微专题02 正方形的常考模型（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02正方形的常考模型 十字模型 半角模型 正方形的常考模型 对角互补模型 一线三垂直模型 常点型戒 题型1十字模型 妹方法 G 核心结论：在正方形中，若两条线段互相垂直(EF⊥GH),则这两条线段相等(EF=GH)(或其所在三 角形全等)。 解题方法： 1.识别模型：寻找正方形中互相垂直的线段（如对角线、边上的垂线等），通常伴随“中点”“平行”等 条件。 2. 构造全等：通过“SAS”“AAS”等判定定理证明三角形全等，从而得到线段相等或垂直关系。 3. 利用中点与平行：若有中点，可通过“8字型全等”“中位线定理”或“平行线分线段成比例”简化计 算。 4.建系法：建立平面直角坐标系，通过坐标计算验证线段长度或垂直关系（适合复杂图形）。 1.(25-26九年级上山东枣庄月考)如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF1AE,与AB 交于点F,则DF的长为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.2W5 B.3√5 C.4v5 D.9 2.(25-26九年级上山东枣庄·月考)如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE,与AB 交于点F,则DF的长为() D A.2W5 B.3V5 C.4V5 D.9 3.(25-26九年级上山东菏泽·期中)(1)感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不 与点AB重合)，连接DE,过点A作AF⊥DE,交BC于点F,证明：DE=AF, (2)探究：如图②，在正方形ABCD中，E,F分别为边AB,CD上的点（点E,F不与正方形的顶点重合）， 连接EF,作EF的垂线分别交边AD,BC于点G,H,垂足为O.若E为AB中点，DF=1,AB=4,求 GH的长. D D F H G O A E B E B 图① 图② 4.(25-26八年级上·山东淄博期末)在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形 成科学的思维习惯， A A D G A A B B 图1 图2 图3 备用图 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)观察发现 如图I,将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于点E,F, 则折痕EF和AA'的数量和位置关系分别是 (2)类比探究 在(1)的条件下，设EF与AA'交于点O,连接BD交EF于点G,如图2.求证：OG=OE+GF; (3)拓展应用 如图3，正方形ABCD的边长为9，点M是AB边上的一动点，点N在边CD上，且CN=4.连接MN, 将正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，请直接写出 线段AM的长. 5.(24-25九年级上海南省直辖县级单位期末)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上 的点，且AE=BF.连接AE,BF相交于点G. D D D E C 图1 图2 图3 (I)求证：①△ABE≌△BCF,②AE⊥BF; (2)如图2，在图1的基础上，过点E作AE的垂线，与正方形ABCD的外角∠DCM的平分线交于点N, 连接FN,求证：四边形BENF是平行四边形； (3)如图3，在(2)的条件下，连接AF,若四边形BENF的面积是36，AB=8,请求出AF的长度， 6.(23-24八年级下·江苏泰州·期中)阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并 完成相应的任务： 正方形中相等的线段如图1，在正方形ABCD中，如果点E、F分别在BC、CD上，且 AE⊥BF,垂足为M,那么AE与BF相等吗？证明你的结论. 对于上面的问题，我是这样思考的： (1): 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D F反思1：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样 ® 图1 的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且 EF⊥GH,垂足为M,那么EF与GH相等吗？证明你的结论. (2): F G M 反思2：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样 图2 的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且 EF=GH,那么EF与GH垂直吗？证明你的结论. (3): A D H G B 图3 任务： (1)完成笔记中的“我是这样思考的”； (2)回答笔记中反思1的问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明. 题型2半角模型 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 妹方法 B 核心特征：共顶点的两个角，小角是大角的一半（如正方形中∠EAF=45°，为∠BAC=90°的一半）。 解题方法： 1.旋转法（最常用）：将半角两边的三角形旋转到同一侧，构造全等三角形。 2. 补短法：在长边上截取线段，使截取的线段等于短边，构造等腰三角形或全等三角形。 3. 利用全等性质：通过旋转或翻折得到的全等三角形，推导线段和差、周长或面积关系。 1.(23-24九年级上·山东威海期末)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E, AF交CD于点F,连接EF.若DF=3,求BE的长 D 2.(23-24八年级上河南信阳·期末)【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角. G BE C B E 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,并延长CB到点G, 使BG=DF,连接AG,若LEAF=45°，则BE,EF,DF之间的数量关系为 【类比探究】(2)如图2，当点E、F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究 BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由. 3.(2025九年级上山东青岛专题练习)如图，己知正方形ABCD的边长为12，BE=EC,将正方形的边 CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG.下列结论①GF=EF,②LGDE=45°，③五边 形AGECD的周长是44，④△DGE的面积是60.正确的结论有() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26九年级上·北京·月考)在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC和CD上的动点（不含端点）， LEAF=45°，下列四个结论：①∠AEF+∠EFC=90°；②若LBAE=22.5°时，则EF=√2EC;③若 AB=1时，则△EFC的周长为2；④若DF=2,BE=3,则△ABE的面积为9.其中正确的个数有() B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2025山东·模拟预测)(1)如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E,F分别在AD,CD边 上，∠EBF=45°.为了求出△DEF的周长.小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H,使AH=CF,连接BH,先证△ABH≌aCBF,再证△EBH≌△EBF,得EF=EH ,从而得到aDEF的周长=Cm; (2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=I00°，∠B=LADC=90°.E,F分别是线段BC ,CD上的点.且∠EAF=50°，探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系； (3)如图4，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是线段BC,CD上的点， 且2∠EAF=∠BAD，(2)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： (4)若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+LD=180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且 2∠EAF=∠BAD,请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图 图2 D 图3 图4 备用图 6.(25-26八年级上·山东聊城月考)综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，探究图中线 段之间的数量关系。 小明的探究思路如下：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明aADF≌△ABG,再证明 △AEF≌△AEG,则EF,BE,DF之间的数量关系为· 【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠D互补，E,F分别是边BC,CD上的 点，且∠EAF=?<BAD,那么线段EF,BE,DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由. B E B 图1 图2 图3 【拓展应用】如图3，在ABC中，AB=AC,D,E在BC上，LBAC=2LDAE.若SABC=14,SADE=6, 那么线段BD,DE,EC围成的三角形的面积为_· 7.(2024九年级下·浙江.专题练习)阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点， ∠EAF=45°，连接EF,求证：DE+BF=EF.小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办 法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以 解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2)，此时GF即是DE+BF. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (1)在图2中，∠GAF的度数是（直接写答案）. 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC(AD>BC),∠D=90°，AD=CD=10,E是CD上一 点，若∠BAE=45°，DE=4,求BE的长度. (3)如图4，△ABC中，AC=4,BC=6,以AB为边作正方形ADEB,连接CD.当∠ACB=_时， 线段CD有最大值，并求出CD的最大值， 8.(24-25九年级上山东临沂·期末)阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题 例如：如图1所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF=45°. 求证：BE+DF=EF; 如图2，小明延长CB至G,使得BG=DF,则形成一组旋转三角形… B E 图1 图2 图3 图4 (1)请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程. 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： (2)如图3，在正方形ABCD中，点E为BC边上的点，AE交BD于F,探索BF、AF、DF之间的数 量关系，并证明。 (3)如图4，在正方形ABCD中，点E为AB边上的点，CE交BD于点M,取CE中点H,过点H作 CE的垂线，分别交BC、BD、AD于点F、N、G,且BE=2,HN=3.求△GDN的面积. 题型3对角互补模型 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 妹方法 B 核心条件：四边形中一对对角互补，且有一组邻边相等。 解题方法： 1. 作双垂线：过互补角的顶点向两边作垂线，构造全等三角形。 2. 旋转构造：将其中一个三角形绕顶点旋转，使互补的角重合，构造手拉手全等。 3. 利用正方形性质：结合正方形的对称性（如对角线平分角、邻边相等），推导角相等或线段相等。 1.(22-23八年级下·山东临沂期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以O为顶点的正方形 OEGF的两边OE,OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N.记△AOM的面积为S,△CON的面积为S ,若正方形的边长AB=10、S,=16,则S,的大小为 E B 2.(25-26九年级上·全国期末)如图，在正方形ACB0中，AC=BC=2,∠C=90°，将一块足够大的正 方形纸板的直角顶点放在对角线AB的中点P处，将纸板绕点P旋转，纸板的两边分别交AC,CB于D ,E两点. (I)当PD与AC不垂直时，求证：PD=PE; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若D,E两点分别在线段AC和CB上移动，设BE的长为x,△APD的面积为y,求y与x之间的函 数关系式 4.(23-24八年级下·河北唐山期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形EFGO的 一个顶点，且这两个正方形边长相等.OE与BC相交于点M,OG与CD相交于点N. A D B /M 图2 图1 F 课本再现(1)求证：0M=0W; 知识初探(2)嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小.你 同意嘉琪的说法吗？请说明理由； 拓展探究(3)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,LBAD=LBCD=90°，连接AC,若AC=4,请直 接写出四边形ABCD的面积 5.(23-24八年级下·广东深圳期末)【问题感知】(1)如图1，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°，∠A+∠C=I80°，且AD=CD,①请直接写出AB、BC、BD的数量关系：一； ②证明：BD平分∠ABC; 【迁移应用】(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°，BE⊥AD,AB=BC=√3 ,CD=1,计算BE的长度； 【拓展研究】(3)如图3，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE,F为AE边上一点，且 AF=BC,FG垂直DF交AB于点G,EF=2,AG=5,直接写出正方形的边长 G 图1 图2 图3 微专题02 正方形的常考模型 题型1 十字模型 核心结论：在正方形中，若两条线段互相垂直（），则这两条线段相等（）（或其所在三角形全等）。 解题方法： 1. 识别模型：寻找正方形中互相垂直的线段（如对角线、边上的垂线等），通常伴随“中点”“平行”等条件。 2. 构造全等：通过“SAS”“AAS”等判定定理证明三角形全等，从而得到线段相等或垂直关系。 3. 利用中点与平行：若有中点，可通过“8字型全等”“中位线定理”或“平行线分线段成比例”简化计算。 4. 建系法：建立平面直角坐标系，通过坐标计算验证线段长度或垂直关系（适合复杂图形）。 1．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，，与交于点，则的长为（　　） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）（1）感知：如图①，在正方形中，E为边上一点（点E不与点重合），连接，过点A作，交于点F，证明：． （2）探究：如图②，在正方形中，分别为边上的点（点不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边于点，垂足为O．若E为中点，，求的长． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． （1）利用正方形的性质，用“”证明即可； （2）分别过点、作，，分别交、于点、，证明，再对运用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：分别过点作，分别交于点，如图②所示： 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 4．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 5．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且．连接相交于点G． (1)求证：①，②； (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是36，，请求出的长度． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）①根据正方形的性质可得，，结合已知利用即可证明结论；②设交点为，根据三角形全等的性质结合三角形内角和定理即可证明结论； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据垂直的性质可得，推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ②设交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴， ∵四边形的面积是36， 故， ∴， ∵， ∴， 在中，． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务： 正方形中相等的线段如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 对于上面的问题，我是这样思考的： （1）：______． 反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （2）：______． 反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论． （3）：______． 任务： (1)完成笔记中的“我是这样思考的”； (2)回答笔记中反思1的问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)当时，那么与不一定垂直． 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）作，，证明，，与（1）同理得，即可证明； （3）以点为圆心，为半径作圆，与边交于点，得到，但与不垂直，得到当时，那么与不一定垂直． 【详解】（1）解：与相等，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下， 如图，作，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 与由（1）同理得， ∴ ∴； （3）解：与不一定垂直，理由如下： 如图，，则， 以点为圆心，为半径作圆，与边交于点， 此时，，但与不垂直， 故当时，那么与不一定垂直． 题型2 半角模型 核心特征：共顶点的两个角，小角是大角的一半（如正方形中，为的一半）。 解题方法： 1. 旋转法（最常用）：将半角两边的三角形旋转到同一侧，构造全等三角形。 2. 补短法：在长边上截取线段，使截取的线段等于短边，构造等腰三角形或全等三角形。 3. 利用全等性质：通过旋转或翻折得到的全等三角形，推导线段和差、周长或面积关系。 1．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴，， 如图，把绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，即、、三点共线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， 则，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴长为2． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】解：（1）， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 3．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是可得，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由折叠可得，， ∴，故结论②符合题意； ∵正方形边长是， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，， ∴，故结论①错误，不符合题意； ∴五边形的周长为，故结论③符合题意； 的面积为，故结论④符合题意； 综上，正确的结论为②③④，共三个， 故选C． 4．（25-26九年级上·北京·月考）在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；②先根据正方形的性质以及，易得，则，用勾股定理列式计算，可得答案；③由，可得，从而将的三边相加即可得答案；④设正方形的边长为，则，，利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，可证得结论． 【详解】解：①如图， 将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴ ∵ 则， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵不一定等于， 则不一定等于，故①不符合题意； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故②符合题意； ③∵四边形是正方形，， ∴， 由①得， ∴， ∴的周长为：， 则的周长为2； 故③符合题意； ④设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 则，， 根据解析③可知，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴，故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理,旋转的性质等知识点，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，本题具有一定的综合性． 5．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长_； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）10；（2）；（3）成立，证明见解析；（4） 【分析】  （1）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． （2）延长到点．使．连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （4）在上截取，使，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，可得结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：10； （2）． 证明：如图2所示，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）成立． 证明：如图3，延长到，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （4）， 理由如下：在上截取，使， ，， ，且，， ， ，， ∴， ， ，且，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（25-26八年级上·山东聊城·月考）综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且 ，探究图中线段之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点 G，使，连接，先证明，再证明，则之间的数量关系为_ ． 【类比探究】如图2，在四边形中， 与 互补，E，F分别是边上的点， 且 那么线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】如图3，在 中，，D，E在上， 若 那么线段围成的三角形的面积为 _． 【答案】【模型建立】；【类比探究】，理由见解析；【拓展应用】2 【分析】【模型建立】沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； 【类比探究】延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； 【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，可证得，从而得到，得围成的三角形面积，即可求解． 【详解】解：【模型建立】如图1，延长到点 G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ； 故答案为：； 【类比探究】；理由如下： 延长至点M，使得，连接，如图2， ∵与互补， ∴． ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ； 【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴围成的三角形面积为的面积． ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 _ （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当_ 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；     将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：；                    解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，     ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线，                    ， 由可知， 在和中，， （）， ，                                          ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：；                                      当时，线段有最大值，               如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ，              四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ，                                 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 8．（24-25九年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题． 例如：如图所示，在正方形中，点、分别为、边上的点，． 求证：； 如图，小明延长至，使得，则形成一组旋转三角形 （1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程． 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： （2）如图，在正方形中，点为边上的点，交于，探索、、之间的数量关系，并证明． （3）如图，在正方形中，点为边上的点，交于点，取中点，过点作的垂线，分别交、、于点、、，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）延长至，使得，连接，可证，得，可得结论； （2）理由：将逆时针旋转 到位置，可得，，，根据勾股定理可得结论． （3）连接，，，，，作于，于，由题意可证，可得为等腰直角三角形，可得，，根据勾股定理可求，的长，即可得，的长，即可求的面积． 【详解】解：（1）证明：延长至，使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ，， ， ． ， 又， ， ， 故； （2） 如图：将逆时针旋转 到位置， 四边形是正方形， ， 由旋转， ，， （3）如图：连接，，，，，作于，于 四边形是正方形， ， ，， ，， 设 ， 垂直平分 ， 且 是等腰直角三角形 又是中点 ， 在中， ， 在中， 在中，． 在中， ． 解得 ， 【点睛】本题考查四边形综合题，用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识．注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用，全等三角形的判定和性质等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 题型3 对角互补模型 核心条件：四边形中一对对角互补，且有一组邻边相等。 解题方法： 1. 作双垂线：过互补角的顶点向两边作垂线，构造全等三角形。 2. 旋转构造：将其中一个三角形绕顶点旋转，使互补的角重合，构造手拉手全等。 3. 利用正方形性质：结合正方形的对称性（如对角线平分角、邻边相等），推导角相等或线段相等。 1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，，，将一块足够大的正方形纸板的直角顶点放在对角线的中点处，将纸板绕点旋转，纸板的两边分别交，于，两点． (1)当与不垂直时，求证：； (2)若，两点分别在线段和上移动，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，中位线的判定与性质，函数解析式求解，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明，即可解答； （2）根据全等的性质可得，进而可表示出，过点作交于，证明是的中位线，可得，进而根据表示即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， 是等腰直角三角形，， 点是的中点， ，，， ，即． ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， 如图，过点作交于， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 即． 4．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点与相交于点． 课本再现（1）求证：； 知识初探（2）嘉琪说：当正方形绕点转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由； 拓展探究（3）如图2，四边形中，，连接，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）不同意，理由见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、全等三角形的性质、旋转的性质等知识点．熟练掌握正方形性质是解题关键． （1）根据正方形性质证明即可证明结论； （2）由可得，，即四边形的面积总等于正方形面积的即可； （3）如图：过A作交延长线于F，再证明可得，，进而得到，最后根据正方形的面积为对角线积的一半即可解答． 【详解】解：（1）∵在正方形和正方形中， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：不同意，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴，即当正方形绕点O转动时，四边形的面积总等于正方形面积的，即为定值． （3）如图：过A作交延长线于F， ∴, ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题感知】（1）如图1，在四边形中，，且，①请直接写出、、的数量关系：_； ②证明：平分； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，，，，计算的长度； 【拓展研究】（3）如图3，正方形中，E为边上一点，连接，F为边上一点，且，垂直交于点G，，，直接写出正方形的边长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①延长使，连接，证明，得出，证出，在中，根据勾股定理即可求解； ②将绕点逆时针旋转至，证明、、三点共线，证出是等腰直角三角形，得出，即可证明； （2）连接，将绕点逆时针旋转至，根据旋转的性质得出，证明、、三点共线，从而证出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，平分，得出，根据直角三角形的性质和勾股定理得出，设则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （3）过点作交于点，作交于点，根据四边形是正方形，得出，从而得出，结合，得出，，即可得出，根据，得出，证出，，即可得，证出四边形是正方形，得出，证明，得出，设，则，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：（1）①， 证明：延长使，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②证明：将绕点逆时针旋转至， ， ∴、、三点共线， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴平分； （2）解：连接，将绕点逆时针旋转至， ， 在四边形中，， ， ∴、、三点共线， 又， 所以是等边三角形， ， ∴平分， ， ， 设则， 在中，， 则， 解得(舍)， ， ； （3）解：过点作交于点，作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， 故， 解得：， 则正方形的边长． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）【问题呈现】 如图1，正方形的对角线相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． 【问题发现】 （1）如图1，求证：； （2）猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【迁移应用】 如图2，有一个矩形菜园边上的点处和边上的点处各有一个门口．点是矩形两条对角线的交点，连接．已知，．请求出点处门口到点处门口的最短距离．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）处的门口到点处的门口的最短距离为 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据正方形的性质得出相等的边和角，证明，即可得出结论； （2）由（1）得结论得出相等的线段，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）延长交于点，连接，证明，根据相等的线段，得出垂直平分，得出，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 即， 在和中， ， 所以， 所以； （2）解：，证明如下： 因为四边形是正方形， 所以， 由（1）知， 所以， 所以， 即， 因为， 所以在中，， 所以； （3）解：延长交于点，连接， 在矩形中，， 所以， 在和中 ， 所以， 所以， 因为， 所以垂直平分， 所以， 因为在中，， 所以， 因为， 所以， 处的门口到点处的门口的最短距离为． 5．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可． 【详解】解：由题意得， ∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为： ， 故②正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 题型4 一线三垂直模型 核心结构：一条直线上有三个直角，且有一组邻边相等。 解题方法： 1. 构造全等：通过“一线三垂直”结构，证明直角三角形全等（AAS或ASA）。 2. 分类讨论：根据直线位置（过三角形内或外），调整全等三角形的对应关系。 3. 利用坐标法：在平面直角坐标系中，通过点的坐标计算验证垂直或线段长度（适合动态问题）。 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，点E是正方形边上一动点（不与B、C重合），是外角的平分线，点F在射线上． (1)当时，判断与是否垂直，并证明结论； (2)若在点E运动过程中，线段与始终满足关系式． ①连接，证明的值为常量； ②设与的交点为G，的周长为a，求正方形的面积． 【答案】(1)；证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据，分别加上，就得到，即可得； （2）①过F点作，得为等腰直角三角形，，从而证得和全等，推出与垂直且相等，从而证得的值为常量；②利用旋转变换，证明，从而将周长与正方形边长联系起来，进而求出正方形的面积． 【详解】（1）解：．证明： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解： ①如图：过点F作， 则， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴的值为常量． ②如图：将绕点A顺时针旋转，则点D落在点B处，点G落在点处，得到， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∵周长为：， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形面积为：． 【点睛】本题考查了正方形．熟练掌握正方形的性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转性质．正确作出辅助线构造全等三角形，是解决本题的关键． 2．（22-23八年级下·河南安阳·期末）操作探究：在平面直角坐标系中，将正方形如图1放置，顶点，．      （1）①正方形的边长为______； ②求点A的坐标； 拓展应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点重合，点，直线与边相交于点且与垂直．请在直线上找一点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）， 【分析】（1）①利用勾股定理求的长即可； ②过点作轴交于点，通过证明，可求点坐标； （2）设，由，得到方程，求出的值即可求点坐标． 【详解】解：（1）①四边形是正方形，，． ， 正方形的边长为， 故答案为：； ②过点作轴交于点，   ， ， ， ， ， ， ，， ； （2）点在上，点， ， 设， 直线， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到_ ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有_ （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为_ ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）6 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 4．（25-26八年级上·广东潮州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）的面积为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期中）“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； （3）， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 6．（24-25八年级下·上海虹口·期末）【模型构建】 如图①，已知，如果，那么．我们把这种图形叫做“一线三直角”． 【初步探究】 我们发现，如果和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答． （1）如图②，已知，且，求证：． （2）如图③，已知，且，求证：． 【探究应用】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．设，求关于的函数解析式，并写出定义域． 【拓展探究】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．分别是线段的中点，联结，如果是等边三角形，求的长． 【答案】初步探究：（1）见解析；（2）见解析；探究应用：；拓展探究： 【分析】初步探究：（1）由三角形内角和定理和平角的定义可得，则可证明，进而可证明得到，则可证明； （2）同（1）证明即可； 探究应用：如图所示，在上分别截取，连接，由正方形的性质得到，，则，进而可证明，同理可得，则，由勾股定理得，，则；进而可得，据此可得答案； 拓展探究：如图所示，在直线上作，连接，由等边三角形的性质可得，同理可证明，则， ；求出，得到；设，则，则，，再求出，则，解方程可得，，；过点N作分别交于T、R，则四边形是矩形， 可得，，，证明，得到，；可得，则，；过点N作于，则四边形是矩形，则，求出，得到，则． 【详解】解：初步探究：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上分别截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，； ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴同（1）可得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 同理可得 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展探究：如图所示，在直线上作，连接， ∵是等边三角形， ∴， 同理可证明， ∴， ； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，； 如图所示，过点N作分别交于T、R，则四边形是矩形， ∴，，， ∴； ∵N是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点N作于，则四边形是矩形， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $