19.2二次根式的乘法与除法（第3课时）同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）——最简二次根式 二次根式的定义： 满足下面两个条件的二次根式叫作最简二次根式， （1）被开方数不含分母； （2）被开方中不含能开得尽平方的因数或因式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 一．选择题（共4小题） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．将化为最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共13小题） 5．下列各式中是最简二次根式的有 　 　 个． 6．二次根式、、、中是最简二次根式的有 　 　 个． 7．请写出一个正整数a的值：　 　 ，使是最简二次根式． 8．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，m＝ 　 　 ． 9．若是最简二次根式，则整数a的最小值为　 　 ． 10．若，其中为最简二次根式，A为有理数，n＝　 　 ． 11．将化为最简二次根式是　 　 ． 12．把化成最简二次根式为 　 　 ． 13．将化为最简二次根式：　 　 ． 14．化为最简二次根式： ①　 ；②　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 16．化成最简二次根式： （1）；（2）（3）；；（4）；（a≥0）． 17．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 18．已知a为正整数，二次根式是最简二次根式． （1）求二次根式的最小值； （2）若二次根式是最简二次根式，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）——最简二次根式解析 二次根式的定义： 满足下面两个条件的二次根式叫作最简二次根式， （1）被开方数不含分母； （2）被开方中不含能开得尽平方的因数或因式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 一．选择题（共5小题） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项． 【解答】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、2，故不符合题意． 故选：C． 2．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解． 【解答】解：A．，选项A不符合题意； B．，选项B不符合题意； C．是最简二次根式，选项C符合题意； D．a2，选项D不符合题意； 故选：C． 4．将化为最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用分数的基本性质，分子和分母同时乘2，再逆用二次根式的除法法则进行化简即可． 【解答】解：， 故选：A． 二．填空题（共13小题） 5．下列各式中是最简二次根式的有 　1　 个． 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； 2，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为：1． 6．二次根式、、、中是最简二次根式的有 　1　 个． 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：|x|，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 7．请写出一个正整数a的值：　1（答案不唯一）　 ，使是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式定义解答即可． 【解答】解：∵是最简二次根式， ∴当a＝1时，， ∴正整数a的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 8．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，m＝ 　1　 ． 【分析】根据最简二次根式的定义可得m＝1或m＝3等，从而可得答案． 【解答】解：根据题意可知，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等． 故答案为：1（答案不唯一）． 9．若是最简二次根式，则整数a的最小值为　2　 ． 【分析】先根据二次根式的定义得出：3a﹣4≥0，解得：，进而求出整数a的最小值． 【解答】解：∵是最简二次根式， ∴3a﹣4≥0， 解得：． 当a＝2时，，是最简二次根式， ∴整数a的最小值为2． 故答案为：2． 10．若，其中为最简二次根式，A为有理数，n＝　3　 ． 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算，再根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A2， 则当n＝3时，A为有理数， 故答案为：3． 11．将化为最简二次根式是　4　 ． 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：4． 故答案为：4． 12．把化成最简二次根式为 　　 ． 【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为：． 13．将化为最简二次根式：　　 ． 【分析】根据二次根式的性质和化简的方法进行计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 14．化为最简二次根式： ①　　 ； ②　　 ． 【分析】①根据二次根式的性质化简即可； ②根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：①． 故答案为：； ②． 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 15．下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】根据最简二次根式的概念判断哪些是最简二次根式，那不是的再进行化简． 【解答】解：∵（1）原式，∴不是最简二次根式； （2）原式，∴不是最简二次根式； （3）原式，∴不是最简二次根式； （4）原式是最简二次根式； （5）原式|a﹣1|，∴不是最简二次根式； （6）原式是最简二次根式； （7）原式＝4，∴不是最简二次根式； （8）原式是最简二次根式； ∴（1）（2）（3）（5）（7）不是最简二次根式； （4）（6）（8）是最简二次根式． 16．化成最简二次根式： （1）；（2）（3）；；（4）；（a≥0）． 【分析】根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答； 【解答】解： （1）；（2）； （3） ．（4）． 17．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a＝1，2b﹣5＝1；把所求结果代入可求出的值，再利用平方根定义求出答案． 【解答】解：由题意可知：a＝1，2b﹣5＝1， 解得：a＝1，b＝3， ∴4， ∴的平方根为±2． 18．已知a为正整数，二次根式是最简二次根式． （1）求二次根式的最小值； （2）若二次根式是最简二次根式，求的值． 【分析】（1）根据题意找出符合条件的a值，即可得出答案； （2）先求出a的范围，再分4种情况进行验证，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵a为正整数， ∴当a＝1时，二次根式2（舍）， 当a＝2时，二次根式， ∴二次根式的最小值为． （2）∵14﹣3a≥0， ∴a， ∵a为正整数， ∴当a＝1时，，，不符合题意， 当a＝2时，，不符合题意， 当a＝3时，，，不符合题意，当a＝4时，，，符合题意，则原式.综上所述：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $