解得，， 【小问2详解】 记数列的前项和为， 即. 16. 已知函数，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明过程详见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的性质求出的值，结合数列的特点进行计算. （2）求出数列的前项和的表达式，根据数列的单调性证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 又， 所以， 两式相加得， 由可得，， 所以，故. 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 所以. 故， 又 ， 所以数列是递增数列. 当时，取得最小值，又， 所以. 17. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【小问1详解】 设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 18. 已知一动圆与圆C1：（x+2）+y2=1､圆C2：（x-2）+y2=9都外切. （1）求动圆圆心Р的轨迹方程C； （2）若直线y=kx-1与（1）中所得曲线C交于M､N两点，且.求k的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用外切得半径得关系式，再利用双曲线定义求解即可（2）直线与双曲线联立利用弦长公式列方程求解即可 【小问1详解】 由题意设动圆半径为r,则 ，故圆心Р的轨迹是以为焦点的双曲线的左支（去掉顶点），其方程为 【小问2详解】 直线y=kx-1与得易知，设 则故 = 得 或 （舍去）即 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为． （1）求的方程； （2）过的左焦点的直线与交于两点． （i）求（为坐标原点）面积的最大值； （ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）代入所过点，结合离心率建立方程，求解即可； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理表示出面积，换元之后利用函数单调性求最大值即可； （ii）由韦达定理化简直线的斜率之和，再求即可. 【小问1详解】 由题意得 解得 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为． 联立得. 设，则， 所以 令， 设，易知在单调递增， 所以当，即时，取得最小值，， 此时取得最大值. （ii）在（i）中． 所以 . 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $