（篇二）第二单元因数和倍数·2、5、3的倍数篇【十五大考点】-2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·2、5、3的倍数篇【十五大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·2、5、3的倍数篇 专题内容 本专题以2、5、3的倍数的特征为主，其中包括2、5、3的倍数的特征及实际应用，奇数与偶数的概念及特征等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第二部分内容，细分考点较多，题型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十五大考点 【考点一】2、5的倍数的特征 4 【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 5 【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 6 【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用 7 【考点五】奇数和偶数的意义 8 【考点六】奇数与偶数的运算性质 9 【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 10 【考点八】连续偶数或奇数的和 11 【考点九】3的倍数的特征 13 【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数 14 【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用 15 【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其一：补全数位上的数 16 【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题 17 【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 18 【考点十五】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其二 19 【考点一】2、5的倍数的特征 方法点拨 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 分一分。 【对应练习1】 把电话号码对应的序号填在相应的区域。 ①110是报警电话；②120是急救电话；③114是查询电话；④119是火警电话；⑤122是交通事故报警电话；⑥12315是消费者投诉举报电话。 【对应练习2】 在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有( )，5的倍数( )，有因数3的有( )，既是3的倍数又是5的倍数的是( )，同时是2、3和5倍数的是( )。 【对应练习3】 在9、14、26、55、60、501中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。 【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 方法点拨 根据2、5的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】补数 按要求填写数字。 （1），两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 （2）35既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【对应练习1】 3★□是5的倍数，□里有( )种填法。 【对应练习2】 519至少加上( )，才是2的倍数，至少减去( )，才是5的倍数。 【对应练习3】 已知一个四位数384。 (1)如果它是2的倍数，这个数可能是( )。（写出一个即可） (2)如果它是5的倍数，这个数可能是( )或( )。 (3)如果它既是2的倍数，又是5的倍数，这个数是( )。 (4)我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是( )。 【典型例题2】组数 从0，2，3，5这四个数中，选出三个数组成一个同时能被2，5整除的最小的三位数是( )，最大的三位数是( )。 【对应练习1】 用0，2，9三个数字组成的三位数中，是5的倍数的是( )。 【对应练习2】 一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是( )，最大是( )。 【对应练习3】 写出用0、6、5三个数字组成的符合下面条件的三位数。 (1)组成的数是2的倍数的有( )。 (2)组成的数是5的倍数的有( )。 (3)组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 方法点拨 运用2、5的倍数的特征求指定位置上的数，要先观察这些数的特征，然后分析各数之间的关系，最后应用规律找出要求的数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 【对应练习1】 在2，4，6，…，96，98，100这列数中，每个数都是( )的倍数，第19个数是( )。 【对应练习2】 5、10、15、20、25……这样数数。数出来的数都是( )的倍数，第10个数是( )。 【对应练习3】 100，98，96，94，…，8，6，4，2这些数中每个数都是( )的倍数，其中第10个数是( )。 【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用 方法点拨 熟练掌握2、5的倍数的特征是解决生活实际问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习1】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【对应练习2】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【对应练习3】 某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【考点五】奇数和偶数的意义 方法点拨 1. 奇数和偶数的意义。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无独有偶。 2. 关于偶数和奇数的特殊说明。 （1）自然数中最小的偶数是0。 （2）自然数中最小的奇数是1。 （3）奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 （4）相邻两个奇数(或偶数)相差2。 3. 整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【考点六】奇数与偶数的运算性质 方法点拨 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 方法点拨 如果两个数的和是偶数，其中一个数是奇数或偶数，另一个数也是奇数或偶数。解此类题时，要善于把实际问题抽象为数学问题，再根据和的奇偶性解答。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【考点八】连续偶数或奇数的和 方法点拨 1. 解答此类题时要明确：相邻两个偶数（奇数）相差2，可以设中间数为x，也可以设其他数为x，根据数量之间的关系列出方程再解答。 2. 熟悉偶数和奇数的特征，相邻两个偶数或奇数相差2，可以首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【考点九】3的倍数的特征 方法点拨 1. 判断一个数是不是3的倍数的方法。 算出这个数各位上的数的和，如果和是3的倍数，这个数就是3的倍数；否则，这个数就不是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 先圈出3的倍数，再填空。 上面所有3的倍数各个数位上数字的( )都是3的倍数，如：79548，7＋9＋5＋4＋8＝( )，是3的倍数。 【对应练习1】 填一填。 12       27       35       46       50       129       315       47       52 32       24       67       90       99       45       521       75       840 【对应练习2】 把1、2、3、6、7、9、15、20、32、35、36、37、40按要求填入框中。 【对应练习3】 在123、175、182这些数中，其中( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数 方法点拨 根据3的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在□里填上一个数字，使其成为3的倍数。 (1)31□，□里可以填( )。 (2)☐25，☐里可以填( )。 (3)2☐0，☐里可以填( )。 (4)☐66，☐里可以填( )。 【对应练习1】 要使17□是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【对应练习2】 34□是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【对应练习3】 三位数4□2是3的倍数时，□里最大填( )，三位数27□是5的倍数时，□里最大填( )。 【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用 方法点拨 熟练掌握3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其一：补全数位上的数 方法点拨 2、5、3倍数特征之间的联系。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【对应练习1】 若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【对应练习2】 一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最大是( )。 【对应练习3】 一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个五位数最小是( )。 【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题 方法点拨 2、5、3倍数特征之间的联系。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 方法点拨 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 【对应练习1】 一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？ 【对应练习2】 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？ 【对应练习3】 一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 【考点十五】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其二 方法点拨 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 【对应练习1】 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 【对应练习2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 【对应练习3】 某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共20页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元因数和倍数2、5、3的倍数篇【十五大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数2、5、3的倍数篇 知专题内容 本专题以2、5、3的倍数的特征为主，其中包括2、5、3的倍数的特征及实际 应用，奇数与偶数的概念及特征等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第二部分内容，细分考点较多，题型多以填空、 选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必 掌握。 回考点数量 十五大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】2、5的倍数的特征…… .4 月【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数5 冥【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 .6 只【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用… .7 只【考点五】奇数和偶数的意义…。 .8 只【考点六】奇数与偶数的运算性质。 .9 冥【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 .10 原【考点八】连续偶数或奇数的和 .11 貝【考点九】3的倍数的特征… ..13 第2页共20页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 冥【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数… .14 只【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用…。 .15 只【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其一：补全数位上的数… 16 只【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题… .17 冥【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 ..…18 冥【考点十五】2、5、3的倍的特征的复杂应用其二 ..19 第3页共20页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】2、5的倍数的特征 职方法点拨 1.2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3.注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 吕【典型例题】 分一分。 40182573635 2的倍数 5的倍数 肥【对应练习1】 把电话号码对应的序号填在相应的区域。 ①110是报警电话；②120是急救电话：③114是查询电话：④119是火警电话：⑤122是交通 事故报警电话：⑥12315是消费者投诉举报电话。 5的倍数 2的倍数 既是2的倍数，又是5的倍数 即【对应练习2】 在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有( ),5的倍数( ),有因数3的有 ),既是3的倍数又是5的倍数的是( ),同时是2、3和5倍数的是( )。 第4页共20页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 在9、14、26、55、60、501中，2的倍数有( ),5的倍数有( ),3的倍数有( 同时是2、3、5的倍数有( )。 只【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 职方法点拨 根据2、5的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据 其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★ 吕【典型例题1】补数 按要求填写数字。 (1) 两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 (2) 35 既是2的倍数，又是5的倍数。 (3) 既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 0【对应练习1】 3★口是5的倍数，口里有( )种填法。 0【对应练习2】 519至少加上( ),才是2的倍数，至少减去( ),才是5的倍数。 即【对应练习3】 己知一个四位数384☐。 (1)如果它是2的倍数，这个数可能是( )。(写出一个即可) (2)如果它是5的倍数，这个数可能是( )或( ) (3)如果它既是2的倍数，又是5的倍数，这个数是( )。 (4)我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是( )。 第5页共20页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例惠2】组数 从0,2,3,5这四个数中，选出三个数组成一个同时能被2,5整除的最小的三位数是( 最大的三位数是( )。 肥【对应练习1】 用0,2,9三个数字组成的三位数中，是5的倍数的是( ) 肥【对应练习2】 一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是( ),最大是( )。 肥【对应练习3】 写出用0、6、5三个数字组成的符合下面条件的三位数。 (1)组成的数是2的倍数的有( )。 (2)组成的数是5的倍数的有( ) (3)组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有( ) 原【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 珂方法点拨 运用2、5的倍数的特征求指定位置上的数，要先观察这些数的特征，然后分 析各数之间的关系，最后应用规律找出要求的数。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 100,98,96,94,,6,4,2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( 肥【对应练习1】 在2,4,6，.，96,98,100这列数中，每个数都是( )的倍数，第19个数是( 。 肥【对应练习2】 5、10、15、20、25..这样数数。数出来的数都是( 0的倍数，第10个数是( )。 肥【对应练习3】 100,98,96,94,,8,6,4,2这些数中每个数都是( )的倍数，其中第10个数是 第6页共20页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用 冥方法点拨 熟练掌握2、5的倍数的特征是解决生活实际问题的关键。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李 文算一算，钱找对了吗？ 肥【对应练习1】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完 吗？为什么？ 肥【对应练习2】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问： 售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 找你18元 给您100元 第7页共20页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对， 并说明理由。 给您50元。找你12元。 赣南脐橙：10元/份 南康甜柚：20元/份 园园 南丰蜜橘：5元/份 原【考点五】奇数和偶数的意义 兵方法点拨 1.奇数和偶数的意义。 意义 举例 用含有字母的式子表示 整数中，是2的倍数的数 0,2,4,6, 如果a是整数，偶数可以 偶数 叫作偶数(0也是偶数)， 8,…0 用2a来表示。 不是2的倍数的数叫作奇 1,3,5,7, 如果a是整数，奇数可以 奇数 ()数。 9,…。 用2a+1来表示。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、 一对的意思，如无独有偶。 2.关于偶数和奇数的特殊说明。 (1)自然数中最小的偶数是0。 (2)自然数中最小的奇数是1。 (3)奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 (4)相邻两个奇数（或偶数）相差2。 3.整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不 是偶数，就是奇数。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 第8页共20页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题】 1~20中，最大的奇数是( ), 最小的偶数是( 0【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( ),偶数有( )。 肥【对应练习2】 100以内最大的奇数是( ):1~100中所有奇数的和是( )(填奇数”或偶数)。 即【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( ),最小的偶数是( 只【考点六】奇数与偶数的运算性质 职方法点拨 1.加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (④)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2.减法。 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 3.乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 一个偶数( ),结果一定是奇数。 第9页共20页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.加上1 B.乘5 C.乘1 D.除以2 0【对应练习1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A.a+1 B.2a+1 C.a2+1 肥【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a<b,下列各式结果是奇数的是( A.ata B.a×b C.b+b D.b-a 肥【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a>b。下面表达式中，偶数有( 个。 ①a+b②5a-b③2a+b④6a-2b A.4 B.3 C.2 D.1 原【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 方法点拨 如果两个数的和是偶数，其中一个数是奇数或偶数，另一个数也是奇数或偶 数。解此类题时，要善于把实际问题抽象为数学问题，再根据和的奇偶性解 答。 目考察形式 填空、选择、应用 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 即【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次） 最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 第10页共20页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共35页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春】 第二单元因数和倍数2、5、3的倍数篇【十五大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数2、5、3的倍数篇 知专题内容 本专题以2、5、3的倍数的特征为主，其中包括2、5、3的倍数的特征及实际 应用，奇数与偶数的概念及特征等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第二部分内容，细分考点较多，题型多以填空、 选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必 掌握。 回考点数量 十五大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】2、5的倍数的特征…… .4 月【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数7 冥【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 .10 只【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用… 12 只【考点五】奇数和偶数的意义…。 14 只【考点六】奇数与偶数的运算性质… .16 冥【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 .18 原【考点八】连续偶数或奇数的和 .20 貝【考点九】3的倍数的特征… ..22 第2页共35页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 冥【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数… .25 只【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用… .27 只【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其-：补全数位上的数… .29 只【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题… ..31 冥【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 33 冥【考点十五】2、5、3的倍的特征的复杂应用其二 ...34 第3页共35页 学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 貝【考点一】2、5的倍数的特征 职方法点拨 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3.注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 吕【典型例题】 分一分。 40182573635 2的倍数 5的倍数 【答案】见详解 【分析】(1)2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 (2)5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】根据分析可得： 401825 73635 40、18、6 40、25、35 2的倍数 5的倍数 【点睛】熟练掌握2、5的倍数的特征，是解答此题的关键。 肥【对应练习1】 把电话号码对应的序号填在相应的区域。 ①110是报警电话；②120是急救电话；③114是查询电话：④119是火警电话：⑤122是交通 第4页共35页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 事故报警电话：⑥12315是消费者投诉举报电话。 5的倍数 2的倍数 既是2的倍数，又是5的倍数 5的倍数 2的倍数 【答案】 ⑥ ①② ③⑤ 既是2的倍数，又是5的倍数 【分析】2的倍数：个位是0、2、4、6、8：5的倍数：个位上是0或5：同时是2、5的倍数： 个位是0。据此逐一分析。 【详解】2的倍数：110（个位0），120（个位0），114（个位4），122（个位2），共4个 119(个位9)、12315（个位5）不符合： 5的倍数：110（个位0），120（个位0），12315（个位5），共3个。114（个位4）、119 (个位9)、122（个位2）不符合： 同时是2、5的倍数：110（个位0），120：（个位0），共2个。114（个位4）、119（个位9）、 122(个位2)、12315（个位5）不符合。 综上，这些电话号码中，2的倍数有4个，5的倍数有3个，同时是2,5的倍数的有2个。 5的倍数 2的倍数 ①② 3⑤ 既是2的倍数，又是5的倍数 肥【对应练习2】 在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有( ),5的倍数( ),有因数3的有 ),既是3的倍数又是5的倍数的是( ),同时是2、3和5倍数的是( 【答案】 4、30 25、30 9、30 30 30 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 第5页共35页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍 数的数。 2,3,5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有4、30,5的倍数25、30，有因数3的有 9、30,既是3的倍数又是5的倍数的是30，同时是2、3和5倍数的是30： 即【对应练习3】 在9、14、26、55、60、501中，2的倍数有( )5的倍数有( ),3的倍数有( 同时是2、3、5的倍数有( ) 【答案】 14、26、60 55、60 9、60、501 60 【分析】2的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数的特征：各个数位上的数字 之和能被3整除；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、3、5的倍数的特征：个位是 0,且各个数位上的数字之和能被3整除。据此填空即可。 【详解】在9、14、26、55、60、501中： ①14、26、60，符合个位数字是0、2、4、6、8的特征，是2的倍数： ②55、60，符合个位数字是0或5的特征，是5的倍数： ③9÷3=3 (6+0)÷3 =6÷3 =2 (5+0+1)÷3 =6÷3 =2 即9、60、501的各个数位之和都能被3整除，是3的倍数： ④60的个位数字是0且各个数位之和能被3整除，同时是2、3、5的倍数。 第6页共35页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以，在9、14、26、55、60、501中，2的倍数有14、26、60,5的倍数有55、60,3的倍 数有9、60、501，同时是2、3、5的倍数有60。 原【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 耍方法点拨 根据2、5的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据 其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★ 吕【典型例题1】补数 按要求填写数字。 (1) 两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 (2)35 既是2的倍数，又是5的倍数。 (3) 既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【答案】 (1)55 (2)350 (3)100 【分析】(1)5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 (2)(3)既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是 5的倍数。 【详解】(1)55，两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 (2)350既是2的倍数，又是5的倍数。 (3)100既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 0【对应练习1】 3★口是5的倍数，口里有( )种填法。 【答案】2 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数：口里可以填0或5。 【详解】分析可知，3★口是5的倍数，口里有(2)种填法。 第7页共35页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】掌握5的倍数特征是解答题目的关键。 0【对应练习2】 519至少加上( ),才是2的倍数，至少减去( ),才是5的倍数。 【答案】 4 【分析】个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。根 据2、5的倍数的特征解答即可。 【详解】519+1=520,520的个位上是0，所以520是2的倍数。即519至少加上1，才是2 的倍数。 519-1=518,518不是5的倍数：519-2=517,517不是5的倍数；519-3=516,516不是 5的倍数：519一4=515,515的个位上是5，所以515是5的倍数。即519至少减去4，才是 5的倍数。 【点睛】明确2、5的倍数的特征是解决此题的关键。 即【对应练习3】 已知一个四位数384。 (1)如果它是2的倍数，这个数可能是( )。(写出一个即可) (2)如果它是5的倍数，这个数可能是( )或( ) (3)如果它既是2的倍数，又是5的倍数，这个数是( 。 (4)我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是( 【答案】(1)3846（答案不唯一） (2) 3840 3845 (3)3840 (4)0 【分析】本题主要运用2、5的倍数的特征来解题。 (1)个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，据此解答。 (2)个位上是0或5的数都是5的倍数，据此解答。 (3)同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0，据此解答。 (4)由(3)即可得到结论。 【详解】(1)由分析可知，如果它是2的倍数，对于384 个位可以填0、2、4、6、8， 第8页共35页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 这个数可能是3846（答案不唯一）。 (2)由分析可知，如果它是5的倍数，对于384 个位可以填0或5，这个数可能是3840 或3845。 (3)由分析可知，如果它既是2的倍数，又是5的倍数，对于384 个位只能填0，这个 数是3840。 (4)我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是0。 吕【典型例题2】组数 从0,2,3,5这四个数中，选出三个数组成一个同时能被2,5整除的最小的三位数是( 最大的三位数是( )。 【答案】 230 530 【分析】同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0，这个三位数最小时，百位和十位上的 数最小；这个三位数最大时，百位和十位上的数最大，据此解答。 【详解】分析可知，这个三位数的个位数字为0，百位上最小为数字2，十位上最小为数字3， 则这个三位数最小是230，百位上最大为数字5，十位上最大为数字3，则这个三位数最大为 530。 【点睛】熟练掌握2、5的倍数特征是解答题目的关键。 0【对应练习1】 用0,2,9三个数字组成的三位数中，是5的倍数的是( 【答案】290、920 【分析】5的倍数特点：个位上是0或5，据此解答。 【详解】用0,2,9三个数字可组成的三位数有：290,209,902,920，其中5的倍数有290， 920。 肥【对应练习2】 一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是( ),最大是( 【答案】 10 90 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数：根据5的倍 数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。这个两位数同时是2和5的倍数， 则这个数的个位就是0，十位上最小是1，最大是9，据此解答。 第9页共35页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是10，最大是90。 肥【对应练习3】 写出用0、6、5三个数字组成的符合下面条件的三位数。 (1)组成的数是2的倍数的有( ) (2)组成的数是5的倍数的有( ) (3)组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有( ) 【答案】(1)650,560,506 (2)650,605,560 (3)650,560 【分析】(1)个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此组数： (2)个位上是0或5的数是5的倍数，据此组数： (3)个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数，据此填空。 【详解】(1)组成的数是2的倍数的有650,560,506。 (2)组成的数是5的倍数的有650,605,560。 (3)组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有650,560。 只【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 买方法点拨 运用2、5的倍数的特征求指定位置上的数，要先观察这些数的特征，然后分 析各数之间的关系，最后应用规律找出要求的数。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 侣【典型例题】 100,98,96,94,..,6,4,2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( 【答案】 2 62 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 观察100,98,96,94，，6,4,2，发现它们都是2的倍数，相邻两个数相差2，从100 开始递减排列；所以第20个数与100相差了19个2，据此求出第20个数。 【详解】100,98,96,94，，6,4,2这些数都是2的倍数： 100-(20-1)×2 第10页共35页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·2、5、3的倍数篇【十五大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·2、5、3的倍数篇 专题内容 本专题以2、5、3的倍数的特征为主，其中包括2、5、3的倍数的特征及实际应用，奇数与偶数的概念及特征等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第二部分内容，细分考点较多，题型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十五大考点 【考点一】2、5的倍数的特征 4 【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 7 【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 10 【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用 12 【考点五】奇数和偶数的意义 14 【考点六】奇数与偶数的运算性质 16 【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 18 【考点八】连续偶数或奇数的和 20 【考点九】3的倍数的特征 22 【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数 25 【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用 27 【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其一：补全数位上的数 29 【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题 31 【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 33 【考点十五】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其二 34 【考点一】2、5的倍数的特征 方法点拨 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 分一分。 【答案】见详解 【分析】（1）2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 （2）5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】根据分析可得： 【点睛】熟练掌握2、5的倍数的特征，是解答此题的关键。 【对应练习1】 把电话号码对应的序号填在相应的区域。 ①110是报警电话；②120是急救电话；③114是查询电话；④119是火警电话；⑤122是交通事故报警电话；⑥12315是消费者投诉举报电话。 【答案】 【分析】2的倍数：个位是0、2、4、6、8；5的倍数：个位上是0或5；同时是2、5的倍数：个位是0。据此逐一分析。 【详解】2的倍数：110（个位0），120（个位0），114（个位4），122（个位2），共4个。119（个位9）、12315（个位5）不符合； 5的倍数：110（个位0），120（个位0），12315（个位5），共3个。114（个位4）、119（个位9）、122（个位2）不符合； 同时是2、5的倍数：110（个位0），120（个位0），共2个。114（个位4）、119（个位9）、122（个位2）、12315（个位5）不符合。 综上，这些电话号码中，2的倍数有4个，5的倍数有3个，同时是2，5的倍数的有2个。 【对应练习2】 在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有( )，5的倍数( )，有因数3的有( )，既是3的倍数又是5的倍数的是( )，同时是2、3和5倍数的是( )。 【答案】 4、30 25、30 9、30 30 30 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】在4、9、25、17、30这些数中，2的倍数有4、30，5的倍数25、30，有因数3的有9、30，既是3的倍数又是5的倍数的是30，同时是2、3和5倍数的是30。 【对应练习3】 在9、14、26、55、60、501中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。 【答案】 14、26、60 55、60 9、60、501 60 【分析】的倍数的特征：个位数字是、、、、；的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被整除；的倍数的特征：个位数字是或；同时是、、的倍数的特征：个位是，且各个数位上的数字之和能被整除。据此填空即可。 【详解】在、、、、、中： ①、、，符合个位数字是、、、、的特征，是的倍数； ②、，符合个位数字是或的特征，是的倍数； ③ 即、、的各个数位之和都能被整除，是的倍数； ④的个位数字是且各个数位之和能被整除，同时是、、的倍数。 所以，在、、、、、中，的倍数有、、，的倍数有、，的倍数有、、，同时是、、的倍数有。 【考点二】根据2、5的倍数的特征补全数位上的数或组数 方法点拨 根据2、5的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】补数 按要求填写数字。 （1），两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 （2）35既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【答案】（1）55 （2）350 （3）100 【分析】（1）5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 （2）（3）既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【详解】（1）55，两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 （2）350既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）100既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【对应练习1】 3★□是5的倍数，□里有( )种填法。 【答案】2 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数；□里可以填0或5。 【详解】分析可知，3★□是5的倍数，□里有（   2   ）种填法。 【点睛】掌握5的倍数特征是解答题目的关键。 【对应练习2】 519至少加上( )，才是2的倍数，至少减去( )，才是5的倍数。 【答案】 1 4 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。根据2、5的倍数的特征解答即可。 【详解】519＋1＝520，520的个位上是0，所以520是2的倍数。即519至少加上1，才是2的倍数。 519－1＝518，518不是5的倍数；519－2＝517，517不是5的倍数；519－3＝516，516不是5的倍数；519－4＝515，515的个位上是5，所以515是5的倍数。即519至少减去4，才是5的倍数。 【点睛】明确2、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【对应练习3】 已知一个四位数384。 (1)如果它是2的倍数，这个数可能是( )。（写出一个即可） (2)如果它是5的倍数，这个数可能是( )或( )。 (3)如果它既是2的倍数，又是5的倍数，这个数是( )。 (4)我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是( )。 【答案】(1)3846（答案不唯一） (2) 3840 3845 (3)3840 (4)0 【分析】本题主要运用2、5的倍数的特征来解题。 （1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，据此解答。 （2）个位上是0或5的数都是5的倍数，据此解答。 （3）同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0，据此解答。 （4）由（3）即可得到结论。 【详解】（1）由分析可知，如果它是2的倍数，对于384，个位可以填0、 2、4、6、8，这个数可能是3846（答案不唯一）。 （2）由分析可知，如果它是5的倍数，对于384，个位可以填0或5，这个数可能是3840或3845。 （3）由分析可知，如果它既是2的倍数，又是5的倍数，对于384，个位只能填0，这个数是3840。 （4）我发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上一定是0。 【典型例题2】组数 从0，2，3，5这四个数中，选出三个数组成一个同时能被2，5整除的最小的三位数是( )，最大的三位数是( )。 【答案】 230 530 【分析】同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0，这个三位数最小时，百位和十位上的数最小；这个三位数最大时，百位和十位上的数最大，据此解答。 【详解】分析可知，这个三位数的个位数字为0，百位上最小为数字2，十位上最小为数字3，则这个三位数最小是230，百位上最大为数字5，十位上最大为数字3，则这个三位数最大为530。 【点睛】熟练掌握2、5的倍数特征是解答题目的关键。 【对应练习1】 用0，2，9三个数字组成的三位数中，是5的倍数的是( )。 【答案】290、920 【分析】5的倍数特点：个位上是0或5，据此解答。 【详解】用0，2，9三个数字可组成的三位数有：290，209，902，920，其中5的倍数有290，920。 【对应练习2】 一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 10 90 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。这个两位数同时是2和5的倍数，则这个数的个位就是0，十位上最小是1，最大是9，据此解答。 【详解】一个两位数，它同时是2和5的倍数，这个两位数最小是10，最大是90。 【对应练习3】 写出用0、6、5三个数字组成的符合下面条件的三位数。 (1)组成的数是2的倍数的有( )。 (2)组成的数是5的倍数的有( )。 (3)组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 【答案】(1)650，560，506 (2)650，605，560 (3)650，560 【分析】（1）个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此组数； （2）个位上是0或5的数是5的倍数，据此组数； （3）个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数，据此填空。 【详解】（1）组成的数是2的倍数的有650，560，506。 （2）组成的数是5的倍数的有650，605，560。 （3）组成的数既是2的倍数，又是5的倍数的有650，560。 【考点三】运用2、5的倍数的特征求出指定位置上的数 方法点拨 运用2、5的倍数的特征求指定位置上的数，要先观察这些数的特征，然后分析各数之间的关系，最后应用规律找出要求的数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 【答案】 2 62 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 观察100，98，96，94，…，6，4，2，发现它们都是2的倍数，相邻两个数相差2，从100开始递减排列；所以第20个数与100相差了19个2，据此求出第20个数。 【详解】100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是2的倍数； 100－（20－1）×2 ＝100－19×2 ＝100－38 ＝62 其中第20个数是62。 【对应练习1】 在2，4，6，…，96，98，100这列数中，每个数都是( )的倍数，第19个数是( )。 【答案】 2 38 【分析】观察数列可知，这列数都是偶数，能被2整除的数就是偶数也就是都是2的倍数；第19个数是2的19倍；据此解答即可。 【详解】2÷1＝2 4÷2＝2 19×2＝38 这列数中，每个数都是2的倍数，第19个数是38。 【对应练习2】 5、10、15、20、25……这样数数。数出来的数都是( )的倍数，第10个数是( )。 【答案】 5 50 【分析】5、10、 15、20，25……这些数的个位都是0或5，则这些数都是5的倍数，第10个数是5的10倍，据此解答。 【详解】5×10＝50 则5、10、15、20、25……这样数数。数出来的数都是5的倍数，第10个数是50。 【点睛】掌握5的倍数特征和求一个数倍数的方法是解答题目的关键。 【对应练习3】 100，98，96，94，…，8，6，4，2这些数中每个数都是( )的倍数，其中第10个数是( )。 【答案】 2 82 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；所以这些数都是2的倍数，每个数都是前一个数减2，要求出第10个数，则用100减去9个2即可。 【详解】100－2×9 ＝100－18 ＝82 100，98，96，94，…，8，6，4，2这些数中每个数都是2的倍数，其中第10个数是82。 【点睛】本题要观察算式中的规律，再利用规律解决问题。 【考点四】2、5的倍数的特征与生活实际应用 方法点拨 熟练掌握2、5的倍数的特征是解决生活实际问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。 【详解】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查5的倍数特点。 【对应练习1】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完 【分析】65是5的倍数，但是不是2的倍数，所以5个一袋能正好装完，2个一袋不能正好装完。 【详解】答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。 【点睛】本题考查了2、5的倍数特征，个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。 【对应练习2】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对，理由见详解 【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是5元和10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数；付了100元，用100元减去找回的钱数就是应付的总钱数，如果不是5的倍数，找回的钱就不对。 【详解】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【点睛】掌握5的倍数特征是解题的关键；个位上是0或5的数是5的倍数。 【对应练习3】 某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【答案】找回的钱不对。理由见解析。 【分析】根据赣南脐橙和南丰蜜橘的单价，分析购买这两种水果所花费的钱数的个位数字特征，进而判断找回钱数是否正确。 【详解】找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 【考点五】奇数和偶数的意义 方法点拨 1. 奇数和偶数的意义。 注意： 在日常生活中，偶数又叫双数，奇数又叫单数。在我国文化里，偶有一双、一对的意思，如无独有偶。 2. 关于偶数和奇数的特殊说明。 （1）自然数中最小的偶数是0。 （2）自然数中最小的奇数是1。 （3）奇数和偶数的个数都是无限的，没有最大的奇数和偶数。 （4）相邻两个奇数(或偶数)相差2。 3. 整数的分类。 整数按是不是2的倍数可以分为偶数和奇数两类，也就是说一个整数，它不是偶数，就是奇数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据偶数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。 【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数，不是奇数就是偶数。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出100以内13的倍数，然后根据在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、39、65、91；偶数：26、52、78。 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被2整除的整数叫奇数，能被2整除的整数叫偶数；100是偶数，100以内最大的奇数就是比100少1的数；1～100中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是1，最小的偶数是0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的关键。 【考点六】奇数与偶数的运算性质 方法点拨 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【答案】A 【分析】是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；假设这个偶数是20，然后逐一分析各项即可。 【详解】假设这个偶数是20 A．，21是奇数； B．，100是偶数； C．，20是偶数； D．，10是偶数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【答案】B 【分析】a是自然数，那么2a一定是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，解答此题即可。 【详解】是自然数，2a＋1一定是奇数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握偶数和奇数的定义，是解答此题的关键。 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【分析】根据：奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．a是奇数，a＋a的结果是偶数； B．a是奇数，b是偶数，a×b的结果是偶数； C．b是偶数，b＋b的结果是偶数； D．a是奇数，b是偶数，且a＜b，b－a的结果是奇数； 故答案为：D 【点睛】此题考查了奇数、偶数的判断，可以运用公式判断，也可以用列数计算再判断，关键熟记概念。 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；根据奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数；据此解答。 【详解】已知a是奇数，b是偶数， ①奇数＋偶数＝奇数，所以a＋b的结果是奇数； ②5a是奇数，奇数－偶数＝奇数，所以5a－b的结果是奇数； ③2a是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以2a＋b的结果是偶数； ④6a是偶数，2b是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以6a－2b的结果是偶数。 偶数有2个。 故答案为：C 【点睛】掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 【考点七】奇数与偶数的生活实际应用 方法点拨 如果两个数的和是偶数，其中一个数是奇数或偶数，另一个数也是奇数或偶数。解此类题时，要善于把实际问题抽象为数学问题，再根据和的奇偶性解答。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点八】连续偶数或奇数的和 方法点拨 1. 解答此类题时要明确：相邻两个偶数（奇数）相差2，可以设中间数为x，也可以设其他数为x，根据数量之间的关系列出方程再解答。 2. 熟悉偶数和奇数的特征，相邻两个偶数或奇数相差2，可以首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】73、75、77 【分析】用“225÷3＝75”，求出中间的那个奇数，又因为两个连续的奇数相差“2”，进而分别求出另外2个奇数即可。 【详解】 答：这三个奇数分别是73、75、77。 【点睛】解答此题的关键是求出中间的那个奇数，然后根据两个连续的奇数的特征来解答。 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】11、13、15、17、19 【分析】相邻的奇数之间相差2，用五个连续的奇数的和÷5，求出中间奇数，进而推算出其它奇数。 【详解】75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。 【点睛】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】49、50、51；29、31、33 【分析】相邻两个自然数相差1，连续的奇数相差2，据此分析。 【详解】150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是49、50、51，三个连续奇数各是29、31、33。 【点睛】关键是熟悉自然数和奇数的排列特点，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】15岁 【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。 【详解】39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊15岁。 【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。 【考点九】3的倍数的特征 方法点拨 1. 判断一个数是不是3的倍数的方法。 算出这个数各位上的数的和，如果和是3的倍数，这个数就是3的倍数；否则，这个数就不是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 先圈出3的倍数，再填空。 上面所有3的倍数各个数位上数字的（    ）都是3的倍数，如：79548，7＋9＋5＋4＋8＝（    ），是3的倍数。 【答案】见解析；和；33 【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答即可。 【详解】如图： ， ， 。 ， ， ， ， ， 上面所有3的倍数各个数位上数字的和都是3的倍数，如：79548，，是3的倍数。 【对应练习1】 填一填。 12       27       35       46       50       129       315       47       52 32       24       67       90       99       45       521       75       840 【答案】见详解 【分析】个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】 【对应练习2】 把1、2、3、6、7、9、15、20、32、35、36、37、40按要求填入框中。 【答案】见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 3的倍数特征是一个数的各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；据此解答。 【详解】填空如下： 【对应练习3】 在123、175、182这些数中，其中( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 【答案】 182 123 175 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。个位上是0或5的数是5的倍数。3的倍数，各个数位上数的和也是3的倍数。据此解题。 【详解】182的个位是2，所以182是2的倍数。 1＋2＋3＝6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。 175的个位是5，所以175是5的倍数。 在123、175、182这些数中，其中182是2的倍数，123是3的倍数，175是5的倍数。 【考点十】根据3的倍数的特征补全数位上的数 方法点拨 根据3的倍数的特征补全数位上的数的方法：先确定个位上的数，再根据其他限制条件进行分析。 注意：组成的多位数的最高数位上的数字不能是0。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在□里填上一个数字，使其成为3的倍数。 (1)31□，□里可以填( )。 (2)☐25，☐里可以填( )。 (3)2☐0，☐里可以填( )。 (4)☐66，☐里可以填( )。 【答案】(1)2或5或8 (2)2或5或8 (3)1或4或7 (4)3或6或9 【分析】根据能被3整除的数的特征，即一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，来确定方框里可填的数字。 【详解】（1）先计算31□中已有的数字3和1的和为，然后找出与4相加的和能被3整除的数，，，6、9、12都能被3整除，所以□里可以填2或5或8； （2）先计算 □25中已有的数字2和5的和为，然后找出与7相加的和能被3整除的数，，，，9、12、15都能被3整除，所以□里可以填2或5或8； （3）先计算2□0中已有的数字2和0的和为，然后找出与2相加的和能被3整除的数，，，3、6、9都能被3整除，所以□里可以填1或4或7； （4）先计算□66中已有的数字6和6的和为，12能被3整除，然后找出与12相加的和能被3整除的数，，，，15、18、21都能被3整除，所以□里可以填3或6或9。 【对应练习1】 要使17□是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 1 7 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此填空即可。 【详解】因为1＋7＋1＝9，1＋7＋4＝12，1＋7＋7＝15，9、12、15是3的倍数，所以171、174、177也是3的倍数。 因此，要使17□是3的倍数，□里最小填1，最大填7。 【对应练习2】 34□是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 2 8 【分析】3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此把0~9代入计算并确定出最大的数字和最小的数字即可。 【详解】3＋4＋0＝7，7÷3＝2……1，□里不能填0； 3＋4＋1＝8，8÷3＝2……2，□里不能填1； 3＋4＋2＝9，9÷3＝3，□里能填2； 3＋4＋3＝10，10÷3＝3……1，□里不能填3； 3＋4＋4＝11，11÷3＝3……2，□里不能填4； 3＋4＋5＝12，12÷3＝4，□里能填5； 3＋4＋6＝13，13÷3＝4……1，□里不能填6； 3＋4＋7＝14，14÷3＝4……2，□里不能填7； 3＋4＋8＝15，15÷3＝5，□里能填8； 3＋4＋9＝16，16÷3＝5……1，□里不能填9； □里可以填2，5，8；□里最小填2，最大填8。 34□是3的倍数，□里最小填2，最大填8。 【对应练习3】 三位数4□2是3的倍数时，□里最大填( )，三位数27□是5的倍数时，□里最大填( )。 【答案】 9 5 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。所以三位数4□2是3的倍数时，即4＋2＋□也就是6＋□一定是3的倍数，□最大填9。 5的倍数特征：末尾是0或5的数是5的倍数，所以三位数27□是5的倍数时，□里最大填5。据此填空即可。 【详解】4＋9＋2 ＝13＋2 ＝15 15是3的倍数，所以492是3的倍数。 三位数4□2是3的倍数时，□里最大填9，三位数27□是5的倍数时，□里最大填5。 【考点十一】3的倍数特征与生活实际应用 方法点拨 熟练掌握3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。 答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为65的个位上是5，符合5的倍数的特征； 如果每3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为6＋5＝11，11不是3的倍数，那么65也不是3的倍数。 【点睛】本题考查了3和5的倍数，掌握3和5的倍数特征是解题的关键。 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数，因此，王老师认为不对。 【点睛】考查3的倍数特点，知道3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 【分析】根据题意可知，每2个放一盘，那么多出1个，则这些桃子的数量一定比2的倍数多1，也就是奇数；如果每5个放一盘，那么多出2个，则这些桃子的数量一定比5的倍数多2，已知5的倍数个位上是0或5，所以这些桃子的数量个位上一定是2或7，因为个位是2符合2的倍数特征，所以桃子的数量个位只能是7；每3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是3的倍数，据此先找出符合3的倍数特征，并且个位是7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【考点十二】2、5、3的倍数特征的综合应用其一：补全数位上的数 方法点拨 2、5、3倍数特征之间的联系。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。 【详解】7□0的个位数是0，所以7□0一定能被2或5整除， 7＋0＝7 7□0各个数位上的数字和不会超过16， 比7大的3的倍数有9、12、15、18… 要使7□0能被3整除，则这各个数位上的数字和最小为9，最大为15； 9－7＝2 15－7＝8 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填8，最小能填2。 【对应练习1】 若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【答案】8850 【分析】能被2、3、5同时整除的数的特征是：个位数是0，且各位数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】8□5□，同时被2和5整除，则这个数的个位上只能是0，即是8□50； 8□50，各位数字之和是：8＋□＋5＋0＝13＋□，要使这个四位数8□50最大且是3的倍数，我们可以从9开始算： 当□＝9时，13＋□＝13＋9＝22，22不是3的倍数，不满足条件； 当□＝8时，13＋□＝13＋8＝21，21是3的倍数，满足条件。 所以这个四位数最大是8850。 【对应练习2】 一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最大是( )。 【答案】9840 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，个位数一定是0，又是3的倍数，9＋4＝13，百位最小填15－13＝2，百位可以填2、5、8，最大填8，这个四位数最大是9840。 【对应练习3】 一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个五位数最小是( )。 【答案】58920 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，根据分析，个位数一定是0，5＋8＋9＝22，百位最小填24－22＝2，这个五位数最小是58920。 【考点十三】2、5、3的倍数的特征综合应用其二：组数问题 方法点拨 2、5、3倍数特征之间的联系。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750； 既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570； 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 解析： （1）是2的倍数，并且最大：854 （2）是5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480 （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点十四】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其一 方法点拨 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。 当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360 当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365 答：这个五位数是54360和94365。 【对应练习1】 一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？ 解析：8010。 【对应练习2】 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？ 解析：358020。 【对应练习3】 一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。 【考点十五】2、5、3的倍数的特征的复杂应用其二 方法点拨 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即： 这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是107。 【对应练习1】 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 【对应练习2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是1。 【对应练习3】 某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？ 解析：余2。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $