第3讲：导数研究单调性常考10大题型讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第3讲：导数研究单调性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．利用导数研究函数的单调性 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 2．利用导数求解函数的单调性和单调区间 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 知识梳理 1.核心定理设函数在区间上可导若则在上单调递增若则在上单调递减若恒成立则为常函数 2.关键步骤求导→解不等式→定单调区间单调区间需写成区间形式不可用“∪”连接不连续区间 解题方法 1.求定义域确定函数的定义域（优先步骤避免遗漏约束） 2.求导数计算并化简为因式分解或分式形式 3.解不等式解得递增区间解得递减区间 4.下结论结合定义域写出函数的单调递增/递减区间 名师点睛 化简导数时优先因式分解便于快速判断符号分式型导数重点分析分子符号（分母恒正/恒负时） 导数等于0的点若为孤立点不影响单调性如但在上单调递增 单调区间必须在定义域内如对数函数、分式函数需先排除无意义点 （24-25高二上·湖南株洲·月考）函数的单调递增区间为______．经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_____.经典例题2例题 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行.小试牛刀1 (1)求； (2)求的单调区间. （2026高三·北京·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为．设函数，求的单调区间.小试牛刀2 （25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在处的切线与y轴垂直.小试牛刀3 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 【题型2：由函数在区间上的单调性求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心逻辑函数在区间上单调递增在上恒成立单调递减在上恒成立（等号仅在孤立点成立） 2.转化目标将单调性问题转化为“导数不等式恒成立”问题进而求参数范围 解题方法 1.求导计算整理为含参数的表达式 2.列条件根据单调性列出（递增）或（递减）在区间上恒成立 3.求最值将参数分离（或构造函数）转化为求函数在区间上的最值即或 4.验等号验证等号成立时是否仅在孤立点成立避免函数为常函数 名师点睛 恒成立问题优先用“参数分离法”简化计算若分离困难再用“分类讨论法”或“数形结合法” 易错点将“单调递增”误写为忽略等号的必要性需验证等号是否导致函数非严格单调 区间为闭区间时只需保证区间内导数满足条件端点处无需额外验证 （25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026高三·北京·专题练习）已知函数，经典例题2例题 (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. （25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______.小试牛刀1 （25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ .小试牛刀3 【题型3：由函数在某区间上存在增减区间求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心定义函数在区间上存在递增区间存在使得存在递减区间存在使得 2.转化逻辑“存在性”问题转化为“导数不等式有解”即（存在递增区间）或（存在递减区间） 解题方法 1.求导计算整理为含参数的函数 2.列条件存在递增区间→在上有解存在递减区间→在上有解 3.求最值转化为求在上的最值即或 4.得范围解不等式得到参数的取值范围 名师点睛 区分“恒成立”与“存在性”恒成立是“全体满足”存在性是“至少一个满足”最值取法相反 若为二次函数可结合判别式、对称轴与区间的位置关系快速求最值 避免将“存在递增区间”误判为“整个区间递增”两者逻辑完全不同 （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数.小试牛刀1 (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. （25-26高三上·重庆·月考）若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ）小试牛刀3 A．-1 B．1 C．-2 D．2 【题型4：由已知函数的单调性比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心性质若在区间上单调递增则若单调递减则 2.关键前提比较的两个自变量必须在同一单调区间内 解题方法 1.定单调区间求确定函数的单调区间 2.判自变量位置验证待比较的是否在同一单调区间内 3.比大小根据单调性的增减性结合自变量的大小关系推出函数值的大小关系 名师点睛 若自变量不在同一单调区间需利用函数的奇偶性、周期性转化到同一单调区间 抽象函数比较大小时优先根据单调性脱去“”再比较自变量大小 含对数、指数的自变量可通过放缩法转化为同一单调区间内的数 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知，，，，则下面结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由已知函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 知识梳理 1.核心原则利用单调性“脱去”函数符号“”将抽象不等式转化为具体的自变量不等式 2.约束条件解不等式时必须保证自变量在函数的定义域内且在同一单调区间内 解题方法 1.定定义域明确的定义域列出自变量的取值约束 2.定单调性确定的单调区间判断不等式中自变量所在的单调区间 3.脱符号根据单调性将转化为（递增）或（递减） 4.解不等式联立定义域约束和脱符号后的不等式求解解集 名师点睛 易错点忽略定义域约束直接解自变量不等式导致解集扩大 若函数为奇函数/偶函数需先利用奇偶性将不等式变形再结合单调性脱符号 抽象不等式中出现复合函数（如）需将“内层函数”视为整体严格遵循单调性规则 （2025·湖南长沙·二模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数是上的偶函数，当时，．则不等式的解集为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·河北衡水·月考）已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·天津·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：讨论含参数函数的单调性】 【练方法】 知识梳理 1.核心思路含参函数的单调性由导数的符号决定而导数的符号通常由参数的取值范围影响（如导数的零点个数、零点位置） 2.分类标准以导数的“零点是否存在”“零点是否在定义域内”“零点的大小关系”为分类依据做到不重不漏 解题方法 1.求定义域与导数确定的定义域计算并化简 2.找导数零点令解出零点（含参数） 3.分类讨论 无零点导数恒正或恒负函数在定义域内单调 有零点判断零点是否在定义域内再根据零点大小划分区间分析各区间内的符号 4.下结论按参数的不同取值范围分别写出函数的单调区间 名师点睛 分类讨论的核心是“找分界点”常见分界点为导数零点的取值、定义域的端点 导数为二次函数时优先讨论判别式再讨论对称轴与区间的位置关系 讨论结束后需汇总各情况的单调性避免遗漏参数范围 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． （2026高三·天津·专题练习）已知，经典例题2例题 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． （25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间．小试牛刀1 （2026·河北·模拟预测）已知函数．小试牛刀2 (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． （25-26高二·全国·假期作业）设函数，．求函数的单调区间．小试牛刀3 【题型2：由变量构造新函数的单调性求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法当不等式中含两个变量（如）时通过移项、变形构造新函数将问题转化为的单调性问题 2.构造原则将变量分离到不等式两侧构造“左减右”或“左加右”的新函数使单调性可直接分析 解题方法 1.变形构造对已知不等式进行移项、整理构造新函数（如） 2.求导分析计算根据题意列出的单调性条件（如单调递增→恒成立） 3.求参数范围将条件转化为参数的恒成立问题通过求函数最值求解参数范围 4.验等号验证等号成立时新函数是否为常函数确保单调性符合要求 名师点睛 构造新函数是解题关键常见构造形式、、 构造后需明确新函数的定义域避免与原函数定义域混淆 若构造的函数仍含参数可结合分类讨论法或参数分离法求解 （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为_____.经典例题1例题 （24-25高二下·广东深圳·期末），且，不等式恒成立，则m的取值范围为______．经典例题2例题 （2025·全国·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为______.小试牛刀1 （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，都有成立，则实数的取值范围是____________.小试牛刀2 （24-25高二下·陕西西安·月考）任意实数，当时，恒有成立，则的范围为______.小试牛刀3 【题型3：由数字构造函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想将待比较的数字（如、）转化为某函数在特定点的函数值通过研究函数的单调性比较函数值的大小 2.构造关键根据数字的结构特征构造对应的初等函数（如指数函数、对数函数、幂函数） 解题方法 1.分析数字结构识别待比较数字的函数特征（如对应对应） 2.构造函数构造以数字为自变量的函数明确其定义域 3.求导判单调性计算确定在目标区间内的单调性 4.比大小根据单调性结合自变量的大小关系推出函数值的大小关系 名师点睛 常见构造模型比较与→构造比较与→构造 若数字无法直接对应单一函数可构造差值函数通过研究的最值比较大小 构造的函数需保证在目标区间内可导且单调性易分析 （25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知，，，则、、的大小关系是_________．小试牛刀1 （24-25高一下·安徽·开学考试）设，其中是自然对数的底数，是圆周率，则从小到大排序为________．小试牛刀2 （24-25高二下·甘肃张掖·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接）小试牛刀3 【题型4：由变量构造新函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心逻辑与“数字构造函数”类似但待比较的是含变量的表达式（如与）需通过构造新函数利用单调性证明不等式恒成立 2.本质目标将“比较大小”转化为“证明函数恒正/恒负”即或在区间内恒成立 解题方法 1.构造差值函数令（左式），（右式）将比较大小转化为证明（或） 2.求导分析单调性计算确定在目标区间内的单调性 3.求最值求出在区间内的最小值（或最大值）判断其符号 4.得结论若则左式>右式若则左式<右式 名师点睛 构造差值函数是最通用的方法若差值函数导数复杂可尝试变形后构造（如取对数、分离变量） 若在区间内有极值需比较极值与端点值的大小确定最值 对于的区间常验证再结合单调性判断符号 （2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二下·辽宁大连·期末）已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·上海·期末）已知实数x，y满足，，则_________．小试牛刀2 （24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接）小试牛刀3 【题型5：由导数的运算构造原函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具利用导数的四则运算法则逆向构造原函数即由的结构特征推出的表达式 2.常见构造模型 →构造 →构造 →构造 →构造 解题方法 1.分析导数结构识别已知条件中的组合形式匹配对应的构造模型 2.构造原函数根据模型构造新函数计算验证构造正确性 3.分析单调性由的符号确定的单调区间 4.比大小利用的单调性结合自变量的大小关系推出的大小关系 名师点睛 逆向构造原函数是高考高频考点需熟记常见的导数运算构造模型 构造后务必验证是否与已知条件匹配避免构造错误 若已知条件含参数构造后可结合的单调性求参数范围或比较函数值大小 （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·福建泉州·月考）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，若，则下列关系式能成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高三下·辽宁·开学考试）函数的单调递减区间为__________. 14．（2026高二下·全国·专题练习）设是函数的导函数，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________． 15．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是______． 四、解答题 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 17．（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 19．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 20．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数． (1)若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第3讲：导数研究单调性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．利用导数研究函数的单调性 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 2．利用导数求解函数的单调性和单调区间 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 知识梳理 1.核心定理设函数在区间上可导若则在上单调递增若则在上单调递减若恒成立则为常函数 2.关键步骤求导→解不等式→定单调区间单调区间需写成区间形式不可用“∪”连接不连续区间 解题方法 1.求定义域确定函数的定义域（优先步骤避免遗漏约束） 2.求导数计算并化简为因式分解或分式形式 3.解不等式解得递增区间解得递减区间 4.下结论结合定义域写出函数的单调递增/递减区间 名师点睛 化简导数时优先因式分解便于快速判断符号分式型导数重点分析分子符号（分母恒正/恒负时） 导数等于0的点若为孤立点不影响单调性如但在上单调递增 单调区间必须在定义域内如对数函数、分式函数需先排除无意义点 （24-25高二上·湖南株洲·月考）函数的单调递增区间为______．经典例题1例题 【答案】和 【分析】先求函数的导数，再令，解集即为单调增区间. 【详解】由题知，令，即， 解得或， 所以单调递增区间为或 故答案为：和. （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据函数求导，使导函数大于0，求解不等式即得函数的递增区间. 【详解】因的定义域为， 求导得，由可得，解得. 故函数的单调递增区间是． 故答案为：. （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行.小试牛刀1 (1)求； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）对原函数进行求导，根据切线与直线平行，得到，代入求解即可. （2）根据导数与单调性的关系求解即可. 【详解】（1）已知，所以. 曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得. （2）函数的定义域为，. 令，即，又，所以， 即，也即， 解得或（舍去，因为）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2026高三·北京·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为．设函数，求的单调区间.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】根据切线斜率求出，再根据的正负性求出单调区间. 【详解】因为， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，，得， 则， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和， 单调递增区间为和. （25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在处的切线与y轴垂直.小试牛刀3 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1). (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）首先计算得，结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）由（1）得，由导函数小于求得函数的减区间，导函数大于求得函数的增区间即可. 【详解】（1）由题意得，令，得，解得， 又函数在处的切线与y轴垂直，， ，，则， 函数的解析式为. （2）由（1）可知， 则， 又函数的定义域为，， 故当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递减. 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【题型2：由函数在区间上的单调性求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心逻辑函数在区间上单调递增在上恒成立单调递减在上恒成立（等号仅在孤立点成立） 2.转化目标将单调性问题转化为“导数不等式恒成立”问题进而求参数范围 解题方法 1.求导计算整理为含参数的表达式 2.列条件根据单调性列出（递增）或（递减）在区间上恒成立 3.求最值将参数分离（或构造函数）转化为求函数在区间上的最值即或 4.验等号验证等号成立时是否仅在孤立点成立避免函数为常函数 名师点睛 恒成立问题优先用“参数分离法”简化计算若分离困难再用“分类讨论法”或“数形结合法” 易错点将“单调递增”误写为忽略等号的必要性需验证等号是否导致函数非严格单调 区间为闭区间时只需保证区间内导数满足条件端点处无需额外验证 （25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B （2026高三·北京·专题练习）已知函数，经典例题2例题 (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率和，由题意列方程组，求解即得； （2）根据函数在给定区间上为增函数，得到在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而将问题转化为求的最值问题. 【详解】（1）由可得，， 则切线的斜率，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立.记函数，则， 因为，所以，所以在区间上为增函数， 故，所以，所以的取值范围为. （25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______.小试牛刀1 【答案】5 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则 ，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 （25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D （25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ .小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意，可得在上恒成立，问题转化为在上恒成立，推理即得a的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 【题型3：由函数在某区间上存在增减区间求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心定义函数在区间上存在递增区间存在使得存在递减区间存在使得 2.转化逻辑“存在性”问题转化为“导数不等式有解”即（存在递增区间）或（存在递减区间） 解题方法 1.求导计算整理为含参数的函数 2.列条件存在递增区间→在上有解存在递减区间→在上有解 3.求最值转化为求在上的最值即或 4.得范围解不等式得到参数的取值范围 名师点睛 区分“恒成立”与“存在性”恒成立是“全体满足”存在性是“至少一个满足”最值取法相反 若为二次函数可结合判别式、对称轴与区间的位置关系快速求最值 避免将“存在递增区间”误判为“整个区间递增”两者逻辑完全不同 （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间. 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. （25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． （25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数.小试牛刀1 (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （25-26高三上·重庆·月考）若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，结合已知在上有解，再根据二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 由函数在定义域内存在单调递减区间，则在上有解， 令，其开口向上，对称轴为且，则， 所以. 故选：A 【多选题】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ）小试牛刀3 A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 【题型4：由已知函数的单调性比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心性质若在区间上单调递增则若单调递减则 2.关键前提比较的两个自变量必须在同一单调区间内 解题方法 1.定单调区间求确定函数的单调区间 2.判自变量位置验证待比较的是否在同一单调区间内 3.比大小根据单调性的增减性结合自变量的大小关系推出函数值的大小关系 名师点睛 若自变量不在同一单调区间需利用函数的奇偶性、周期性转化到同一单调区间 抽象函数比较大小时优先根据单调性脱去“”再比较自变量大小 含对数、指数的自变量可通过放缩法转化为同一单调区间内的数 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知，，，，则下面结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以 （当且仅当时取等号）， 所以函数在上单调递增. 又 ，即，所以， 即. 故选：B （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断的单调性，利用单调性判断大小. 【详解】由，则，， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 又，所以，即. 故选：D. （25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数， 又，所以是以为周期的周期函数， 所以， ， ， ，即， 因为，， 所以，综上可知， 因为， 所以当时，，则，单调递减. 所以，即. 故选：D （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数，指数函数单调性可比较大小，然后由单调性可得答案. 【详解】注意到，，，则. 当，易得在R上单调递增. 则，从而在上单调递增，则. 又注意到当时，在上单调递减，则. 综上可得. 故选：B （25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数确定函数单调性，再根据单调性比较大小即可． 【详解】， 当时，，， 所以， 则在单调递减， ∵， 则， ∵，即， ∴，则，即， 同理可证：， 所以， 又在单调递减， 所以，即． 故选：A． 【题型5：由已知函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 知识梳理 1.核心原则利用单调性“脱去”函数符号“”将抽象不等式转化为具体的自变量不等式 2.约束条件解不等式时必须保证自变量在函数的定义域内且在同一单调区间内 解题方法 1.定定义域明确的定义域列出自变量的取值约束 2.定单调性确定的单调区间判断不等式中自变量所在的单调区间 3.脱符号根据单调性将转化为（递增）或（递减） 4.解不等式联立定义域约束和脱符号后的不等式求解解集 名师点睛 易错点忽略定义域约束直接解自变量不等式导致解集扩大 若函数为奇函数/偶函数需先利用奇偶性将不等式变形再结合单调性脱符号 抽象不等式中出现复合函数（如）需将“内层函数”视为整体严格遵循单调性规则 （2025·湖南长沙·二模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C （25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数是上的偶函数，当时，．则不等式的解集为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得的图像关于对称，利用导数求的单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以图象关于直线对称． 当时，，所以在上单调递减． 所以不等式等价于，解得． 故选：B． （25-26高三上·河北衡水·月考）已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出函数的解析式，根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】由题意得，， 函数定义域为，， ，所以函数为奇函数， 又，所以函数为增函数， 不等式，可化为， 利用奇函数得，， 利用增函数得，， 即，解得或. 故选：D. （25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数，则的解集为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性解不等式. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故 ． 故选：C． （25-26高三上·天津·期中）已知，，若成立，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】由，得， 即为偶函数， 当时，，且， 即在单调递增，在单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【B·能力提升题型】 【题型1：讨论含参数函数的单调性】 【练方法】 知识梳理 1.核心思路含参函数的单调性由导数的符号决定而导数的符号通常由参数的取值范围影响（如导数的零点个数、零点位置） 2.分类标准以导数的“零点是否存在”“零点是否在定义域内”“零点的大小关系”为分类依据做到不重不漏 解题方法 1.求定义域与导数确定的定义域计算并化简 2.找导数零点令解出零点（含参数） 3.分类讨论 无零点导数恒正或恒负函数在定义域内单调 有零点判断零点是否在定义域内再根据零点大小划分区间分析各区间内的符号 4.下结论按参数的不同取值范围分别写出函数的单调区间 名师点睛 分类讨论的核心是“找分界点”常见分界点为导数零点的取值、定义域的端点 导数为二次函数时优先讨论判别式再讨论对称轴与区间的位置关系 讨论结束后需汇总各情况的单调性避免遗漏参数范围 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． （2026高三·天津·专题练习）已知，经典例题2例题 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间．小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． （2026·河北·模拟预测）已知函数．小试牛刀2 (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)答案见解析. 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后分的取值讨论可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. （25-26高二·全国·假期作业）设函数，．求函数的单调区间．小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】先求导并提取公因子，再根据参数的不同取值和讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【题型2：由变量构造新函数的单调性求参数范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法当不等式中含两个变量（如）时通过移项、变形构造新函数将问题转化为的单调性问题 2.构造原则将变量分离到不等式两侧构造“左减右”或“左加右”的新函数使单调性可直接分析 解题方法 1.变形构造对已知不等式进行移项、整理构造新函数（如） 2.求导分析计算根据题意列出的单调性条件（如单调递增→恒成立） 3.求参数范围将条件转化为参数的恒成立问题通过求函数最值求解参数范围 4.验等号验证等号成立时新函数是否为常函数确保单调性符合要求 名师点睛 构造新函数是解题关键常见构造形式、、 构造后需明确新函数的定义域避免与原函数定义域混淆 若构造的函数仍含参数可结合分类讨论法或参数分离法求解 （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为_____.经典例题1例题 【答案】 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. （24-25高二下·广东深圳·期末），且，不等式恒成立，则m的取值范围为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】不妨设，通过分析即，令，则，即在上单调递增，求导分析即可. 【详解】不妨设，则，由可得， 所以，令，则 因为，所以在上单调递增， 所以对于恒成立，可得对于恒成立，所以． 故答案为： （2025·全国·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数在上单调递增，再利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由，， 则， 由，且，满足，则函数在上单调递增， 又，则恒成立， 令函数，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. （24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，都有成立，则实数的取值范围是____________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意可得在上单调递增，令，则对恒成立，求解即可. 【详解】因为，都有成立， 不妨设，则有，所以， 所以可得在上单调递增， 又，所以， 所以对恒成立，所以对恒成立， 又对，当且仅当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是. 故答案为：. （24-25高二下·陕西西安·月考）任意实数，当时，恒有成立，则的范围为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】首先对不等式进行化简，然后构造函数，求导，根据函数的单调性求解的范围. 【详解】由得，即有， 设，即有，知在上单调递减， 故在上恒成立，故在上恒成立，故. 故答案为：. 【题型3：由数字构造函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想将待比较的数字（如、）转化为某函数在特定点的函数值通过研究函数的单调性比较函数值的大小 2.构造关键根据数字的结构特征构造对应的初等函数（如指数函数、对数函数、幂函数） 解题方法 1.分析数字结构识别待比较数字的函数特征（如对应对应） 2.构造函数构造以数字为自变量的函数明确其定义域 3.求导判单调性计算确定在目标区间内的单调性 4.比大小根据单调性结合自变量的大小关系推出函数值的大小关系 名师点睛 常见构造模型比较与→构造比较与→构造 若数字无法直接对应单一函数可构造差值函数通过研究的最值比较大小 构造的函数需保证在目标区间内可导且单调性易分析 （25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，用导数得出函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小. 【详解】设，，当时，，所以在 上单调递增， 当时，，所以在 上单调递减. 又因为，，， 所以，即. 故选：A （2025高三·全国·专题练习）已知，，，则、、的大小关系是_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： （24-25高一下·安徽·开学考试）设，其中是自然对数的底数，是圆周率，则从小到大排序为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用在上单调递增，可得，利用函数在上单调递增，可得，根据，可得，进而可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以，即； 由，可得， 令，可得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以，因为， 所以，所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，即， 综上有. 故答案为：. （24-25高二下·甘肃张掖·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是__________.（用“”连接）小试牛刀3 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函，利用导数研究单调性比较，进而得到答案. 【详解】令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以，综上，结论为. 故答案为：. 【题型4：由变量构造新函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心逻辑与“数字构造函数”类似但待比较的是含变量的表达式（如与）需通过构造新函数利用单调性证明不等式恒成立 2.本质目标将“比较大小”转化为“证明函数恒正/恒负”即或在区间内恒成立 解题方法 1.构造差值函数令（左式），（右式）将比较大小转化为证明（或） 2.求导分析单调性计算确定在目标区间内的单调性 3.求最值求出在区间内的最小值（或最大值）判断其符号 4.得结论若则左式>右式若则左式<右式 名师点睛 构造差值函数是最通用的方法若差值函数导数复杂可尝试变形后构造（如取对数、分离变量） 若在区间内有极值需比较极值与端点值的大小确定最值 对于的区间常验证再结合单调性判断符号 （2026·河北·一模）已知正数x，y，z满足 ，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出并变形得，再构造函数，利用导数确定单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B （2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对条件等式进行化简，并对进行分类讨论，通过构造函数并考虑其单调性进行大小比较. 【详解】当时，，即； 当时，，即. 故当时，，，四个选项均成立. 当，时， 化简得 . 先考虑函数，. 则，故在上单调递增. 因为，所以.因为，所以，即. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除B、D选项. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除A选项. 综上，当满足题目条件时，恒成立. 故选：D （24-25高二下·辽宁大连·期末）已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而判断函数值大小，即可得解. 【详解】设，， 则，且，，， 则当且时，，当时，， 即函数在和上单调递减，在上单调递增， 则， 即， 又，，， 则， 故选：C. （25-26高一上·上海·期末）已知实数x，y满足，，则_________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以， 令函数，则，所以函数在上单调递增， 则有，所以，即，则. 故答案为：. （24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接）小试牛刀3 【答案】 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，再确定的大小关系，结合单调性即可得解.. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，其定义域为，求导得， 当时，；当时，则，函数在上递增，在上递减， ， ， 则， 于是，即，而都小于1， 所以. 故答案为： 【题型5：由导数的运算构造原函数比较大小】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具利用导数的四则运算法则逆向构造原函数即由的结构特征推出的表达式 2.常见构造模型 →构造 →构造 →构造 →构造 解题方法 1.分析导数结构识别已知条件中的组合形式匹配对应的构造模型 2.构造原函数根据模型构造新函数计算验证构造正确性 3.分析单调性由的符号确定的单调区间 4.比大小利用的单调性结合自变量的大小关系推出的大小关系 名师点睛 逆向构造原函数是高考高频考点需熟记常见的导数运算构造模型 构造后务必验证是否与已知条件匹配避免构造错误 若已知条件含参数构造后可结合的单调性求参数范围或比较函数值大小 （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. （25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D （2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故 ，所以， 解得，所以不等式 的解集为． 故选：D （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造，得到其单调性，对不等式变形后得到，从而由单调性解不等式，求出答案. 【详解】令，则，因为对任意的都有， 所以，所以在上单调递减， 不等式等价于 ， 即，所以，解得， 故选：D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·福建泉州·月考）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【分析】由求出，利用求函数的单调区间，可得出区间的包含关系，计算即可求出的取值范围. 【详解】 ， ， 令，解得： 或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间上单调， 或或 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 4．（25-26高三上·全国·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求导得单调性从而得的大小，，求导得单调性判断大小，综合得结论. 【详解】由，设， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，所以，则； 由，设， 则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即，所以，则，故； 综上，. 故选：A. 5．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 6．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 7．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数法得，从而有；设，利用导数法得，从而有，即可得解. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 8．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 9．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据条件判断其为奇函数，在上单调递减，结合待求不等式等价转化，利用单调性即可求得参数范围. 【详解】设，定义域为， 因对于任意实数，都有， 由， 可得，即函数为奇函数； 又因当时，，可得在上单调递减， 又函数为奇函数，故在上单调递减. 由可得， 即，由函数单调性可得，解得. 故选：A. 10．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 11．（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察条件中的，不难发现这是求导后的分子，故设，求导后由题意可得在为增函数，则有，即，最终可得AB错误. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在为增函数，则有，即. 易得是的充分不必要条件，CD正确，AB错误. 故选：AB. 12．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，若，则下列关系式能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】代入法判断D；对于其他选项，先对式子进行变形，然后构造函数，求导，讨论函数单调性，即可判断ABC. 【详解】当时，等式成立，故D成立. 若，则. 设，则，令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 即恒成立，所以单调递增. 当时，， 即，所以，故A成立，B不成立. 当时，，即，所以，故C成立. 故选：ACD 三、填空题 13．（25-26高三下·辽宁·开学考试）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 14．（2026高二下·全国·专题练习）设是函数的导函数，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】合理构造，结合题意判断其单调性，进而求解目标不等式即可. 【详解】构造，可得， 而，故，即在上单调递增， 又，可得， 不等式可化为，，解得. 故答案为： 15．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】设，求导确定单调性，又从而有单调性可得不等式解集. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 17．（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由（1）中导数，解导数大于0，小于0的不等式求出函数的单调区间. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）知， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 19．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导得切线斜率，求得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程； （2）求导得，讨论与的大小，解在定义域内的解集从而得函数单调增区间. 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 20．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数． (1)若曲线在原点处的切线与直线垂直，求的零点个数． (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，由，求得，得到，结合且，即可求解； （2）假设在区间上单调，转化为或恒成立，求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：由函数，可得，则， 因为曲线在原点处的切线与直线垂直， 可得，即解得，所以， 又由恒成立，所以是上的增函数． 因为，所以只有1个零点． （2）解：假设在区间上单调，则或恒成立， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减． 综上，若在区间上不单调，则实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $