8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　平面与平面垂直的性质 1.设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面一定垂直 2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AA1B1B上任取一点M,作ME⊥AB于点E,则 (　 ) A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 3.[教材P162练习T2] 若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列命题中正确的个数是 (　 ) ①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线. ②平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线. ③平面α内的任一条直线必垂直于平面β. ④过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β. A.3 B.2 C.1 D.0 4.已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　 ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 6.(多选题)已知平面α、平面γ、平面β、直线a以及直线b,则下列说法正确的是 (　 ) A.若a∥α,b⊥α,则a⊥b B.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b C.若α∥β,a⊥α,则a⊥β D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β 7.给出下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直; ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中所有真命题的序号是　　　　.   8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1所成的角为　　　　.  9.(13分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC为正三角形,D,E分别是AC,CC1的中点,平面AA1C1C⊥平面ABC,A1E⊥AC1.求证:A1E⊥平面BDE. 10.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面有 (　 ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 11.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法中正确的是 (　 ) A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 12.三棱锥P-ABC的高为PH,若其三个侧面两两垂直,则H为△ABC的　　　　心.  13.[2025·山东济南高一期中] 如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　.  14.(15分)[2025·福建部分高中高一质检] 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是菱形,∠A1AC=60°,在△ABC中,∠BAC=90°,且AB=AC=2,A1B=2. (1)求证:平面A1ACC1⊥平面ABC; (2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值. 15.(15分)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED=,M为棱FC上一点,平面ADM与棱FB交于点N. (1)求证:ED⊥CD. (2)求证:AD∥MN. (3)若AD⊥ED,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直?若能,求出的值;若不能,请说明理由. 第2课时　平面与平面垂直的性质 1.C　[解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. 2.A　[解析] ∵ME⊂平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,且平面AA1B1B⊥平面ABCD,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD,故选A. 3.B　[解析] 对于①,若一平面内的已知直线垂直于另一个平面内的任意一条直线,则已知直线就垂直于另一平面,而一个平面内的直线与另一平面还存在平行和相交两种情况,①错误.对于②,在另一平面内存在无数条与两平面的交线垂直的直线,而这些直线都与第一个平面的已知直线垂直,②正确.对于③,当平面α⊥平面β时,平面α内的直线与平面β还可以平行、在β内、和β斜交, ③错误.对于④,根据面面垂直的性质定理知,④正确.故选B. 4.C　[解析] 因为α∩β=l,所以l⊂α,l⊂β,若 l⊥γ,则α⊥γ,β⊥γ,故充分性成立.若α⊥γ,β⊥γ,设α∩γ=m,β∩γ=n,则存在直线a⊂γ,使得a⊥m,所以a⊥α,由于l⊂α,故a⊥l,同理存在直线b⊂γ,使得b⊥n,所以b⊥β,由于l⊂β,故b⊥l,由于a,b不平行,所以a,b是平面γ内两条相交直线,所以l⊥γ,故必要性成立,故选C. 5.D　[解析] ∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.故选D. 6.ABC　[解析] 对于A, 因为a∥α,b⊥α,所以a⊥b,故A正确;对于B,若两平面平行,且分别与第三个平面相交,则交线平行,故B正确;对于C,因为a⊥α,所以a垂直于平面α内的两条相交直线,又因为α∥β,所以平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行,所以a⊥β,故C正确;对于D,如图所示,在长方体ABCD-EFGH中,令平面ABCD为平面α,平面ADHE为平面γ,平面CDHG为平面β,则满足α⊥γ,β⊥γ,但α∥β不成立,故D错误.故选ABC. 7.②④　[解析] ①中,若这两条直线平行,则这两个平面不一定相互平行,①是假命题;②是面面垂直的判定定理,故是真命题;③中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,如正方体中共顶点的三条棱,故是假命题;易知④是真命题. 8.90°　[解析] 如图,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C,∴BD⊥CC1.所以BD与CC1所成的角为90°. 9.证明:因为△ABC为等边三角形,D是AC的中点,所以BD⊥AC. 又因为平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,所以BD⊥平面AA1C1C. 因为A1E⊂平面AA1C1C,所以BD⊥A1E. 因为D,E分别是AC,CC1的中点,所以DE∥AC1, 又因为A1E⊥AC1,所以A1E⊥DE. 又因为BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所以A1E⊥平面BDE. 10.C　[解析] 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.因为CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又BD⊥CD,AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD,所以平面ABD⊥平面ACD.综上,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ACD,共有3对.故选C. 11.ABC　[解析] 如图,取AD的中点M,连接PM,BM,因为侧面PAD为正三角形,所以PM⊥AD,又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,所以三角形ABD是等边三角形,所以AD⊥BM,又PM∩BM=M,所以AD⊥平面PBM,故A正确;因为AD⊥平面PBM,所以AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;因为AD∥BC,所以BC⊥BM,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊥AD,所以PM⊥平面ABCD,则∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB=1,则BM=,PM=,在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;因为BM⊥PA,所以BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.故选ABC. 12.垂　[解析] 连接AH,BH,CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直,易得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,则有BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB.由BC⊥PA,PH⊥BC,PA∩PH=P,得BC⊥平面PAH,则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH,CA⊥BH,所以H为△ABC的垂心. 13.2　[解析] 如图,取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,所以在Rt△DEC中,CD==2. 14.解:(1)证明:如图①所示,取AC的中点O,连接A1O,BO, 由四边形A1ACC1为菱形,且∠A1AC=60°,得A1O⊥AC,A1O===, 又∵∠BAC=90°,∴BO===,∵A1B=2,∴A1O2+BO2=A1B2,∴A1O⊥BO, 又∵BO∩AC=O,且BO,AC⊂平面ABC,∴A1O⊥平面ABC. ∵A1O⊂平面A1ACC1,∴平面A1ACC1⊥平面ABC. (2)如图②所示,过点A作AH⊥A1C,垂足为H,连接BH,易知H为A1C的中点. 由(1)得平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,AB⊥AC,AB⊂平面ABC, ∴AB⊥平面A1ACC1. ∵A1C⊂平面A1ACC1,∴AB⊥A1C. 又AB,AH⊂平面ABH,且AB∩AH=A,∴A1C⊥平面ABH. ∵A1C⊂平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面ABH, 又平面ABH∩平面A1BC=BH,∴点A在平面A1BC上的射影在BH上,∴∠ABH即为直线AB与平面A1BC所成的角,又AH===,BH===, ∴sin∠ABH===,即直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为. 15.解:(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,所以CD⊥AD. 又因为CD⊥EA,AD∩EA=A,所以CD⊥平面EAD,又ED⊂平面EAD,所以ED⊥CD. (2)证明:因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC, 又因为AD⊄平面FBC,BC⊂平面FBC,所以AD∥平面FBC.又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,AD⊂平面ADMN,所以AD∥MN. (3)平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下: 连接DF,如图. 因为AD⊥ED,AD⊥CD,ED∩CD=D,所以AD⊥平面CDEF, 又DM⊂平面CDEF,所以AD⊥DM. 由(2)知AD∥MN,所以DM⊥MN. 因为平面ADMN∩平面BCF=MN,若使平面ADMN⊥平面BCF,则DM⊥平面BCF,所以DM⊥FC. 在梯形CDEF中,因为EF∥CD,ED⊥CD,CD=2EF=2,ED=,所以DF=DC=2, 所以若使DM⊥FC能成立, 则M为FC的中点,所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $