微专题03 二元一次方程组的实际应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

微专题03 二元一次方程组的实际应用 题型1 数字问题 核心思路： 1. 两位数的表示：若十位数字为a，个位数字为b，则两位数为； 2. 三位数的表示：若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则三位数为； 3. 找等量关系：数字和、数字差、对调后的数字变化。 1．（25-26八年级上·山东青岛·月考）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 【答案】34 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：如表格，设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为， 7 3 6 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设第一个加数为x，第二个加数为y，根据在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个加数为x，第二个加数为y， 由题意得，， 得：， ∴， 故答案为：18． 4．（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为_； (2)小明时看到的两位数为_；时看到的三位数为_； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 6．（24-25七年级下·山东济宁·月考）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 题型2 行程问题 基本公式：路程＝速度×时间； 1. 相遇问题：快行距＋慢行距＝总路程（如两人相向而行）； 2. 追及问题：快行距－慢行距＝初始距离（如两人同向而行）； 3. 流水行船：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东泰安·月考）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校_______米 【答案】700 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 假设平路长为米，坡路长为米，根据两种走路方式，列出方程组求解即可． 【详解】解：假设平路长为米，坡路长为米，根据题意得， 解得 （米） 故答案为：700． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废， 根据题意得：， 解得：， ∴（）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎．已知某品牌轮胎若安装在前轮应行驶5000公里报废，若安装在后轮应行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶______公里． 【答案】3750 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．准确地找到等量关系并用方程组表示是解题的关键． 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里， 由题意得：， 两式相加，得， 解得：， 故答案为：3750． 5．（24-25七年级下·山东淄博·期中）列方程组解应用题： 甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米．已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求A、B两地的距离． 【答案】37800米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乙丙相遇所用的时间为分钟，A、B两地的距离为米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设乙丙相遇所用的时间为分钟，A、B两地的距离为米， 由题意得，， 解得：． 答：A、B两地的距离为37800米． 6．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 题型3 工程问题 基本公式：工作量＝工作效率×工作时间； 1. 通常将总工作量设为1，工作效率为； 2. 找等量关系：各部分工作量之和等于总工作量。 1．（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 4．（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作总量，B队的工作总量；补全所列方程组见解析 (2)，A队整治河道120米，B队整治河道240米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解乙方程组即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间； 乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解：整理乙方程组，得 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴乙方程组的解为：， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 题型4 利润问题 核心思路： 1. 基本公式：利润＝售价－进价，利润率＝×100%； 2. 折扣问题：售价＝定价×折扣； 3. 找等量关系：总利润＝各部分利润之和。 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 【答案】“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是从题目中提取两个等量关系，列出方程组求解．先设两种模型的进货单价为未知数，再根据“1个‘神舟’模型和3个‘天宫’模型共元”“2个‘神舟’模型和1个‘天宫’模型共元”这两个条件列出二元一次方程组，最后通过代入消元法解方程组得到两种模型的进货单价． 【详解】解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 根据题意，得，解得：， 答：“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元 (2)该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得出；由题意可得，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元． 由题意得：，解得：． 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元． （2） 解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆，； 由题意可得， ， ∴W随a的增大而减小， ∴当，W取最大值，最大值，此时，． 答：该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元． 3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． 型号 购买数量低于30个 购买数量不低于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元； (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型和B型足球共50个，其中购买A型足球不低于30个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 【答案】(1)购买一个A型足球需60元，购买一个B型足球需100元 (2)购买40个A型足球和10个B型足球时，使得总花费w最少，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设购买一个A型足球需x元，购买一个B型足球需y元，根据购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元建立方程组求解即可； （2）设购买A型足球m个，则购买B型足球个，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A型足球需x元，购买一个B型足球需y元， 由题意得，， 解得， 答：购买一个A型足球需60元，购买一个B型足球需100元； （2）解：购买40个A型足球和10个B型足球时，使得总花费w最少，理由如下： 设购买A型足球m个，则购买B型足球个， ∵购买A型足球不低于30个但不超过40个， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值，此时， ∴购买40个A型足球和10个B型足球时，使得总花费w最少． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为元，定价为元 (2)选择方案一比较合算，比方案二节省元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是要根据定价、进价和利润的关系，找出等量关系正确解答． （1）根据“每件获利元”可得出：每件定价每件进价元；根据“定价的九折销售该商品件所获利润与将定价降低元销售该商品件所获利润相等”可得出等量关系：每件定价的九折每件进价（每件定价元）每件进价； （2）分别计算两种方案的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设该商品的进价为元，定价为元， 根据题意得：， 解得： 答：该商品的进价为元，定价为元； （2）解：方案一：∵， ∴此时该商品的单价为：， ∴总费用为：（元）； 方案二：件中包含完整的“买四送一”组数：， 需支付的件数为：， ∴总费用为：（元）； ∵， ∴方案一更合算，节省金额为：（元）， 答：选择方案一比较合算，比方案二节省元． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）某商店销售1台型和2台型电脑的利润为1100元，销售3台型和5台型电脑的利润为3000元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，设购进型电脑台，这50台电脑的销售总利润为元． ①请写出关于的函数关系式，并判断总利润能否达到26000元，请说明理由． ②若，当把购进的两种电脑全部售出，求购进型电脑多少台时，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元； (2)①（且为整数），总利润不能达到元；②当购进型电脑台时，最大利润为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列方程组与关系式是解题的关键． （1）设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，计算求解即可； （2）①由题意得，，，根据一次函数的性质求最值，和比大小，然后作答即可．②由，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元， 依题意得，， 解得，， ∴每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元； （2）解：①由题意得，，， ∵， ∴随着的增大而增大，的最大值为， ∴总利润不能达到元， ∴w关于n的函数关系式为，总利润不能达到元． ②，， ∵， ∴随着的增大而增大，当时，的最大值为， ∴当购进型电脑台时，最大利润为元． 题型5 配套问题 核心思路： 1. 关键：找到配套的比例关系（如1个螺钉配2个螺母，即螺母数量是螺钉的2倍）； 2. 设未知数：通常设生产甲产品的人数为x，生产乙产品的人数为y； 3. 找等量关系：总人数等于各部分人数之和，配套数量符合比例。 1．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用_________张铁皮做盒身，_________张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 2．（24-25七年级下·山东泰安·月考）某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得， ， 解得：， ∴每天生产卷筒：（个）， 每天生产圆板：（个）， ∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余 答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题． (1)如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 【答案】(1)放入2个大球，4个小球 (2)放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球 【分析】本题考查二元一次方程（组）解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程或方程组求解是解决问题的关键． （1）由题意可知放入一个小球水面升高的高度、放入一个大球水面升高的高度为，设放入大球个，小球个，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设放入大球个，小球个，列二元一次方程，讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图知，放入一个小球水面升高的高度为：； 放入一个大球水面升高的高度为：； 设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得， 放入2个大球，4个小球水面升高； （2）解：设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得或， 放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球． 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【答案】144套 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据题意， 得 解得 答：可以恰好配成144套罐头盒. 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块5块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为个 (3)6 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，，解得， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为6， 故答案为：6． 题型6 古代数学问题 核心思路： 1. 翻译文言文：将古代问题转化为现代数学语言； 2. 找等量关系：根据题目描述的“共”“比”等关键词，列出方程组； 3. 参考经典问题：《九章算术》中的“盈不足术”“方程术”，《孙子算经》中的“鸡兔同笼”。 1．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟分别有多少？设兽有x个，鸟有y只，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．据兽和鸟的头数及脚数，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设兽有个，鸟有只， 由题意得：， 故选：A． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子比木长4.5尺，可得；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得： ， 故选：B． 3．（2024·山东威海·一模）我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，分析题意，找准等量关系是解题关键．设客人为人，银子为两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设客人为人，银子为两， 根据题意得： 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为______尺． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设井深x尺，绳总长为y尺，根据将绳三折测之，绳多五尺；将绳四折测之，绳多一尺建立方程组求解即可． 【详解】解：设井深x尺，绳总长为y尺， 由题意得， ， 解得， ∴井深为11尺， 故答案为：11． 5．（24-25七年级下·山东泰安·月考）古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱_______个 【答案】40 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，根据题意列出方程组是解题关键． 设甲有钱个，乙有钱个，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲有钱个，乙有钱个． 根据题意得， 解得． 故答案为：40． 6．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 题型7 几何问题 核心思路： 1. 利用几何图形的性质； 2. 找等量关系：图形的边长关系、面积关系； 1．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．设小长方体的长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h． 【详解】解：设小长方体的长为x，宽为y，由图可得 ， 解得， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东临沂·月考）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为． 由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长， 即． 左边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 右边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 将两块阴影部分的周长相加并化简： 故选A 【点睛】本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 5．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为8，宽为2． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ∴小长方形的长为8，宽为2． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型8 方案问题 核心思路： 1. 步骤：设变量→列不等式组→找整数解→计算费用； 2. 关键：根据“费用最少”“利润最大”等目标，比较不同方案的结果。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． (1)求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； (2)该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 【答案】(1)每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元 (2)该顾客最多购买了8盒茶叶 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元，根据“第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同”建立方程组求解； （2）设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒，先算出两种茶叶打八折后的售价，再根据题意得，整理得，最后求出其正整数解，根据题意得到最大值为8，即求出该顾客最多购买了8盒茶叶． 【详解】（1）解：设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元， 由题意得， 解得， 答：每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元． （2）解：设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒， 每盒崂山红茶的标价为200元， 打八折销售，则每盒崂山红茶的售价：（元）， 每盒崂山绿茶的标价为300元， 打八折销售，则每盒崂山绿茶的售价：（元）， 由题意得， 化简得， 由题意得a，b均为正整数， 或或， ∴或7或6， ∴最大值为8， 答：该顾客最多购买了8盒茶叶． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 3．（24-25七年级上·山东滨州·期末）沾化冬枣主要生产于滨州市沾化区，2024年7月，拟定2024年地理标志保护工程实施名单．一代冬枣的管理相对简单，适合大规模种植，而二代冬枣需要复杂的短枝嫁接技术培育管理起来比较麻烦，成本高且产量少．滨城区一水果店都按整数斤进货一代、二代冬枣，进、售冬枣的价格如下表： 单件类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 一代冬枣 5 7 二代冬枣 12 25 (1)该水果店购进一代、二代水果共500斤，共花费4600元，该商家购进一代、二代冬枣分别多少斤？ (2)因热销，第一次购进的冬枣全部售完，该水果店打算花费3000元购进一代、二代冬枣，购进一代、二代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购．请问该水果店有几种购进方案？ (3)在（2）的基础上，你建议水果店采用哪种购进方案？为什么？（假设冬枣全部售完） 【答案】(1)一代冬枣200斤，二代冬枣300斤 (2)两种 (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设该商家购进一代冬枣斤，购进二代冬枣斤．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该商家购进一代冬枣斤，购进二代冬枣斤．根据题意得出，根据为均不超过250斤的整十数，进一步即可求解； （3）根据（2）得结论，计算利润，即可求解． 【详解】（1）解：设该商家购进一代冬枣斤，购进二代冬枣斤． 根据题意得， 解得 答：该商家购进一代冬枣200斤，购进二代冬枣300斤． （2）解：设该商家购进一代冬枣斤，购进二代冬枣斤． 由题意得， 所以 因为购进一代、二代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购 所以或 答：综上所述，共有两种方案． ①该商家购进一代冬枣120斤，购进二代冬枣200斤． ②该商家购进一代冬枣240斤，购进二代冬枣150斤． （3）方案①利润为 （元） 方案②利润为 （元） 答：因为，所以购进一代冬枣120斤，二代冬枣200斤 4．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元 (2)①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元； （2）解：设购进a件A种飞船模型和b件B种飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，；当时，， ∴所有购买方案如下： ①购进7件A种飞船模型和5件B种飞船模型； ②购进4件A种飞船模型和10件B种飞船模型； ③购进1件A种飞船模型和15件B种飞船模型． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 (1)分别求两种型号空调的销售单价； (2)六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 【答案】(1)型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元 (2)共有两种购买方案；方案一：购买型空调3台，型空调6台；方案二：购买型空调6台，型空调2台 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次不定方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和二元一次不定方程． （1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； (2)根据条件列出二元一次不定方程，求解所有满足条件的解，得出方案即可． 【详解】（1）（1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据题意得 ， 解得： 答：型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元． （2）根据题意得：， 化简，得， 由题意可知，，都是正整数， 所以方程的所有正整数解为或， 所以共有两种购买方案；方案一：购买A型空调3台，B型空调6台；方案二：购买A型空调6台，B型空调2台． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林老师和小辰同学有关租车问题的对话： 林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上师生两人对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？ 【答案】(1)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元 (2)共有3种租车方案 【分析】本题主要考查列方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式． （1）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 二元一次方程组的实际应用 题型1 数字问题 核心思路： 1. 两位数的表示：若十位数字为a，个位数字为b，则两位数为； 2. 三位数的表示：若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则三位数为； 3. 找等量关系：数字和、数字差、对调后的数字变化。 1．（25-26八年级上·山东青岛·月考）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 3．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 4．（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为_； (2)小明时看到的两位数为_；时看到的三位数为_； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 6．（24-25七年级下·山东济宁·月考）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 题型2 行程问题 基本公式：路程＝速度×时间； 1. 相遇问题：快行距＋慢行距＝总路程（如两人相向而行）； 2. 追及问题：快行距－慢行距＝初始距离（如两人同向而行）； 3. 流水行船：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·月考）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校_______米 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎．已知某品牌轮胎若安装在前轮应行驶5000公里报废，若安装在后轮应行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶______公里． 5．（24-25七年级下·山东淄博·期中）列方程组解应用题： 甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米．已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求A、B两地的距离． 6．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 题型3 工程问题 基本公式：工作量＝工作效率×工作时间； 1. 通常将总工作量设为1，工作效率为； 2. 找等量关系：各部分工作量之和等于总工作量。 1．（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 4．（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 题型4 利润问题 核心思路： 1. 基本公式：利润＝售价－进价，利润率＝×100%； 2. 折扣问题：售价＝定价×折扣； 3. 找等量关系：总利润＝各部分利润之和。 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？ 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． 型号 购买数量低于30个 购买数量不低于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元； (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型和B型足球共50个，其中购买A型足球不低于30个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利元；当按定价的九折销售时，销售件所获利润与将定价降低元销售件所获利润相等． (1)该商品的进价和定价分别是多少元？ (2)商场在元旦期间推出以下优惠活动． 方案一：一次购买件以上所有商品打八折； 方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）． 小明的爸爸计划购买该商品件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？ 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）某商店销售1台型和2台型电脑的利润为1100元，销售3台型和5台型电脑的利润为3000元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，设购进型电脑台，这50台电脑的销售总利润为元． ①请写出关于的函数关系式，并判断总利润能否达到26000元，请说明理由． ②若，当把购进的两种电脑全部售出，求购进型电脑多少台时，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 题型5 配套问题 核心思路： 1. 关键：找到配套的比例关系（如1个螺钉配2个螺母，即螺母数量是螺钉的2倍）； 2. 设未知数：通常设生产甲产品的人数为x，生产乙产品的人数为y； 3. 找等量关系：总人数等于各部分人数之和，配套数量符合比例。 1．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用_________张铁皮做盒身，_________张铁皮做盒底，恰巧配套． 2．（24-25七年级下·山东泰安·月考）某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题． (1)如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块5块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 题型6 古代数学问题 核心思路： 1. 翻译文言文：将古代问题转化为现代数学语言； 2. 找等量关系：根据题目描述的“共”“比”等关键词，列出方程组； 3. 参考经典问题：《九章算术》中的“盈不足术”“方程术”，《孙子算经》中的“鸡兔同笼”。 1．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟分别有多少？设兽有x个，鸟有y只，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4．5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·一模）我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为______尺． 5．（24-25七年级下·山东泰安·月考）古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱_______个 6．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 题型7 几何问题 核心思路： 1. 利用几何图形的性质； 2. 找等量关系：图形的边长关系、面积关系； 1．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．（25-26七年级上·山东临沂·月考）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 5．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型8 方案问题 核心思路： 1. 步骤：设变量→列不等式组→找整数解→计算费用； 2. 关键：根据“费用最少”“利润最大”等目标，比较不同方案的结果。 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． (1)求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； (2)该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 3．（24-25七年级上·山东滨州·期末）沾化冬枣主要生产于滨州市沾化区，2024年7月，拟定2024年地理标志保护工程实施名单．一代冬枣的管理相对简单，适合大规模种植，而二代冬枣需要复杂的短枝嫁接技术培育管理起来比较麻烦，成本高且产量少．滨城区一水果店都按整数斤进货一代、二代冬枣，进、售冬枣的价格如下表： 单件类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 一代冬枣 5 7 二代冬枣 12 25 (1)该水果店购进一代、二代水果共500斤，共花费4600元，该商家购进一代、二代冬枣分别多少斤？ (2)因热销，第一次购进的冬枣全部售完，该水果店打算花费3000元购进一代、二代冬枣，购进一代、二代冬枣的斤数是均不超过250斤的整十数，且两种冬枣都要采购．请问该水果店有几种购进方案？ (3)在（2）的基础上，你建议水果店采用哪种购进方案？为什么？（假设冬枣全部售完） 4．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 (1)分别求两种型号空调的销售单价； (2)六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林老师和小辰同学有关租车问题的对话： 林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上师生两人对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？ / 学科网（北京）股份有限公司 $