26.2 实际问题与反比例函数 讲义2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理解决问题的七步骤（审、设、列、写、解、检、答），求解析式的两种方法（待定系数法、列方程法），以及路程、面积、物理应用等常见反比例关系，搭建从函数概念到实际应用的学习支架。 资料特色在于分题型设计例题与变式练习，如物理中电流与电阻关系、生活中“瞎转圈”现象等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过规范解题步骤发展推理能力（数学思维），用函数模型表达实际问题（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

26.2 实际问题与反比例函数 目录 题型01 根据实际问题列反比例函数关系 3 题型02 反比例函数在物理中的应用 4 题型03 反比例函数在实际生活中的应用 6 建体系 新知廊 知识点1：用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 知识点2：求反比例函数解析式常用的两种方法： （1）待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． （2）列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 知识点3：实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 求甚解 1．实际问题中的反比例函数的图象一般是双曲线的一支，或一支的一部分． 2．由函数图象确定函数解析式的方法 （1）观察横轴、纵轴表示的含义； （2）观察图象形状，确定函数类型； （3）设函数解析式； （4）选取图象上的点代入解析式求出待定系数． 练题型 题型01 根据实际问题列反比例函数关系 典型例题 　（2024秋•渭滨区期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为（　　）典例 01 A．y＝600x B． C． D．y＝x+600 【答案】B 【分析】根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【解答】解：由题意得：xy＝600，即； 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•益阳期末）某校为了更好地开展大课间体育活动，增购了各种体育器材．其中用3000元购买单价是x元/个的足球y个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝3000x B． C．y＝x+3000 D．y＝x﹣3000 【变式练2】　（2025•天宁区校级模拟）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝5000x B． C． D．y＝x+5000 【变式练3】　（2024秋•濉溪县校级月考）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（　　） A．y＝200x B． C．y＝x+200 D．y＝x﹣200 题型02 反比例函数在物理中的应用 典型例题 　（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　）典例 02 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据电压＝电流×电阻得到稳定电压的值，让I即可． 【解答】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•中原区校级期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0随R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见表，则下列说法不正确的是（　　） 信息窗 R1与m之间满足R1＝﹣2m+240（0≤m≤120） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg 【变式练2】　（2025秋•藁城区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当ρ≥1时，h≥20 B．当ρ＝2时，h＝40 C．当0＜h≤25时，ρ≥0.8 D．当0＜ρ≤1时，h≤20 【变式练3】　（2024•昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 12 10 … 猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为　　 ． 题型03 反比例函数在实际生活中的应用 典型例题 　（2025秋•官渡区期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y米与其两腿迈出的步长之差x厘米（x＞0）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：典例 03 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ （3）若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差x的取值范围． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为y； （2）当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y，解方程即可得到结论； （2）把x＝0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y， 由图象可知，反比例函数过点（7，2）， ∴7 ∴k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为y； （2）当x＝0.5时，y28， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）当y≥70时，即70， ∴x≤0.2， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•海门区期末）区政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天可运送土石方104m3，公司完成全部运输任务需要多长时间？ （3）若公司以（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少增加多少辆卡车？ 【变式练2】　（2025秋•惠州期末）某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： （1）分别求出0≤x≤m和m＜x≤b时，y关于x的函数表达式（需先推导m的值）． （2）计算图中b的数值． （3）景区开放时间为8：00，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（8：00前可操作）．如果工作人员在7：58接通电源，第一批游客预计9：10到达休息室，请问他们能否喝到32℃～48℃之间的温水？ 【变式练3】　（2025秋•厦门期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某苹果园计划租用某品牌苹果采摘机器人，为实现利益最大化，将人工采摘和机器人采摘两种方式进行对比，相关信息如下： ①人工采摘：一名工人的工资为n元/h（n≥25），每人的采摘效率约为akg/h，采摘和转运过程中，约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖； ②机器人采摘：一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为（2n﹣10）元/h，每台采摘机器人的采摘效率约为4akg/h，采摘和转运过程中，约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖．该果园占地约10亩，每亩苹果产量约3000kg，采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售． （1）若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务，判断该名工人的采摘效率a与所需的采摘时间t是否成反比例关系？并说明理由； （2）当a＝100时，果园是否有必要用机器人采摘苹果？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 实际问题与反比例函数 目录 题型01 根据实际问题列反比例函数关系 3 题型02 反比例函数在物理中的应用 5 题型03 反比例函数在实际生活中的应用 8 建体系 新知廊 知识点1：用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 知识点2：求反比例函数解析式常用的两种方法： （1）待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． （2）列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 知识点3：实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 求甚解 1．实际问题中的反比例函数的图象一般是双曲线的一支，或一支的一部分． 2．由函数图象确定函数解析式的方法 （1）观察横轴、纵轴表示的含义； （2）观察图象形状，确定函数类型； （3）设函数解析式； （4）选取图象上的点代入解析式求出待定系数． 练题型 题型01 根据实际问题列反比例函数关系 典型例题 　（2024秋•渭滨区期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为（　　）典例 01 A．y＝600x B． C． D．y＝x+600 【答案】B 【分析】根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【解答】解：由题意得：xy＝600，即； 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•益阳期末）某校为了更好地开展大课间体育活动，增购了各种体育器材．其中用3000元购买单价是x元/个的足球y个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝3000x B． C．y＝x+3000 D．y＝x﹣3000 【答案】B 【分析】根据题意可得xy＝3000，再整理可得y与x的函数关系式． 【解答】解：由题意可得：xy＝3000， 则， 故选：B． 【变式练2】　（2025•天宁区校级模拟）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝5000x B． C． D．y＝x+5000 【答案】B 【分析】根据购买篮球的个数得出函数解析式． 【解答】解：根据题意得：y， ∴y与x的函数关系式为y， 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•濉溪县校级月考）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（　　） A．y＝200x B． C．y＝x+200 D．y＝x﹣200 【答案】B 【分析】根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【解答】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是x，y． 故选：B． 题型02 反比例函数在物理中的应用 典型例题 　（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　）典例 02 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据电压＝电流×电阻得到稳定电压的值，让I即可． 【解答】解：∵当R＝20，I＝11时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•中原区校级期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0随R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见表，则下列说法不正确的是（　　） 信息窗 R1与m之间满足R1＝﹣2m+240（0≤m≤120） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg 【答案】C 【分析】根据图2中U0随R1的增大而减小可得A选项正确；图2中的图象经过点（30，4），可得选项B正确；把m＝95代入图三可得R1为50Ω，而U0＝3V时，对应的是50Ω，故C错误；根据图三可得R1随m的增大而减小，所以求m的最大值，找到R1的最小值10代入即可求得最大该电子体重秤可称的最大质量． 【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小， ∴在一定范围内，U0越大，R1越小，故A正确，不符合题意； ∵图2中的图象经过点（30，4）， ∴当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω，故B正确，不符合题意； ∵当m＝95时，R1＝﹣2m+240＝50Ω， 而U0＝3V时，对应的是50Ω， ∴踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V，故C错误，符合题意； ∵R1＝﹣2m+240， ∴R1随m的增大而减小． ∵R1的最小值为10， ∴m的最大值为115， ∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式练2】　（2025秋•藁城区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当ρ≥1时，h≥20 B．当ρ＝2时，h＝40 C．当0＜h≤25时，ρ≥0.8 D．当0＜ρ≤1时，h≤20 【答案】C 【分析】易得反比例函数的解析式为：h，进而结合函数图象和所给的值或者范围判断各个选项是否正确即可． 【解答】解：观察函数图象可得：当ρ≥1时，所得函数图象在ρ＝1及ρ＝1的右边，此时h≤20，故A错误，不符合题意； 设h，因为经过点（1，20），所以h，当ρ＝2时，h＝10，故B错误，不符合题意； 当h＝25时，ρ＝0.8，所以当0＜h≤25时，ρ≥0.8，故C正确，符合题意； 当ρ＝1时，h＝20，所以当0＜ρ≤1时，h≥20，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式练3】　（2024•昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 12 10 … 猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为　　 ． 【答案】 【分析】观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； 【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设y（k≠0）， 把x＝10，y＝30代入得：k＝300 ∴y， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为：y． 故答案为：y． 题型03 反比例函数在实际生活中的应用 典型例题 　（2025秋•官渡区期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y米与其两腿迈出的步长之差x厘米（x＞0）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：典例 03 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ （3）若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差x的取值范围． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为y； （2）当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y，解方程即可得到结论； （2）把x＝0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y， 由图象可知，反比例函数过点（7，2）， ∴7 ∴k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为y； （2）当x＝0.5时，y28， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）当y≥70时，即70， ∴x≤0.2， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•海门区期末）区政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天可运送土石方104m3，公司完成全部运输任务需要多长时间？ （3）若公司以（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少增加多少辆卡车？ 【答案】（1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系为； （2）公司完成全部运输任务需要100天； （3）公司至少增加20辆卡车． 【分析】（1）由总量＝vt，求出v即可； （2）把v的值代入计算即可求出t的值； （3）设需要增加a辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为100m3，根据题意列式求解即可． 【解答】解：（1）∵vt＝106， ∴， 即运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系为； （2）当v＝104时，t100（天）， 答：公司完成全部运输任务需要100天； （3）每辆卡车每天运送土石方， 设公司增加x辆卡车， 由题意得：40×104+50×100（100+x）≥106， 解得：x≥20， ∴公司至少增加20辆卡车． 【变式练2】　（2025秋•惠州期末）某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： （1）分别求出0≤x≤m和m＜x≤b时，y关于x的函数表达式（需先推导m的值）． （2）计算图中b的数值． （3）景区开放时间为8：00，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（8：00前可操作）．如果工作人员在7：58接通电源，第一批游客预计9：10到达休息室，请问他们能否喝到32℃～48℃之间的温水？ 【答案】（1）y； （2）b＝20； （3）工作人员在7：58接通电源，第一批游客预计9：10到达休息室时他们能喝到32℃～48℃之间的温水． 【分析】（1）先求出m，再分段求出函数解析式； （2）把y＝25代入解析式求出b的值； （3）根据函数周期性，再把y＝32和y＝48代入反比例函数解析式求出x的取值范围，再判定即可． 【解答】解：（1）∵某饮水机，开机加热时水温每分钟上升15℃， ∴水温从25℃加热到100℃，需要（100﹣25）÷15＝5（min）， ∴m＝5， 当0≤x≤5时，y关于x的函数表达式y＝kx+e， 把（0，25）和（5，100）代入解析式得： ， 解得， ∴y＝15x+25； 水温下降过程中，设y与x的函数关系式是y， 把（5，100）代入解析式得：a＝100×5＝500， ∴水温下降过程中，设y与x的函数关系式是y； ∴y； （2）把y＝25代入y得：25， 解得x＝20， ∴b＝20； （3）由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟，∴9：10的水温与20分钟前的水温相同，即8：50，以此类推，水温相同的时刻有8：30，8：10，7：50，将y＝32代入反比例函数的表达式得，32，解得，x15.625；将y＝48代入反比例函数的表达式，得，48，解得，x10.417， 由图象可知，在第一象限，反比例函数y随x的增大而减小，∴当x时，32≤y≤48，根据题意，在该范围内取整为11≤x≤15，∴为了让游客喝到温水，需提前11分钟到15分钟开始加热， ∴工作人员接通电源时间为7：55﹣7：59， ∴工作人员在7：58接通电源，第一批游客预计9：10到达休息室时他们能喝到32℃～48℃之间的温水． 【变式练3】　（2025秋•厦门期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某苹果园计划租用某品牌苹果采摘机器人，为实现利益最大化，将人工采摘和机器人采摘两种方式进行对比，相关信息如下： ①人工采摘：一名工人的工资为n元/h（n≥25），每人的采摘效率约为akg/h，采摘和转运过程中，约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖； ②机器人采摘：一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为（2n﹣10）元/h，每台采摘机器人的采摘效率约为4akg/h，采摘和转运过程中，约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖．该果园占地约10亩，每亩苹果产量约3000kg，采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售． （1）若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务，判断该名工人的采摘效率a与所需的采摘时间t是否成反比例关系？并说明理由； （2）当a＝100时，果园是否有必要用机器人采摘苹果？并说明理由． 【答案】（1）a与t成反比例关系，理由如下： 由题意得：at＝3000， ∴a， ∵3000是常数，且3000≠0， ∴a与t成反比例关系； （2）果园有必要用机器人采摘苹果，理由： 当a＝100时，一名工人采摘一亩地所需时间t30（小时）， ∴工人工资为30n元，可售卖的苹果为3000×（1﹣1%）＝ 3000×0.99＝2970（kg）， 则人工采摘的利润为2970×6﹣30n＝17820﹣30n（元）； 一台采摘机器人采摘一亩地所需时间为：30007.5（小时）， 机器人费用为7.5×（2n﹣10）＝15n﹣75（元）， 可售卖的苹果为3000×（1﹣3%）＝ 3000×0.97＝2910（kg）， 则机器人采摘的利润为2910×6﹣（15n﹣75）＝17460﹣15n+75＝17535﹣15n（元）； 利润差：（17535﹣15n）﹣（17820一30n）＝15n﹣285， ∵n≥25， ∴15n﹣285≥15×25﹣285＝90＞0， ∴果园有必要用机器人采摘苹果． 【分析】（1）根据at＝3000得出a与t的函数关系，从而可以判断； （2）求出a＝100时，机器人采摘1亩地苹果的利润与工人采摘1亩地的苹果的利润之差大于0，从而得出结论． 【解答】解：（1）a与t成反比例关系，理由如下： 由题意得：at＝3000， ∴a， ∵3000是常数，且3000≠0， ∴a与t成反比例关系； （2）果园有必要用机器人采摘苹果，理由： 当a＝100时，一名工人采摘一亩地所需时间t30（小时）， ∴工人工资为30n元，可售卖的苹果为3000×（1﹣1%）＝ 3000×0.99＝2970（kg）， 则人工采摘的利润为2970×6﹣30n＝17820﹣30n（元）； 一台采摘机器人采摘一亩地所需时间为：30007.5（小时）， 机器人费用为7.5×（2n﹣10）＝15n﹣75（元）， 可售卖的苹果为3000×（1﹣3%）＝ 3000×0.97＝2910（kg）， 则机器人采摘的利润为2910×6﹣（15n﹣75）＝17460﹣15n+75＝17535﹣15n（元）； 利润差：（17535﹣15n）﹣（17820一30n）＝15n﹣285， ∵n≥25， ∴15n﹣285≥15×25﹣285＝90＞0， ∴果园有必要用机器人采摘苹果． 学科网（北京）股份有限公司 $