精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2026年春期高一年级开学考试 数学学科 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. 7 D. 4. 下列三角函数值符号判断错误的是(　　) A. B. C. D. 5. 角对应弧度制大小和终边所在象限分别是（ ） A. ，第一象限 B. ，第一象限 C. ，第二象限 D. ，第二象限 6. 下列关于tan48°、、tan114°的大小关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A. B. C. D. 8. 已知某扇形的周长为10cm（圆心角小于周角），面积为4cm²，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. rad或8rad B. 2rad或8rad C. 8rad D. rad 二、多选题：（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在轴上的角的集合是 B. 函数的最小正周期是 C. 函数在上是减函数 D. 在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点 10. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 终边落在直线上角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的对称中心为 C. 把的图象先向左移，再把所有点的横坐标变为原来的，可以得到的图象 D. 函数在的最小值为 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12. 时针走了1h 20min，则分针转过的角是______． 13. 函数的单调递减区间为____________ 14. 若角的终边经过点，则的值是______． 四、解答题：（共77分） 15 （1）化简； （2）在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点，角β的终边所在射线经过点 ①求的值； ②求. 16. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3） 17. 某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10 13 9.9 7 10 13 101 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的． （1）若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； （2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 18. 设函数 （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 19. 设，图象的一条对称轴是直线 （1）求值； （2）写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； （3）用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高一年级开学考试 数学学科 一、单选题：（每小题5分，共40分） 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出与角终边相同的角的表达式，进而求得答案. 【详解】与角终边相同的角为， 当时，，B是，不存在整数，使得为ACD中值，ACD不是. 故选：B 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式进行化简即可 【详解】 故选：D 3. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角函数定义得到角的正切值，再由弦化切，即可得出结果. 【详解】由三角函数的定义可知，所以 故选C 【点睛】本题主要考查弦化切的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4. 下列三角函数值的符号判断错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各角度所在象限，即可判断各个选项的正误，即可得答案. 【详解】165°是第二象限角，因此sin165°>0，故A正确； 280°是第四象限角，因此cos280°>0，故B正确； 170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C错误； 310°是第四象限角，因此tan310°<0，故D正确． 故选：C 5. 角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ） A. ，第一象限 B. ，第一象限 C. ，第二象限 D. ，第二象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 6. 下列关于tan48°、、tan114°的大小关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因，， 而函数在上单调递增，则，故， 又，故. 7. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 8. 已知某扇形的周长为10cm（圆心角小于周角），面积为4cm²，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. rad或8rad B. 2rad或8rad C. 8rad D. rad 【答案】D 【解析】 【分析】求出扇形的半径和弧长后可求圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，故或者， 若，则圆心角的弧度数为，不合题意，故舍； 若，则圆心角的弧度数为，符合题意； 故选：D 二、多选题：（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在轴上的角的集合是 B. 函数的最小正周期是 C. 函数在上是减函数 D. 在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点 【答案】BD 【解析】 【分析】写出终边在轴上的角的集合，可判断A选项的正误；利用余弦型函数的周期公式可判断B选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误；作出函数的图象和函数的图象，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，终边在轴上的角的集合是，A选项错误； 对于B选项，函数的最小正周期为，B选项正确； 对于C选项，函数在上是增函数，C选项错误； 对于D选项，当时，如下图所示： 设锐角的终边与单位圆的交点为，过点作轴，垂足为点， 设单位圆与轴的交点为点，则，， 由图可知，当时，，当时，， 所以，当时，， 由于函数与函数均为奇函数，当时，. 作出函数的图象和函数的图象如下图所示： 由图象可知，函数的图象和函数有且只有一个交点，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】易错点点睛：判断D选项的正误，关键就是作出两个函数图象，但同时还应说明两个函数的图象除了在原点相交外，在其余的地方没有交点，此处应加以说明. 10. 下列结论正确的有（ ） A. B. 已知角的终边在上，则 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 已知点在第四象限，则角终边在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质和定义、诱导公式、象限角的符号规律及终边相同角的集合分析判断各选项． 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，角终边在直线上， ，，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 终边落在直线上的角的集合为，故C错误； 对于D，点在第四象限，，，则角终边在第二象限，故D正确． 故选：BD． 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的对称中心为 C. 把的图象先向左移，再把所有点的横坐标变为原来的，可以得到的图象 D. 函数在的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】观察函数图象可得函数的周期，结合周期公式求，判断A，再由，结合的范围求，根据正弦函数性质求对称中心判断B，结合函数图象变换判断C，结合正弦函数性质求函数在的最小值判断D. 【详解】设函数的最小正周期为，观察图象可得 ，所以，又 所以，A正确； 因为，所以，故 又，所以， 所以，所以， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，B正确， 把的图象先向左移，可以得到的图象， 把的图象上的所有点的横坐标变为原来的，可以得到的图象，C正确； 由可得，，所以，又， 所以， 所以函数在的最小值为，D错误； 故选：ABC. 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12. 时针走了1h 20min，则分针转过的角是______． 【答案】 【解析】 【分析】由时针走过得时间换算为以分钟为单位的时间，根据每60分钟转（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角），由此即可求解. 【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了， 注意到分针每分钟转的角度为（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角）， 所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间为____________ 【答案】， 【解析】 【详解】因为， 要求函数的单调递减区间，即求函数的单调递增区间. 由可得， 即函数的单调递减区间为，. 14. 若角的终边经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，. 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题：（共77分） 15. （1）化简； （2）在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点，角β的终边所在射线经过点 ①求值； ②求. 【答案】（1）2；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可； （2）①利用三角函数的定义求出三角函数值代入计算即得；②利用诱导公式化简，再将弦的齐次式化成正切，代入计算即可. 【详解】（1） （2）①点到原点O的距离，依题意， 因角的终边所在射线经过点， 则，所以. ② . 16. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）且. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分式函数的意义与正切函数的定义域列不等式计算即得； （2）根据根式函数有意义得三角不等式，结合正弦函数的图象即可求得； （3）根据根式函数与对数函数有意义列不等式，利用正弦函数的图象求解即得. 【小问1详解】 要使函数有意义，需使， 所以且， 故的定义域为且. 【小问2详解】 因为，即，得， 所以函数的定义域是. 【小问3详解】 要使函数有意义，需使， 由，可得；由，可得，解得. 综上可得函数的定义域为. 17. 某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的． （1）若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； （2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 【答案】（1）函数可以更好地刻画与之间的对应关系，； （2）在至或至能安全进港，最多不能超过16个小时. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据判断使用的模型，根据三角函数的最值和周期即可求得对应的参数值，从而求得函数解析式； （2）根据题意，求解三角不等式，即可求得结果并做出判断 【小问1详解】 函数可以更好地刻画与之间的对应关系， 根据数据可得：，，， 又，， . 【小问2详解】 由题意，要满足题意，需， 即，， ，解得，， 当时，；当时，； ,或,， 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留时间最多不能超过16个小时． 18. 设函数 （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）， （2）. （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式和正弦函数的性质，即可求解； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）利用正弦函数的值域即可求解. 【小问1详解】 由的最小正周期， 由，可得， 则的对称轴为， 【小问2详解】 由，可得， 则的单调递增区间为. 【小问3详解】 由可得， 因为正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，即，函数取得最小值； 当时，即，函数取得最大值. 故函数在区间上的最小值为，最大值为. 19. 设，图象的一条对称轴是直线 （1）求值； （2）写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到； （3）用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【答案】（1）； （2）函数的振幅为1，周期为，初相为； ① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象对称性列出方程求解即得； （2）由解析式直接读取振幅、周期和初相，利用平移伸缩变换说明变换过程； （3）利用五点法作图即可. 【小问1详解】 因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以. 【小问2详解】 由知，函数的振幅为1，周期为，初相为； 要得到函数的图象，可以把正弦曲线进行如下变换： ① 把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象； ② 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 【小问3详解】 由可知，列表如下： 故函数在区间上的图象如下： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $