27.2.1 相似三角形的判定 讲义2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦相似三角形的判定核心知识点，系统梳理相似三角形定义、平行线分线段成比例基本事实及推论，明确4个判定定理（含直角三角形特殊判定），通过对比全等与相似关系、区分有序无序表示法构建知识支架，衔接前后知识脉络。 资料以“建体系-新知廊-求甚解-练题型”为框架，特色在于分层设计题型，从基础作图到圆与函数综合应用，如尺规作图题培养几何直观，函数综合题强化模型意识，典型例题配变式练习，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

27.2.1 相似三角形的判定 目录 题型01 平行线分线段成比例 3 题型02 相似三角形的作图问题 6 题型03 证明两个三角形相似 10 题型04 相似三角形与圆综合 13 题型05 相似三角形与函数综合 18 建体系 新知廊 知识点1： 相似三角形 1．相似三角形：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的表示方法： 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 知识点2： 平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2．平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论： ①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． ②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． ③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点3： 相似三角形的判定 （1）①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． ③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． （2）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 求甚解 1．相似三角形常见的两种表示方法的区别 方法 有序表示法 无序表示法 书写格式 △ABC∽△DEF △ABC与△DEF相似 注意事项 把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 两三角形的顶点没有明确对应关系，需要分类讨论它们之间的对应关系 2．三角形全等是三角形相似的特殊情况． 3．证明两个三角形相似的基本思路 证明两个三角形相似， （1）若已知条件中有平行线，则一般利用平行线直接判定两个三角形相似． （2）若已知一对等角，则可证另一对等角，或夹这对等角的两边成比例． （3）若已知两边成比例，则可证这两边的夹角相等，或三边成比例． 练题型 题型01 平行线分线段成比例 典型例题 　（2025秋•莎车县期末）已知l1∥l2∥l3，，若DF＝10，则DE的长为（　　）典例 01 A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，即可求解． 【解答】解：由题意得 ， ∵， ∴， 若DF＝10，则． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•永定区期末）如图，AD∥EF∥BC，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由AD∥EF∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，，，进而可得出，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵AD∥EF∥BC， ∴，（B选项），（C选项）， ∴（A选项）， ∴不一定成立的是． 故选：D． 【变式练2】　（2025秋•周口期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与它们分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝2，DE＝2，则DF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由平行得到，先求出EF，即可求解DF． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴（平行线分线段成比例的性质）， ∵AB＝1，BC＝2，DE＝2， ∴， ∴EF＝4， ∴DF＝DE+EF＝2+4＝6， 则DF的长为6， 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•商水县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为DE∥BC，所以，已知AD＝2，DB＝3，代入即可求． 【解答】解：∵DE∥BC，AD＝2，DB＝3， ∴， ∴． 故选：A． 题型02 相似三角形的作图问题 典型例题 　（2025秋•藁城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，点D在边AC上，用尺规作图在AB上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则下列尺规作图错误的是（　　）典例 02 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案． 【解答】解：A．由作图可得DE是AC的垂线， ∵DE⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ACB． 故选项A不符合题意； B．由作图可得∠ADE＝∠B， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 故选项B不符合题意； C．由作图可得AD是圆的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 故选项C不符合题意； D．其作图无法使△ADE与△ABC相似， 故选项D符合题意， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•漳浦县期中）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，△ABC与△AEF不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【解答】解：A、由作图可知，E、F分别为AB、AC中点， ∴EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF，故本选项不符合题意； B、由作图可知，BF平分∠ABC，点E在BF的垂直平分线上， ∴∠ABF＝∠CBF，BE＝FE， ∴∠ABF＝∠EFB， ∴∠CBF＝∠EFB， ∴EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF，故本选项不符合题意； C、由作图可知，∠ABC＝∠AEF， ∴EF∥BC， ∴△ABC∽△AEF，故本选项不符合题意； D、由作图知，CE、BF是△ABC的角平分线，不能说明△ABC∽△AEF，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式练2】　（2025秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（　　） A．AD＝BD B．∠A＝∠ACD C．△ACD∽△CBD D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知DE垂直平分AC， ∴AE＝CEAC，故D正确，DE⊥AC，AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，故B正确， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥BC， ∴AD＝BD，故A正确， ∴CD＝AD＝BD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， 但无法证明△ACD∽△CBD，故C错误， 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•封丘县校级期末）如图，△ABC中，∠BCA＝2∠A． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠BCA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边AB交于点D，求证：△BCD∽△BAC． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）利用基本作图作∠BCA的平分线即可； （2）利用角平分线定义结合已知可得∠A＝∠BCD，结合∠B＝∠B即可证明结论． 【解答】解：（1）∠BCA的平分线CD，如图即为所求； （2）由作图知：， 又∵△ABC中，∠BCA＝2∠A． ∴∠A＝∠BCD， 又∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC． 题型03 证明两个三角形相似 典型例题 　（2025秋•莎车县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：△BOC∽△DOA．典例 03 【答案】在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O， ∴∠OCB＝∠OAD，∠OBC＝∠ODA， ∴△BOC∽△DOA． 【分析】根据AD∥BC得到∠OBC＝∠ODA，∠OCB＝∠OAD，即可证明△BOC∽△DOA． 【解答】证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O， ∴∠OCB＝∠OAD，∠OBC＝∠ODA， ∴△BOC∽△DOA． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•宁德期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠EDB+∠C＝180°，求证：△ABC∽△AED． 【答案】∵∠EDB+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠EDB， ∵D，E分别是AB，AC上的点， ∴∠ADE＝180°﹣∠EDB， ∴∠C＝∠ADE， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED． 【分析】由∠EDB+∠C＝180°，得∠C＝180°﹣∠EDB，因为∠ADE＝180°﹣∠EDB，所以∠C＝∠ADE，而∠A＝∠A，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED． 【解答】证明：∵∠EDB+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠EDB， ∵D，E分别是AB，AC上的点， ∴∠ADE＝180°﹣∠EDB， ∴∠C＝∠ADE， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED． 【变式练2】　（2025秋•志丹县期末）如图，∠BAD＝∠CAE，，求证：△ABC∽△ADE． 【答案】∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵， ∴△ABC∽△ADE． 【分析】首先根据∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠DAE，再根据即可求证△ABC∽△ADE． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵， ∴△ABC∽△ADE． 【变式练3】　（2025秋•界首市期末）如图，点C，D在线段AB上，△CDP是等边三角形，且AC＝2，CD＝3，．求证：△ACP∽△PDB． 【答案】∵△CDP是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD＝3，∠PCD＝∠PDC＝60°， ∴∠ACP＝180°﹣∠PCD＝120°，∠PDB＝180°﹣∠PDC＝120°， ∴∠ACP＝∠PDB； ∵， ∴， ∴△ACP∽△PDB． 【分析】根据等边三角形的性质可得PC＝PD＝CD＝3，∠PCD＝∠PDC＝60°，则可证明∠ACP＝∠PDB＝120°，，据此可证明结论． 【解答】证明：∵△CDP是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD＝3，∠PCD＝∠PDC＝60°， ∴∠ACP＝180°﹣∠PCD＝120°，∠PDB＝180°﹣∠PDC＝120°， ∴∠ACP＝∠PDB； ∵， ∴， ∴△ACP∽△PDB． 题型04 相似三角形与圆综合 典型例题 　（2025秋•泰州期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝18°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜90），当α＝　　 时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．典例 04 【答案】54或72． 【分析】分DE⊥AB时、DE⊥BC时和DE⊥AC时三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， 分三种情况讨论， 当DE⊥BC时，如下图，设DE与BC交于点F， 可有∠BFO＝∠BCA＝90°， ∵∠ABC＝∠OBF＝18°， ∴△ABC∽△OBF，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴； 当DE⊥AB时，如下图，设DE与BC交于点G， 可有∠BOG＝∠BCA＝90°， ∵∠ABC＝∠GBO＝18°， ∴△ABC∽△GBO，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝54°； 当DE⊥AC时，如下图，设DE与AC交于点H， 可有∠OHA＝∠BCA＝90°， ∵∠CAB＝∠HAO， ∴△ABC∽△AOH，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴， ∴∠COD＝180°﹣∠COE＝162°＞90°，不符合题意，舍去． 综上所述，当α＝54或72时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似． 故答案为：54或72． 即学即练 【变式练1】　（2021秋•海淀区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　△CBE，△BDA ． 【答案】△CBE，△BDA． 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠DAE＝∠DBC， ∴∠DAE＝∠ABD， ∵∠ADE＝∠ADB， ∴△ADE∽△BDA， ∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， 故答案为：△CBE，△BDA． 【变式练2】　（2020秋•朝阳区校级期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于点D，连接CD，OD，BD．下列结论中正确的是（　　） A．AC∥OD B．CE＝OE C．△ODE∽△ADO D．AC＝2CD 【答案】A 【分析】A、根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD＝∠ADO即可； B、过点E作EF⊥AC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE＝EF，再根据直角三角形斜边大于直角边可证； C、三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO； D、根据圆周角，弧，弦的关系解答． 【解答】解：A、∵AB是半圆直径， ∴AO＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD＝∠DAO∠CAB， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， 故本选项符合题意． B、过点E作EF⊥AC， ∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴OE＝EF， 在Rt△EFC中，CE＞EF， ∴CE＞OE， 故本选项不符合题意． C、∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO＝∠EDO， ∵∠COD＝2∠CAD＝2∠OAD， ∴∠DOE≠∠DAO， ∴不能证明△ODE和△ADO相似， 故本选项不符合题意． D、如图，连接CB，DB． 由题意知，AC＝BC． 又∵CD+BD＞BC，CD＝BD， ∴AC＜2CD． 故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式练3】　（2020•沁阳市二模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD•AB＝CD•BD D．AD2＝BD•CD 【答案】C 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A解析判断；根据圆周角定理和有两组角对应相等的两个三角形相似可对B解析判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D解析判断． 【解答】解：A、∵∠ACD＝∠DAB，而∠ADC＝∠BDA，∴△DAC∽△DBA，所以A选项的添加条件正确； B、∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E，而∠E＝∠B，∴∠DAC＝∠B，∴△DAC∽△DBA，所以B选项的添加条件正确； C、∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA：DC＝DB：DA，即AD2＝DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以C选项的添加条件不正确； D、∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA：DC＝DB：DA，即AD2＝DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以D选项的添加条件正确． 故选：C． 题型05 相似三角形与函数综合 典型例题 　（2025秋•义乌市月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．典例 05 （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【答案】（1）； （2）当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 【分析】（1）先根据题意得到AP＝xcm，BQ＝2xcm，则BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm，然后分0≤x≤6和6＜x≤8两种情况，分别根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分△QBP∽△BCD和△PBQ∽△BCD两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 当点Q到达点C时，x＝12÷2＝6，当点P到达点B时，x＝8， ∴当0≤x≤6时，； 当6＜x≤8时，； 即； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∵△BPQ与△BDC相似， ∴分情况讨论： ①当∠BPQ＝∠CDB时，有△QBP∽△BCD， ∴，即， 解得：； ②当∠BPQ＝∠CBD时，有△PBQ∽△BCD， ∴，即， 解得：x＝2， ∴当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•济南月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【答案】（1）y＝﹣x2+8x（0≤x≤6）； （2）x＝2或 x． 【分析】（1）先根据题意得到AP＝x，BQ＝2x，则PB＝8﹣x，然后根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分△QBP∽△BCD和△PBQ∽△BCD两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得AB＝8，AP＝x，BQ＝2x， ∴PB＝8﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴， ∴y＝﹣x2+8x（0≤x≤6）； （2）∵△PBQ和△BDC相似，∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∴△PBQ∽△BCD，△QBP∽△BCD， ∴或． ∵PB＝8﹣x，BQ＝2x，AB＝8，BC＝12，CD＝8， ∴或， 解得x＝2或， 当x＝2或时，△PBQ和△BDC相似． 【变式练2】　（2022秋•南海区月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF＝90°，EF交射线BC于点F设BE＝x，△BED的面积为y． （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积． 【答案】（1）yx（0＜x或5＜x≤10）； （2）或． 【分析】（1）根据∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根据BC的长和∠B的正弦值，表示出BD边上的高，再根据三角形BED的面积公式得出y，x的函数关系式； （2）若两三角形相似，则∠BEF＝∠BDF．求△BED的面积就需要知道底边和高，关键是求出BE的长，可通过构建相等的线段，来得出关于x的方程求解． 分别过E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根据∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE＝∠FEB＝∠FDE．因此可得出EM＝EH，可根据EM，EH的不同的表示方法，来得出含x的等式，从而求出x的值． 也就可以求出三角形BED的面积了． ∠BEF为锐角和钝角的不同情况时，表示线段EM的式子会略有不同，但是思路是一致的，不要丢掉任何一种情况． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴CD＝DB＝4． 如图1，过点E作EH⊥CB于H． 则可求得EHx． ∴y4xx（0＜x或5＜x≤10）． 即yx（0＜x或5＜x≤10）； （2）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况． ①如图2，当∠BEF为锐角时， 由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF＝∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF＝∠BDE． 过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H． 根据等角的余角相等，可证得∠MDE＝∠HDE， ∴EM＝EH． 又EM＝MB﹣EBx， 由（1）知：EHx， ∴xx， ∴x＝2． ∴y2． ②如图3，当∠BEF为钝角时， 同理可求得xx， ∴x＝8． ∴y8． 所以，△BED的面积是或． 【变式练3】　（2018秋•仁寿县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么： （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式； （2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似． 【答案】（1）yOP•OQt•（6﹣t）t2+3t（0≤t≤6 ）； （2）4或2． 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论； （2）分△POQ∽△AOB与△POQ∽△BOA两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动， ∴OQ＝（6﹣t）厘米，OP＝t厘米， ∴yOP•OQt•（6﹣t）t2+3t（0≤t≤6 ）； （2）①当△POQ∽△AOB时，，即， 解得t＝4， ②当△POQ∽△BOA时，，即， 解得t＝2， ∵0≤t≤6， ∴t＝4和t＝2均符合题意， ∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.1 相似三角形的判定 目录 题型01 平行线分线段成比例 3 题型02 相似三角形的作图问题 5 题型03 证明两个三角形相似 7 题型04 相似三角形与圆综合 9 题型05 相似三角形与函数综合 12 建体系 新知廊 知识点1： 相似三角形 1．相似三角形：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的表示方法： 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 知识点2： 平行线分线段成比例 1．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2．平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论： ①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． ②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． ③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点3： 相似三角形的判定 （1）①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． ③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． （2）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 求甚解 1．相似三角形常见的两种表示方法的区别 方法 有序表示法 无序表示法 书写格式 △ABC∽△DEF △ABC与△DEF相似 注意事项 把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 两三角形的顶点没有明确对应关系，需要分类讨论它们之间的对应关系 2．三角形全等是三角形相似的特殊情况． 3．证明两个三角形相似的基本思路 证明两个三角形相似， （1）若已知条件中有平行线，则一般利用平行线直接判定两个三角形相似． （2）若已知一对等角，则可证另一对等角，或夹这对等角的两边成比例． （3）若已知两边成比例，则可证这两边的夹角相等，或三边成比例． 练题型 题型01 平行线分线段成比例 典型例题 　（2025秋•莎车县期末）已知l1∥l2∥l3，，若DF＝10，则DE的长为（　　）典例 01 A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，即可求解． 【解答】解：由题意得 ， ∵， ∴， 若DF＝10，则． 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•永定区期末）如图，AD∥EF∥BC，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2025秋•周口期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与它们分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝2，DE＝2，则DF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式练3】　（2025秋•商水县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型02 相似三角形的作图问题 典型例题 　（2025秋•藁城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，点D在边AC上，用尺规作图在AB上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则下列尺规作图错误的是（　　）典例 02 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案． 【解答】解：A．由作图可得DE是AC的垂线， ∵DE⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ACB． 故选项A不符合题意； B．由作图可得∠ADE＝∠B， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 故选项B不符合题意； C．由作图可得AD是圆的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 故选项C不符合题意； D．其作图无法使△ADE与△ABC相似， 故选项D符合题意， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•漳浦县期中）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，△ABC与△AEF不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2025秋•长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（　　） A．AD＝BD B．∠A＝∠ACD C．△ACD∽△CBD D． 【变式练3】　（2024秋•封丘县校级期末）如图，△ABC中，∠BCA＝2∠A． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠BCA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边AB交于点D，求证：△BCD∽△BAC． 题型03 证明两个三角形相似 典型例题 　（2025秋•莎车县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：△BOC∽△DOA．典例 03 【答案】在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O， ∴∠OCB＝∠OAD，∠OBC＝∠ODA， ∴△BOC∽△DOA． 【分析】根据AD∥BC得到∠OBC＝∠ODA，∠OCB＝∠OAD，即可证明△BOC∽△DOA． 【解答】证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O， ∴∠OCB＝∠OAD，∠OBC＝∠ODA， ∴△BOC∽△DOA． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•宁德期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠EDB+∠C＝180°，求证：△ABC∽△AED． 【变式练2】　（2025秋•志丹县期末）如图，∠BAD＝∠CAE，，求证：△ABC∽△ADE． 【变式练3】　（2025秋•界首市期末）如图，点C，D在线段AB上，△CDP是等边三角形，且AC＝2，CD＝3，．求证：△ACP∽△PDB． 题型04 相似三角形与圆综合 典型例题 　（2025秋•泰州期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝18°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜90），当α＝　　 时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．典例 04 【答案】54或72． 【分析】分DE⊥AB时、DE⊥BC时和DE⊥AC时三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， 分三种情况讨论， 当DE⊥BC时，如下图，设DE与BC交于点F， 可有∠BFO＝∠BCA＝90°， ∵∠ABC＝∠OBF＝18°， ∴△ABC∽△OBF，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴； 当DE⊥AB时，如下图，设DE与BC交于点G， 可有∠BOG＝∠BCA＝90°， ∵∠ABC＝∠GBO＝18°， ∴△ABC∽△GBO，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝54°； 当DE⊥AC时，如下图，设DE与AC交于点H， 可有∠OHA＝∠BCA＝90°， ∵∠CAB＝∠HAO， ∴△ABC∽△AOH，即直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似， 连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝18°， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝36°， ∴， ∴∠COD＝180°﹣∠COE＝162°＞90°，不符合题意，舍去． 综上所述，当α＝54或72时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似． 故答案为：54或72． 即学即练 【变式练1】　（2021秋•海淀区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　 ． 【变式练2】　（2020秋•朝阳区校级期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于点D，连接CD，OD，BD．下列结论中正确的是（　　） A．AC∥OD B．CE＝OE C．△ODE∽△ADO D．AC＝2CD 【变式练3】　（2020•沁阳市二模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD•AB＝CD•BD D．AD2＝BD•CD 题型05 相似三角形与函数综合 典型例题 　（2025秋•义乌市月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．典例 05 （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【答案】（1）； （2）当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 【分析】（1）先根据题意得到AP＝xcm，BQ＝2xcm，则BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm，然后分0≤x≤6和6＜x≤8两种情况，分别根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分△QBP∽△BCD和△PBQ∽△BCD两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 当点Q到达点C时，x＝12÷2＝6，当点P到达点B时，x＝8， ∴当0≤x≤6时，； 当6＜x≤8时，； 即； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∵△BPQ与△BDC相似， ∴分情况讨论： ①当∠BPQ＝∠CDB时，有△QBP∽△BCD， ∴，即， 解得：； ②当∠BPQ＝∠CBD时，有△PBQ∽△BCD， ∴，即， 解得：x＝2， ∴当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•济南月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【变式练2】　（2022秋•南海区月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF＝90°，EF交射线BC于点F设BE＝x，△BED的面积为y． （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积． 【变式练3】　（2018秋•仁寿县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么： （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数关系式； （2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似． 学科网（北京）股份有限公司 $