第八章立体几何初步 滚动习题(三) 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章滚动训练题（三） (时间:45分钟　分值:105分)　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.下列说法中正确的个数是 (　 ) ①若两个平面都与第三个平面垂直,则这两个平面平行; ②若平面α外有两点A,B到平面α的距离相等,则直线AB∥α; ③若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行; ④空间中,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条直线相交.　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图所示,平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,则BC与α的位置关系是 (　 ) A.异面 B.相交 C.平行或相交 D.平行 3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是 (　 ) A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n D.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α 5.如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,则下列结论中错误的是 (　 ) A.∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角 B.∠ABD是二面角A-BC-D的一个平面角 C.线段AC的长是点A到直线BC的距离 D.线段AD的长是点A到平面BCD的距离 6.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,AA1=A1B1=1,则侧棱BB1与底面ABCD所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别在棱AA1,CC1上,AB=AC=AD=A1D=3,CE=2C1E=4,点F在线段BD上,且满足BF=λBD(0<λ<1),若B1E∥平面ACF,则λ的值为 (　 ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 8.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则下面结论错误的是 (　 ) A.α∥β,l∥α B.α与β相交,且交线平行于l C.α⊥β,l⊥β D.α与β相交,且交线垂直于l 9.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为AB的中点,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=2,得到四棱锥P-EBCD,则 (　 ) A.平面PED⊥平面EBCD B.PC⊥ED C.二面角P-DC-B的大小为 D.直线PC与平面PED所成的角的正切值为 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知a,b是两条不同的直线,α是一个平面,给出下列三个论断:①a⊥b;②a⊥α;③b∥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论的真命题为　　　　　　　　　.  11.[2025·上海三林中学高一期中] 如图,已知直角三角形ABC中,两直角边AC=3,BC=4,若EC⊥平面ABC,且EC=1,则点E到直线AB的距离为　　　　.  12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在三棱锥C1-BCD的侧面C1CB上运动,且A1P=,则点P的轨迹的长度是　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 13.(13分)[2025·广州二中高一期中] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AC的中点. (1)证明:AB1∥平面BC1D; (2)设三棱锥A-BC1D的体积为V1,多面体ABDA1B1C1的体积为V2,求. 14.(15分)[2025·长沙望城区一中高一期中] 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=2,E是侧棱PB的中点. (1)证明:AE⊥平面PBC; (2)求直线AB到平面PCD的距离. 15.(15分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,EF∥平面ABCD,EF=1,FB=FC,∠BFC=90°,AE=. (1)求证:EF∥AB; (2)求证:AB⊥平面BCF; (3)求直线AE与平面BDE所成角的正切值. 第八章滚动训练题（三） 1.A　[解析] 如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面相交或平行,故①不正确;若平面α外有两点A,B到平面α的距离相等,如图所示,则直线AB和平面α平行或相交,故②不正确;若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故③不正确;空间中,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面,故④不正确.故选A. 2.D　[解析] 在△ABC中,因为=,所以DE∥BC,又BC⊄平面α,DE⊂平面α,所以BC∥平面α.故选D. 3.C　[解析] 延长B1A1至点E,使A1E=A1B1,连接AE,EC1,则AE∥BA1,∠EAC1或其补角即为异面直线BA1与AC1所成的角.由已知条件可得△AEC1为正三角形,∴∠EAC1=60°,故选C. 4.D　[解析] 对于A,m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,只有直线m与n相交时,可得l⊥α,所以A错误;对于B,由m⊂α,n⊥α,l⊥n,得l与m平行、相交或异面,所以B错误;对于C,由l∥m,m⊥α,n⊥α,得l∥n,所以C错误;对于D,由l∥m,l⊥α,可得m⊥α,又因为m∥n,所以n⊥α,所以D正确.故选D. 5.B　[解析] 对于A,D,因为AD⊥平面BCD,所以∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角,线段AD的长是点A到平面BCD的距离,故A,D中结论正确.对于B,因为AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以BC⊥AD,又BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD,又AC⊂平面ACD,故BC⊥AC,又BC⊥CD,AC⊂平面ABC,CD⊂平面BCD,故二面角A-BC-D的平面角是∠ACD,故B中结论错误.对于C,因为BC⊥AC,所以线段AC的长是点A到直线BC的距离,故C中结论正确.故选B. 6.B　[解析] 过B,B1,D,D1四点作正四棱台的截面图,如图所示,四边形B1BDD1为等腰梯形,过点B1作B1M⊥BD于点M,过点D1作D1N⊥BD于点N.由线面角的定义可知,侧棱BB1与底面ABCD所成角即为∠B1BM.由条件可得,BB1=1,B1D1=,BD=2,则MN=B1D1=,BM=ND=,则B1M==,所以sin∠B1BM==.故选B. 7.A　[解析] 在BB1上取一点G使得B1G=2BG,连接CG,AG,AG与BD的交点即为所求点F(如图所示).证明如下:∵CE=2C1E=4,∴CC1=BB1=6,∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1G∥CE,且B1G=CE=4,∴四边形B1GCE为平行四边形,∴B1E∥CG.∵B1E⊄平面ACG,CG⊂平面ACG,∴B1E∥平面ACG,即B1E∥平面ACF.又△BFG∽△DFA,∴==,∴BF=BD,即λ的值为.故选A. 8.ACD　[解析] 对于A选项,假设α∥β,因为m⊥平面α,n⊥平面β,所以m∥n,这与直线m,n为异面直线矛盾,故A中结论错误;对于C选项,假设l⊥β,因为n⊥平面β,所以n∥l,这与l⊥n矛盾,故C中结论错误;对于B,D选项,设α∩β=a,作b∥m,使得b与n相交,记b与n确定平面γ,如图,因为m⊥平面α,a⊂α,所以m⊥a,又b∥m,故b⊥a,同理,n⊥a,又b与n相交,且b与n确定平面γ,所以a⊥γ,因为l⊥m,b∥m,所以l⊥b,又l⊥n,b与n相交,且b与n确定平面γ,所以l⊥γ,又l⊄α,l⊄β,故l∥a,即α与β的交线平行于l,故B中结论正确,D中结论错误.故选ACD. 9.AC　[解析] 因为PD=AD===2,所以在△PDC中,可得PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD.由题知CD⊥DE,又PD∩DE=D,所以CD⊥平面PED,又CD⊂平面EBCD,所以平面PED⊥平面EBCD,故A选项正确;假设PC⊥ED,则由ED⊥CD,PC∩CD=C,可得ED⊥平面PDC,则ED⊥PD,而∠EDP=∠EDA=,不符合题意,故假设不成立,故B选项错误;易知二面角P-DC-B的平面角为∠PDE,根据题意知∠PDE=∠ADE=,故C选项正确;由上面分析可知,∠CPD为直线PC与平面PED所成的角,在Rt△PCD中,tan∠CPD==,故D选项错误.故选AC. 10.若a⊥α,b∥α,则a⊥b　[解析] 过b作平面β,使得β∩α=c,∵b∥α,b⊂β,β∩α=c,∴b∥c,又a⊥α,c⊂α,∴a⊥c,∴a⊥b. 11.　[解析] 如图,过C作CF⊥AB交AB于F,连接EF.在直角三角形ABC中,两直角边AC=3,BC=4,所以AB===5,由等面积法可得AB·CF=AC·BC, 所以CF===.因为EC⊥平面ABC,CF⊂平面ABC,所以EC⊥CF,又AB⊂平面ABC,所以EC⊥AB,又CF⊥AB,EC⊂平面EFC,CF⊂平面EFC,且EC∩CF=C,所以AB⊥平面EFC,又EF⊂平面EFC,所以EF⊥AB,所以E到直线AB的距离为EF.在Rt△EFC中,EC=1,CF=,所以EF===. 12.π　[解析] 因为A1B1⊥平面BB1C1C,且A1P=,所以点P的轨迹是圆心为B1,半径r===的圆在△BCC1内的部分.取BC1的中点E,连接B1E,则B1E⊥BC1,且B1E=BC1=,设圆弧交BC1于M,N两点,连接B1M,B1N,则sin∠B1ME==×=,所以∠B1ME=,又因为B1M=B1N,所以△B1MN为等边三角形,所以∠MB1N=,故点P的轨迹的长度是r=×=π. 13.解:(1)证明:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,连接CB1,设CB1∩C1B=E,连接DE, 则E为CB1的中点,又D为棱AC的中点,所以DE∥AB1,又AB1⊄平面BC1D,DE⊂平面BC1D, 所以AB1∥平面BC1D. (2)由题知CC1⊥平面ABC,由D为棱AC的中点,得S△ABD=S△ABC,==V1, 故V1=S△ABD·CC1=S△ABC·CC1==(V1+V2),所以=. 14.解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩PA=A,AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 又AE⊂平面PAB,所以AE⊥BC. 因为AP=AB,E是侧棱PB的中点,所以AE⊥PB. 又BC∩PB=B,BC⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC. (2)方法一:因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD, 则直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离. 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD. 因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥CD, 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD, 又PD==2, 则S△PCD=CD·PD=×2×2=2. 连接AC,如图①,设点A到平面PCD的距离为h, 由VP-ACD=VA-PCD可得S△ACD·PA=S△PCD·h,即2×2=2h,解得h=, 所以直线AB到平面PCD的距离为. 方法二:因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD, 则直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离. 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD, 因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥CD, 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 过A作AH⊥PD,垂足为H,如图②. 因为CD⊥平面PAD,AH⊂平面PAD,所以CD⊥AH, 又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD, 所以AH⊥平面PCD,即AH是A到平面PCD的距离. 在Rt△PAD中,PA=AD=2,所以AH=PD=,所以直线AB到平面PCD的距离为. 15.解:(1)证明:因为EF∥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB. (2)证明:取AB的中点M,连接EM,如图,则AM=MB=1, 由(1)知EF∥AB,所以EF∥MB, 又因为EF=MB=1,所以四边形EMBF是平行四边形,所以EM∥FB,且EM=FB. 在Rt△BFC中,FB2+FC2=BC2=4, 又FB=FC,所以FB=,所以EM=. 在△AME中,AE=,AM=1,EM=,所以AM2+EM2=3=AE2,所以AM⊥EM,即AB⊥FB. 因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC, 又FB∩BC=B,FB⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,所以AB⊥平面BCF. (3)连接AC,与BD相交于点O,则点O是AC的中点,取BC的中点H,连接OH,EO,FH, 则OH∥AB,OH=AB=1,由(1)知EF∥AB,且EF=AB,所以EF∥OH,且EF=OH, 所以四边形EOHF是平行四边形,所以EO∥FH,且EO=FH=1. 由(2)知AB⊥平面BCF, 又FH⊂平面BCF,所以FH⊥AB, 又因为FH⊥BC,AB∩BC=B,AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以FH⊥平面ABCD, 所以EO⊥平面ABCD. 又AO⊂平面ABCD,所以EO⊥AO. 因为AO⊥BD,EO∩BD=O,EO⊂平面BDE,BD⊂平面BDE, 所以AO⊥平面BDE, 故∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角. 在Rt△AOE中,tan∠AEO===,所以直线AE与平面BDE所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $