专题03：平面向量基本定理及坐标表示必考题型【13个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题03：平面向量基本定理及坐标表示必考题型】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的基本定理 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 2．用平面向量的基底表示平面向量 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 【解题方法点拨】 ﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为． ﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 【知识点的认识】 1、平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示： 若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y） 4．平面向量加减法的坐标运算 【知识点的认识】 ﹣向量加法：如果和，则． ﹣向量减法：如果和，则． 【解题方法点拨】 ﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果． ﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题． 5．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 【知识点的认识】 ﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为． ﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解． 【解题方法点拨】 ﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果． ﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题． 6．平面向量数量积的坐标运算 【知识点的认识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做 即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/7 13:33:56；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：用基底表示向量】 【练方法】 知识梳理 1.平面向量基本定理：若是平面内不共线的一组基底，则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数，使得 2.核心依据：向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，数乘运算的伸缩性 3.关键性质：基底选定后，向量的线性表示系数唯一 解题思路 1.定基底：明确题目给定的不共线基底 2.拆向量：将目标向量沿基底方向拆解，利用“首尾相接”的三角形法则，逐步转化为基底的和差形式 3.化系数：结合数乘运算，将分线段向量表示为基底的倍数，整理得到的标准形式 名师点睛 拆解时优先构造平行四边形或三角形，借助图形的中点、分点性质简化系数推导 若出现反向向量，直接添加负号，避免方向错误 复杂图形可通过“回路法”，用闭合向量链辅助拆解 （24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·福建漳州·月考）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津·期中）中，为边中点，,,,则__________（用,表示），若,,则__________小试牛刀2 （24-25高一下·河南·月考）在平行四边形中，，，记，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：向量共线求参数】 【练方法】知识梳理 1.向量共线定理：非零向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.基底形式共线条件：若，（不共线），则 解题思路 1.表向量：将两个共线向量用同一组基底表示，得到系数表达式 2.列等式：根据共线定理或基底共线条件，列出关于参数的方程（组） 3.解方程：求解方程，得到参数值，验证零向量特殊情况 名师点睛 若其中一个向量为零向量，需单独验证，零向量与任意向量共线 基底形式下的“交叉相乘相等”是求参数的快捷方法，无需引入 注意参数的取值是否会导致基底共线，若有则需舍去 （24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ）经典例题1例题 A．3 B． C．9 D． （24-25高一下·浙江湖州·月考）已知，，且与的夹角.经典例题2例题 (1)求； (2)若与平行，求的值. （24-25高一下·广东·月考）已知为一组基底向量，其中．小试牛刀1 (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． （24-25高三上·河北沧州·月考）在中，点在边上，且，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．3 （24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，．小试牛刀3 (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【题型3：证明点共线/平行关系】 【练方法】 知识梳理 1.点共线判定：三点共线与共线且有公共点 2.直线平行判定：两直线平行其方向向量共线且直线无公共点 3.核心工具：向量共线定理、平面向量基本定理 解题思路 1.取向量：点共线取连接公共点的两个向量，平行问题取两直线的方向向量 2.证共线：将向量用基底表示，通过系数成比例或共线定理证明向量共线 3.补条件：点共线强调“有公共点”，平行问题强调“无公共点”，完成证明 名师点睛 证明点共线时，“有公共点”是必备条件，仅证向量共线不能直接得出结论 平行问题中，若向量共线但直线有公共点，则两直线重合，需注意区分“平行”与“重合” 优先选择图形中已知的边作为基底，简化向量表示和共线证明 （24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且.经典例题1例题 (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. （23-24高一下·重庆·期末）如图，在中，经典例题2例题 (1)用 表示； (2)求证： B、T、E三点共线； (3)若 求. （22-23高一下·山东泰安·月考）如图，在中，.设.小试牛刀1    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. （22-23高一下·江苏连云港·期末）在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点.小试牛刀2 (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. （22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.小试牛刀3 (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【题型4：向量有关概念的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.向量坐标定义：在平面直角坐标系中，取与轴、轴同向的单位向量为基底，若，则，分别为向量的横、纵坐标 2.点与向量的坐标关系：若点，，则 3.特殊向量坐标：零向量，单位向量， 解题思路 1.定原点：明确平面直角坐标系的原点位置 2.写坐标：点的坐标直接读取，向量坐标通过“终点减起点”计算 3.验概念：结合坐标验证向量的模、方向等概念，如单位向量需满足 名师点睛 向量坐标与起点位置无关，仅由终点与起点的坐标差决定 计算时，务必遵循“终点减起点”，避免坐标顺序颠倒 若向量起点在原点，其坐标与终点坐标完全一致 （23-24高一下·陕西西安·月考）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一下·四川攀枝花·月考）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高一下·北京顺义·期中）已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为______．小试牛刀1 （25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____.小试牛刀2 （24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.坐标运算公式：设，， 加法： 减法： 数乘： 2.运算律：坐标运算满足向量线性运算的交换律、结合律、分配律 解题思路 1.写坐标：明确参与运算的向量的坐标表达式 2.套公式：根据线性运算类型，代入对应的坐标运算公式 3.化简果：整理计算结果，得到新向量的坐标 名师点睛 坐标运算本质是实数的四则运算，计算时注意符号和系数 多个向量线性运算可分步进行，先算加减，再算数乘，避免出错 若向量以点的形式给出，先转化为向量坐标再运算 （25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值．经典例题1例题 （2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·甘肃临夏·期末）在扇形中，，P是上一点，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则_____.小试牛刀2 （25-26高一上·北京房山·期末）设向量与不共线.小试牛刀3 (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 【题型6：向量平行垂直的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.平行坐标条件：，（），则 2.垂直坐标条件：，，则 3.特殊情况：零向量与任意向量平行且垂直，需单独验证 解题思路 1.写坐标：将两个向量用坐标形式表示 2.选条件：平行用“交叉相乘相等”，垂直用“横纵相乘和为零” 3.列方程：代入坐标条件，列出关于参数或变量的方程（组） 4.求解：解方程（组），得到结果并验证特殊情况 名师点睛 平行的坐标条件可记为“”，避免符号错误 垂直的坐标条件与数量积坐标运算一致，本质是数量积为零 若含参数，需验证参数取值是否会导致向量为零向量，避免漏解 （云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题）已知向量，，且，则______．经典例题1例题 （25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ）经典例题2例题 A． B．3 C． D． （25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．小试牛刀1 (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． （24-25高一上·天津滨海新区·期末）已知平面直角坐标系中，，，．小试牛刀2 (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，.小试牛刀3 (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【题型7：数量积坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 1.数量积坐标公式：，，则 2.模长坐标公式：， 3.夹角坐标公式：（） 解题思路 1.算数量积：代入坐标公式计算 2.算模长：分别计算两个向量的模长和 3.求目标：求模长直接用公式，求夹角代入夹角公式计算，再结合范围确定角度 名师点睛 求模长时，可先算，再开平方，避免根式运算错误 求夹角时，先判断的符号，确定夹角是锐角、钝角或直角，再求具体角度 若数量积为零，直接得出夹角为，无需计算模长 （25-26高一下·全国·课后作业）设，，又，，若与夹角为，求实数m的值．经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知向量，，，其中，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．在上的投影向量为 （25-26高三上·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·河南开封·期末）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心性质：平面向量基本定理中，基底表示的系数具有唯一性，即若（不共线），则且 2.常见形式：已知，且，求参数 解题思路 1.统一基底：将等式两边的向量用同一组基底表示 2.对比系数：根据系数唯一性，列出关于参数的方程组 3.解方程组：求解方程组，得到参数值，验证基底不共线条件 名师点睛 系数唯一性是解题的核心，前提必须是基底“不共线”，若基底共线则结论不成立 若等式中含多个参数，需结合其他条件（如共线、垂直）补充方程 复杂表达式可先展开化简，再对比系数，避免遗漏项 （24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．经典例题1例题 （23-24高一下·山西·期末）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则_______．经典例题2例题 （23-24高一下·广东中山·月考）如图，在中，，点是线段上一点．小试牛刀1    (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值； (3)若，求的最小值． （24-25高一下·四川达州·月考）如图，在中，，，与交于O，若，小试牛刀2    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． （24-25高一下·山东潍坊·月考）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点，小试牛刀3    (1)若，求的值； (2)若，，，求与夹角的余弦值. 【题型2：平面向量共线定理及推论】 【练方法】 知识梳理 1.核心推论：若，则三点共线的充要条件是 2.推广推论：若点在的边上，且，则 3.共线定理延伸：若，则存在唯一实数，使得，可推广到多向量线性组合的共线问题 解题思路 1.识别模型：判断题目是否符合“三点共线”或“向量线性组合共线”的推论模型 2.套推论：三点共线直接用“系数和为1”，分点问题用分点推论 3.列方程：结合推论列出关于参数的方程，求解参数或证明结论 名师点睛 “系数和为1”是三点共线的快速判定方法，在选择填空题中可直接使用 分点推论中，为分点比，注意分子分母的对应关系，避免颠倒 若推论不适用，回归共线定理，用基底表示向量后列方程求解 （24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．18 B．16 C．12 D．8 （24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 （24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ．小试牛刀1 (1)求的长； (2)若 求的值； （24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·湖北武汉·月考）在中，，，与交于点M，设，小试牛刀3 (1)用基底表示向量； (2)若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值. 【题型3：建立坐标系求数量积】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想：将几何问题坐标化，利用坐标运算简化数量积计算 2.建系原则：优先选择图形中的直角、中点、对称点为原点，使向量坐标尽可能简洁 3.工具：数量积坐标公式、向量坐标的线性运算 解题思路 1.建坐标系：根据图形特征，确定原点、坐标轴方向，建立平面直角坐标系 2.写坐标：确定图形中关键点的坐标，进而写出相关向量的坐标 3.算数量积：代入数量积坐标公式，计算目标数量积的值 名师点睛 建系的关键是“简化坐标”，如矩形、直角三角形优先以直角顶点为原点 若图形中有对称轴，可将对称轴作为坐标轴，利用对称性简化坐标 建系后需验证关键点坐标的正确性，这是后续计算的基础 （25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）经典例题1例题    A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 （24-25高一下·广东东莞·月考）在中，，，，，则的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角为，角的平分线交于点．已知，且，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．9 C． D．6 （24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则________.小试牛刀3 【题型4：建立坐标系解决数量积最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法：通过建系将数量积表示为单变量或双变量函数，利用函数性质求最值或范围 2.常见场景：动点在直线、圆、线段上运动，数量积随动点位置变化而变化 3.工具：二次函数最值、三角函数值域、基本不等式、圆的参数方程 解题思路 1.建坐标系：根据图形特征建立合适的平面直角坐标系 2.设坐标：用参数表示动点坐标，进而写出相关向量的坐标 3.表数量积：代入数量积坐标公式，将数量积表示为参数的函数 4.求范围：根据参数的取值范围，利用函数单调性、最值公式或不等式求的范围 名师点睛 动点坐标的参数表示是关键，直线上的动点用一次参数，圆上的动点用三角函数参数 求最值时，优先考虑二次函数的顶点式，或三角函数的有界性 注意参数的几何约束，如动点在线段上，参数需满足区间范围，避免超出可行域 （24-25高一下·江苏徐州·月考）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______.经典例题1例题 （24-25高一下·吉林长春·月考）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.经典例题2例题 (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)求的取值范围. （2025·天津·二模）在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________.小试牛刀1 （24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.小试牛刀2 （24-25高一下·山东青岛·期中）分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：数量积坐标运算与三角函数综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：数量积坐标运算与三角函数的化简、求值、最值、单调性结合 2.核心关联：向量坐标含三角函数式，数量积运算后转化为三角恒等变换问题 3.工具：数量积坐标公式、三角恒等变换公式、三角函数性质 解题思路 1.写坐标：将向量坐标用三角函数式表示 2.算数量积：代入坐标公式，得到数量积的三角函数表达式 3.三角变换：利用和差角、二倍角、辅助角公式化简表达式 4.解问题：结合三角函数的性质，求解求值、最值、单调性等问题 名师点睛 辅助角公式是化简的核心，可将复杂的三角表达式转化为的形式 注意三角函数的定义域，结合向量的几何约束确定的范围 数量积的符号可结合三角函数的符号，判断向量夹角的范围 （2025·湖南·一模）已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（   ）经典例题1例题 A． B．0 C． D． 【多选题】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）经典例题2例题 A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 （24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；小试牛刀1 (1)求函数的解析式； (2)求函数的严格增区间； (3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围. （24-25高一下·江西上饶·月考）已知．小试牛刀2 (1)若，且，求的值； (2)若点共线，求的值． （24-25高一下·四川内江·月考）已知向量，，设函数．小试牛刀3 (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【题型6：数量积坐标运算有关的新定义问题】 【练方法】 知识梳理 1.题型特征：题目给出新的向量运算或数量积相关的新定义，要求结合坐标运算解决问题 2.核心要求：严格遵循新定义的规则，将新定义转化为常规的坐标运算 3.工具：平面向量坐标运算公式、新定义的运算规则 解题思路 1.析定义：拆解新定义的内涵，明确新运算与数量积坐标运算的关系 2.转运算：将新定义的运算转化为常规的向量坐标加减、数乘、数量积运算 3.套公式：代入坐标运算公式，结合新定义规则进行计算或证明 4.验结论：验证结果是否符合新定义的约束条件和题目要求 名师点睛 新定义题型的核心是“读懂定义”，切勿凭固有经验解题 可先举简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题 若新定义涉及多步运算，分步进行，每一步都严格遵循定义规则 （24-25高二下·上海·月考）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离   其 中 （为坐标原点）.经典例题1例题 (1)若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; (2)若点，， 求的最大值. （24-25高三上·江苏盐城·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高二上·广东深圳·月考）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．小试牛刀3 (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测数学试卷）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 4．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 6．（25-26高三上·山东青岛·期末）中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 8．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（　　）    A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 11．（25-26高三上·湖北·月考）如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 12．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 二、填空题 13．（25-26高三上·广东·月考）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 14．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为_____ 15．（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 16．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 18．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则__________. 三、解答题 19．（25-26高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，E为边的中点，P为线段上的动点，设向量，求的最大值． 20．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题03：平面向量基本定理及坐标表示必考题型】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的基本定理 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 2．用平面向量的基底表示平面向量 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使． 2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 【解题方法点拨】 ﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为． ﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 【知识点的认识】 1、平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示： 若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y） 4．平面向量加减法的坐标运算 【知识点的认识】 ﹣向量加法：如果和，则． ﹣向量减法：如果和，则． 【解题方法点拨】 ﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果． ﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题． 5．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 【知识点的认识】 ﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为． ﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解． 【解题方法点拨】 ﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果． ﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题． 6．平面向量数量积的坐标运算 【知识点的认识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做 即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/7 13:33:56；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：用基底表示向量】 【练方法】 知识梳理 1.平面向量基本定理：若是平面内不共线的一组基底，则对该平面内任意向量，存在唯一一对实数，使得 2.核心依据：向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，数乘运算的伸缩性 3.关键性质：基底选定后，向量的线性表示系数唯一 解题思路 1.定基底：明确题目给定的不共线基底 2.拆向量：将目标向量沿基底方向拆解，利用“首尾相接”的三角形法则，逐步转化为基底的和差形式 3.化系数：结合数乘运算，将分线段向量表示为基底的倍数，整理得到的标准形式 名师点睛 拆解时优先构造平行四边形或三角形，借助图形的中点、分点性质简化系数推导 若出现反向向量，直接添加负号，避免方向错误 复杂图形可通过“回路法”，用闭合向量链辅助拆解 （24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C （25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法、减法运算以及数乘向量化简即可. 【详解】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． （25-26高三上·福建漳州·月考）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出. 【详解】由已知， . 故选：C （25-26高三上·天津·期中）中，为边中点，,,,则__________（用,表示），若,,则__________小试牛刀2 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求解空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】 对于第一空，因为,所以,所以. 因为为线段的中点,所以; 对于第二空，因为,所以,即①. ,即,代入①式后，化简可得：. 所以 故答案为：. （24-25高一下·河南·月考）在平行四边形中，，，记，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 【题型2：向量共线求参数】 【练方法】知识梳理 1.向量共线定理：非零向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.基底形式共线条件：若，（不共线），则 解题思路 1.表向量：将两个共线向量用同一组基底表示，得到系数表达式 2.列等式：根据共线定理或基底共线条件，列出关于参数的方程（组） 3.解方程：求解方程，得到参数值，验证零向量特殊情况 名师点睛 若其中一个向量为零向量，需单独验证，零向量与任意向量共线 基底形式下的“交叉相乘相等”是求参数的快捷方法，无需引入 注意参数的取值是否会导致基底共线，若有则需舍去 （24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ）经典例题1例题 A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D （24-25高一下·浙江湖州·月考）已知，，且与的夹角.经典例题2例题 (1)求； (2)若与平行，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量模长计算公式，结合向量数量积计算公式，计算即可； （2）利用向量共线定理求解. 【详解】（1）由题意，， 所以 （2）因为与平行，所以存在实数使得， 则有，解得 所以， （24-25高一下·广东·月考）已知为一组基底向量，其中．小试牛刀1 (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数关系即可. （2）利用给定条件结合不共线建立方程组，求解参数即可. 【详解】（1）因为， 所以由平面向量的加法法则得， 因为，所以， 即，故三点共线. （2）若与共线，则， 得到，而为一组基底向量，则不共线， 得到，解得或. （24-25高三上·河北沧州·月考）在中，点在边上，且，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据三点共线得出，再由向量的线性运算得出. 【详解】三点共线，，解得或（舍去）， ， ， 故选：C. （24-25高一下·甘肃平凉·月考）如图所示，在中，分别是边的中点，，，．小试牛刀3 (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）延长到，使，连接，利用向量的加法结合已知条件即可求解； （2）由（1）结合已知条件用表示，可得，即可证明. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，， ； （2）由（1）知，， ， ， 所以， 所以共线， 又因为有公共点， 所以三点共线. 【题型3：证明点共线/平行关系】 【练方法】 知识梳理 1.点共线判定：三点共线与共线且有公共点 2.直线平行判定：两直线平行其方向向量共线且直线无公共点 3.核心工具：向量共线定理、平面向量基本定理 解题思路 1.取向量：点共线取连接公共点的两个向量，平行问题取两直线的方向向量 2.证共线：将向量用基底表示，通过系数成比例或共线定理证明向量共线 3.补条件：点共线强调“有公共点”，平行问题强调“无公共点”，完成证明 名师点睛 证明点共线时，“有公共点”是必备条件，仅证向量共线不能直接得出结论 平行问题中，若向量共线但直线有公共点，则两直线重合，需注意区分“平行”与“重合” 优先选择图形中已知的边作为基底，简化向量表示和共线证明 （24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且.经典例题1例题 (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算证明共线后即得； （2）用表示各向量，由已知数量积求得，再由向量夹角公式计算． 【详解】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以 ， 所以. 所以 ， 又，， 所以. （23-24高一下·重庆·期末）如图，在中，经典例题2例题 (1)用 表示； (2)求证： B、T、E三点共线； (3)若 求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （2）计算可得，从而得证； （3）根据公式，计算得解. 【详解】（1）根据题意， ； （2）根据题意，， 由（1）可得，又有公共点， 所以B、T、E三点共线； （3）根据题意，， ， ， 则 ， . （22-23高一下·山东泰安·月考）如图，在中，.设.小试牛刀1    (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置. 【答案】(1)， (2)证明见解析，是的中点 【分析】（1）根据向量线性运算求得关于的表达式. （2）根据向量线性运算求得，由此证得三点共线，并确定点的位置. 【详解】（1）依题意，， .- （2）由， 又，所以， ，故三点共线，且是的中点.    （22-23高一下·江苏连云港·期末）在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点.小试牛刀2 (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 【答案】(1) (2)不共线，理由见解析 【分析】（1）根据几何性质用，表示出，然后根据向量的减法法则，即可得出答案； （2）假设三点共线，则有共线，根据向量共线的条件得出方程组，得出方程组无解，假设不正确，即可得出答案. 【详解】（1） 因为分别是的中点， 所以，，. 又，， 所以，， 所以， . （2）由（1）知，，. 假设A，M，N三点共线，则共线， 所以，使得，即， 整理可得，. 因为不共线，所以应有，无解， 所以，假设不成立，所以A，M，N三点不共线. （22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.小试牛刀3 (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意，所以， ① （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 【题型4：向量有关概念的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.向量坐标定义：在平面直角坐标系中，取与轴、轴同向的单位向量为基底，若，则，分别为向量的横、纵坐标 2.点与向量的坐标关系：若点，，则 3.特殊向量坐标：零向量，单位向量， 解题思路 1.定原点：明确平面直角坐标系的原点位置 2.写坐标：点的坐标直接读取，向量坐标通过“终点减起点”计算 3.验概念：结合坐标验证向量的模、方向等概念，如单位向量需满足 名师点睛 向量坐标与起点位置无关，仅由终点与起点的坐标差决定 计算时，务必遵循“终点减起点”，避免坐标顺序颠倒 若向量起点在原点，其坐标与终点坐标完全一致 （23-24高一下·陕西西安·月考）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的运算可得答案. 【详解】因为，点的坐标为， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：A. （23-24高一下·四川攀枝花·月考）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A. （23-24高一下·北京顺义·期中）已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意先确定模长与x轴夹角，进而确定模长与x轴夹角即可求解. 【详解】由题意， 所以与x轴夹角正弦值为，故， 所以由题意与x轴夹角为， 又， 所以. 故答案为：. （25-26高三上·辽宁沈阳·期中）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题设有，，再由向量加法及数量积的运算律求向量的模. 【详解】由题设，，则， 所以 . 故答案为： （24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 【题型5：向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.坐标运算公式：设，， 加法： 减法： 数乘： 2.运算律：坐标运算满足向量线性运算的交换律、结合律、分配律 解题思路 1.写坐标：明确参与运算的向量的坐标表达式 2.套公式：根据线性运算类型，代入对应的坐标运算公式 3.化简果：整理计算结果，得到新向量的坐标 名师点睛 坐标运算本质是实数的四则运算，计算时注意符号和系数 多个向量线性运算可分步进行，先算加减，再算数乘，避免出错 若向量以点的形式给出，先转化为向量坐标再运算 （25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 于是，由点为的中点，得， 因此，解得，所以. （2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【详解】由图可得， 所以，则. 故选：C （25-26高三上·甘肃临夏·期末）在扇形中，，P是上一点，且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，写出向量的坐标，根据坐标运算可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立坐标系， 设扇形半径为1，，则，且， 于是，， 因为，所以， 由，解得，（舍去）. 故选：C    （25-26高三上·新疆·期中）已知，，，若，则_____.小试牛刀2 【答案】0 【分析】根据平面向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为，，，若， 则， 即，解得， 所以. 故答案为：0 （25-26高一上·北京房山·期末）设向量与不共线.小试牛刀3 (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求解，根据向量模的计算公式求解模； （2）根据向量共线定理求解. 【详解】（1），所以； （2）， 因为三点共线，所以，， 即， 又与不共线， 所以，解得， 即实数的值为. 【题型6：向量平行垂直的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 1.平行坐标条件：，（），则 2.垂直坐标条件：，，则 3.特殊情况：零向量与任意向量平行且垂直，需单独验证 解题思路 1.写坐标：将两个向量用坐标形式表示 2.选条件：平行用“交叉相乘相等”，垂直用“横纵相乘和为零” 3.列方程：代入坐标条件，列出关于参数或变量的方程（组） 4.求解：解方程（组），得到结果并验证特殊情况 名师点睛 平行的坐标条件可记为“”，避免符号错误 垂直的坐标条件与数量积坐标运算一致，本质是数量积为零 若含参数，需验证参数取值是否会导致向量为零向量，避免漏解 （云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题）已知向量，，且，则______．经典例题1例题 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． （25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ）经典例题2例题 A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先由向量的平行可得，再由向量的垂直可得，再根据向量的模的计算公式可得. 【详解】因为，所以，得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以，故. 故选：B. （25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．小试牛刀1 (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）因为，所以化简即可求解； （2）因为，所以，即，化简可得，利用同角的三角函数关系求得,再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故． （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而． （24-25高一上·天津滨海新区·期末）已知平面直角坐标系中，，，．小试牛刀2 (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，.小试牛刀3 (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 【题型7：数量积坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 1.数量积坐标公式：，，则 2.模长坐标公式：， 3.夹角坐标公式：（） 解题思路 1.算数量积：代入坐标公式计算 2.算模长：分别计算两个向量的模长和 3.求目标：求模长直接用公式，求夹角代入夹角公式计算，再结合范围确定角度 名师点睛 求模长时，可先算，再开平方，避免根式运算错误 求夹角时，先判断的符号，确定夹角是锐角、钝角或直角，再求具体角度 若数量积为零，直接得出夹角为，无需计算模长 （25-26高一下·全国·课后作业）设，，又，，若与夹角为，求实数m的值．经典例题1例题 【答案】． 【分析】先依次计算、、，再由向量夹角余弦公式即可计算求解m. 【详解】，， ， ， ， 又，， ， 化简得，解得或． 又，即， 所以． （25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 【多选题】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知向量，，，其中，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】由计算，由计算，由向量夹角的坐标计算公式计算，由投影向量的计算得到在上的投影向量. 【详解】A选项，因为，所以，解得，A正确； B选项，因为，所以，即，解得，所以，，B错误； C选项，，，，所以，C错误； D选项，在上的投影向量为，D正确； 故选：AD. （25-26高三上·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C （24-25高一下·河南开封·期末）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两向量的夹角公式求解． 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， 则． 故选：B. 【B·能力提升题型】 【题型1：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心性质：平面向量基本定理中，基底表示的系数具有唯一性，即若（不共线），则且 2.常见形式：已知，且，求参数 解题思路 1.统一基底：将等式两边的向量用同一组基底表示 2.对比系数：根据系数唯一性，列出关于参数的方程组 3.解方程组：求解方程组，得到参数值，验证基底不共线条件 名师点睛 系数唯一性是解题的核心，前提必须是基底“不共线”，若基底共线则结论不成立 若等式中含多个参数，需结合其他条件（如共线、垂直）补充方程 复杂表达式可先展开化简，再对比系数，避免遗漏项 （24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．经典例题1例题 【答案】3 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 （23-24高一下·山西·期末）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则_______．经典例题2例题 【答案】3 【分析】设，则，结合，可求. 【详解】如图所示，在中，由已知，所以， 又点在线段上移动，设，所以， 又，所以，所以， 故答案为：3． （23-24高一下·广东中山·月考）如图，在中，，点是线段上一点．小试牛刀1    (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值； （3）由条件，可得，由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】（1）点是线段的中点，且， ， ， . （2）三点共线，设， 所以，又， ， ， ， . （3）， ， ， ， ， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为. （24-25高一下·四川达州·月考）如图，在中，，，与交于O，若，小试牛刀2    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案； （2）延长与交于点，由三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值. 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以， 即， 所以，解得，所以，则. 所以. （24-25高一下·山东潍坊·月考）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点，小试牛刀3    (1)若，求的值； (2)若，，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求，. （2）用表示结合数量积的运算律及向量夹角余弦的计算公式可得相应的值； 【详解】（1）因为、分别为、的中点，    所以； . 于是 . 又，不共线，由平面向量基本定理得 解得，. （2）由（1）可知，， 所以； 同理； .    所以. 【题型2：平面向量共线定理及推论】 【练方法】 知识梳理 1.核心推论：若，则三点共线的充要条件是 2.推广推论：若点在的边上，且，则 3.共线定理延伸：若，则存在唯一实数，使得，可推广到多向量线性组合的共线问题 解题思路 1.识别模型：判断题目是否符合“三点共线”或“向量线性组合共线”的推论模型 2.套推论：三点共线直接用“系数和为1”，分点问题用分点推论 3.列方程：结合推论列出关于参数的方程，求解参数或证明结论 名师点睛 “系数和为1”是三点共线的快速判定方法，在选择填空题中可直接使用 分点推论中，为分点比，注意分子分母的对应关系，避免颠倒 若推论不适用，回归共线定理，用基底表示向量后列方程求解 （24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. （24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线定理表示出，，从而求出，即可求得． 【详解】设，因为B，F，E共线，所以， 又，所以， 又因为 ， 所以 ， 解：，即， 所以，代入得 ， 解得，则有． 故选：B． （24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ．小试牛刀1 (1)求的长； (2)若 求的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先根据角平分线性质将向量表示出来，然后将等式两边平方可求得结果. （2）首先用向量将向量表示出来，进而可求出 向量的表达式，利用垂直向量的数量积为0，即可求出的值. 【详解】（1）因为为的平分线，， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以. （2）根据题意知，，， 所以 因为 所以 又因为三点共线，则② 由①②可得： . （24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C.    （24-25高一下·湖北武汉·月考）在中，，，与交于点M，设，小试牛刀3 (1)用基底表示向量； (2)若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论； （2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线， 故可设， 设， 所以，解得， 所以； （2）因为E，M，F三点共线，可设， 由（1）知， ，依题意，， 由 当且仅当时，即时，等号成立， 即当时，的最小值为. 【题型3：建立坐标系求数量积】 【练方法】 知识梳理 1.核心思想：将几何问题坐标化，利用坐标运算简化数量积计算 2.建系原则：优先选择图形中的直角、中点、对称点为原点，使向量坐标尽可能简洁 3.工具：数量积坐标公式、向量坐标的线性运算 解题思路 1.建坐标系：根据图形特征，确定原点、坐标轴方向，建立平面直角坐标系 2.写坐标：确定图形中关键点的坐标，进而写出相关向量的坐标 3.算数量积：代入数量积坐标公式，计算目标数量积的值 名师点睛 建系的关键是“简化坐标”，如矩形、直角三角形优先以直角顶点为原点 若图形中有对称轴，可将对称轴作为坐标轴，利用对称性简化坐标 建系后需验证关键点坐标的正确性，这是后续计算的基础 （25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）经典例题1例题    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二：    以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 【多选题】（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】由向量的线性运算判断A；由数量积的定义判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质判断C；将目标式子转换为三角函数判断 D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，设， 则，当时，取得最大值为5，C错误； 对于D，,， ，则 ， 由，得， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：AD （24-25高一下·广东东莞·月考）在中，，，，，则的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，即，，即 由数量积的运算即可求解. 【详解】由有，所以， ， 所以 ， 故选：A. （23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角为，角的平分线交于点．已知，且，则（   ）小试牛刀2 A．1 B．9 C． D．6 【答案】D 【分析】先由向量共线的基本定理求出，再建立如图坐标系，利用坐标表示求出，最后再由坐标计算向量的数量积可得. 【详解】由可得， 因为三点共线，所以， 以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，    因为，，则， 设， 由可得，解得， 所以. 故选：D （24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则________.小试牛刀3 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求值. 【详解】将图形适当旋转，以为原点，建立如图平面直角坐标系. 因为是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且， 所以， ，. 可设 所以，. 所以. 故答案为： 【题型4：建立坐标系解决数量积最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法：通过建系将数量积表示为单变量或双变量函数，利用函数性质求最值或范围 2.常见场景：动点在直线、圆、线段上运动，数量积随动点位置变化而变化 3.工具：二次函数最值、三角函数值域、基本不等式、圆的参数方程 解题思路 1.建坐标系：根据图形特征建立合适的平面直角坐标系 2.设坐标：用参数表示动点坐标，进而写出相关向量的坐标 3.表数量积：代入数量积坐标公式，将数量积表示为参数的函数 4.求范围：根据参数的取值范围，利用函数单调性、最值公式或不等式求的范围 名师点睛 动点坐标的参数表示是关键，直线上的动点用一次参数，圆上的动点用三角函数参数 求最值时，优先考虑二次函数的顶点式，或三角函数的有界性 注意参数的几何约束，如动点在线段上，参数需满足区间范围，避免超出可行域 （24-25高一下·江苏徐州·月考）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______.经典例题1例题 【答案】 /； . 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. （24-25高一下·吉林长春·月考）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.经典例题2例题 (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) ； (2) (3). 【分析】（1）点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可； （2）由平面向量基本定理可得，由三点共线求出，由此可求出实数的值； （3）设，则，求出，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】（1）易得，且为正三角形，所以， 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， 所以 所以， 所以， （2）， 又因为三点共线，所以，解得. 因为， 所以，所以， （3）设，且如（1）所建平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. （2025·天津·二模）在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________.小试牛刀1 【答案】 3 【分析】由题意，求得，结合，根据向量的线性运算法则，求得；再由，得到为直角三角形，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，得到，结合向量的数量积的坐标运算，得到，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. （24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意 ， 又，且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，所以，， 所以， 因为点为线段上的动点，所以设，， 则，则， 所以，， 所以 ， 所以当时取得最小值，最小值为；    故答案为：； （24-25高一下·山东青岛·期中）分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由为上一点，设，而， 则， ，其中锐角由确定， 显然，即，又，， 则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故选：B 【题型5：数量积坐标运算与三角函数综合】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体：数量积坐标运算与三角函数的化简、求值、最值、单调性结合 2.核心关联：向量坐标含三角函数式，数量积运算后转化为三角恒等变换问题 3.工具：数量积坐标公式、三角恒等变换公式、三角函数性质 解题思路 1.写坐标：将向量坐标用三角函数式表示 2.算数量积：代入坐标公式，得到数量积的三角函数表达式 3.三角变换：利用和差角、二倍角、辅助角公式化简表达式 4.解问题：结合三角函数的性质，求解求值、最值、单调性等问题 名师点睛 辅助角公式是化简的核心，可将复杂的三角表达式转化为的形式 注意三角函数的定义域，结合向量的几何约束确定的范围 数量积的符号可结合三角函数的符号，判断向量夹角的范围 （2025·湖南·一模）已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（   ）经典例题1例题 A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，，进而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可. 【详解】由题知，函数的最小正周期满足，解得， 所以， 则， 由图象与轴的交点为得，则， 因为，所以，即，则， 所以图象与轴的交点为， 则，， 因为，所以，解得（负舍），所以， 所以， 所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为， 则， 所以. 故选：D 【多选题】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）经典例题2例题 A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ACD 【分析】根据向量运算的坐标表示，列出关系式，根据三角恒等变换中的二倍角公式和两角和的余弦公式对各等式化简，运用三角函数的值域，分别判断各选项正误，结合单位圆的切线情况，判断D的正误. 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. （24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；小试牛刀1 (1)求函数的解析式； (2)求函数的严格增区间； (3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以； （2）令， 则， 所以的严格增区间为; （3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得，或， 所以的取值范围是. （24-25高一下·江西上饶·月考）已知．小试牛刀2 (1)若，且，求的值； (2)若点共线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直、数量积、模的坐标表示运算求解即可； （2）根据平面向量共线的坐标表示，结合三角恒等变换公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以，解得． （2）因为点共线，所以共线， 因为， 所以， 则， 所以． （24-25高一下·四川内江·月考）已知向量，，设函数．小试牛刀3 (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，诱导公式、辅助角公式化简即可； （2）由条件得到，再由求解即可； （3）由条件得到，结合化简，即可求解. 【详解】（1） （2）， 由，则，则， 则 ； （3），又为锐角三角形，所以，则， 则 在锐角中，，即， 所以， 所以，则， 所以的取值范围是 【题型6：数量积坐标运算有关的新定义问题】 【练方法】 知识梳理 1.题型特征：题目给出新的向量运算或数量积相关的新定义，要求结合坐标运算解决问题 2.核心要求：严格遵循新定义的规则，将新定义转化为常规的坐标运算 3.工具：平面向量坐标运算公式、新定义的运算规则 解题思路 1.析定义：拆解新定义的内涵，明确新运算与数量积坐标运算的关系 2.转运算：将新定义的运算转化为常规的向量坐标加减、数乘、数量积运算 3.套公式：代入坐标运算公式，结合新定义规则进行计算或证明 4.验结论：验证结果是否符合新定义的约束条件和题目要求 名师点睛 新定义题型的核心是“读懂定义”，切勿凭固有经验解题 可先举简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题 若新定义涉及多步运算，分步进行，每一步都严格遵循定义规则 （24-25高二下·上海·月考）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离   其 中 （为坐标原点）.经典例题1例题 (1)若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; (2)若点，， 求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，，所以，，， 所以， ； （2）设，由题意得：， 即， 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （24-25高三上·江苏盐城·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果. 【详解】由题设，， 所以 ， 由， 所以. 故选：B （23-24高二上·广东深圳·月考）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量数量积的坐标运算、两角和与差的余弦公式以及“余弦距离”的定义可得出，再由可得出、的值，再结合“余弦距离”的定义可求得、的余弦距离. 【详解】由，，， ， ， 由已知，可得，① 又因为，② 联立①②可得，， 因此，、的余弦距离为， 故选：A. （2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可. 【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以 所以， 则有， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. （24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．小试牛刀3 (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算的坐标，代入向量夹角余弦公式即得. 【详解】 已知，，因此： ， . 2．（江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测数学试卷）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 4．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量公式结合条件可得，其中可由计算，进而可求得的值. 【详解】由题意在上的投影向量为， 因为，则，又， 则. 故选：D. 5．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三角形形状，再建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解. 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 6．（25-26高三上·山东青岛·期末）中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的运算法则可得答案. 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 7．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理列式求解. 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 8．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 9．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到和，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，可得，且， 又由向量和，可得和， 因为，可得 即， 解得. 故选：A. 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 11．（25-26高三上·湖北·月考）如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三点共线与三点共线，解得，再将向量在上的投影向量的模表示出来，利用均值不等式求得最小值时易知. 【详解】因为三点共线，所以设， 又三点共线，所以， 故，所以， 则在上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A． 12．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 【答案】B 【分析】设向量，根据题意，列出方程组，求得或，分类讨论，分别求得的值，结合附表中的数据，进而得到答案. 【详解】设向量，因为向量与垂直，且， 可得，解得或，所以或， 当时，， 所以，因为，所以属于高效； 当时，， 所以，因为，所以属于停滞， 因为“停滞”属于无效配送，排除此种情况， 所以此时配送的效率等级为高效. 故选：B. 二、填空题 13．（25-26高三上·广东·月考）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【答案】 【分析】首先把向量用表示出来，再根据平面向量基本定理可得到的值，即得答案. 【详解】由题意，设 ，， 取 中点 ，则 ， 重心 在中线 上，且 ， 故， 为 边上靠近 的四等分点， 即 ，而 ， 所以， 由，得： 因此： 故答案为： 14．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为_____ 【答案】/ 【分析】首先求向量和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】，所以， 则，即. 所以与的夹角为. 故答案为： 15．（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 【答案】11 【分析】建立直角坐标系，将“求的最小值”转化成“求函数最小值”，利用二次函数给定区间上的最值求解方法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， . ， ，. 设，则（其中）， ， ， 当且仅当时，等号成立. 所以，当时，取得最小值11. 16．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，依题意，需使，且与不共线，推得，求解不等式即得答案. 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 18．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得出向量坐标列式结合二倍角正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则 ， 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以，故. 又，则， 因为， 所以， 解得，所以. 故答案为： 三、解答题 19．（25-26高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，E为边的中点，P为线段上的动点，设向量，求的最大值． 【答案】最大值为2． 【分析】以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，各个向量的坐标，设，，由向量相等即可求解. 【详解】以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图．则，，， 设，， ，，， ， ， ．， ，故当，即点P与点E重合时，取得最大值为2． 20．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的数量关系结合数量积公式及数量积运算律计算求解； （2）根据数量积公式及数量积运算律结合模长公式计算求解； 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $