8.6.3第1课时 平面与平面垂直的判定 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 1.已知直线l⊥平面α,则过l与α垂直的平面 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 2.已知α,β表示两个不同的平面,m是一条直线且m⊂α,则m⊥β是α⊥β的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[教材P163习题8.6T6改编] 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,二面角D'-AB-D的大小是 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.若α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β B.若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β C.若α∥β,m⊂α,则m∥β D.若m⊥α,α∥β,n⊥β,则m⊥n 5.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小 (　 ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 6.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.两个相交平面组成的图形叫作二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 7.两个平面互相垂直的判定定理用文字语言表述为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,用符号语言表述为　　　　　　　　.  8.如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面有　　　　对.  9.(13分)[教材P163习题8.6T7改编] 如图,在三棱锥V-ABC中,已知∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,求证:平面VAB⊥平面VBC. 10.如图,在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α-l-β的余弦值为 (　 ) A. B.- C. D.- 11.(多选题)如图所示,AB是☉O的直径,VA垂直于☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是 (　 ) A.MN⊥BC B.MN与BC所成的角为45° C.BC⊥平面VAC D.平面VAC⊥平面VBC 12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,点E,F分别在棱AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C的大小为45°,则BF=　　　　.  13.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则平面ADC与平面BDE的位置关系是　　　　.  14.(15分)[教材P171T14改编] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,M是PD的中点. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)求证:AM⊥平面PCD; (3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 15.在正n(n≥3且n∈N*)棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (　 ) A. B. C.(0,2π) D. 16.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到达点P的位置,且PE⊥EB,得到四棱锥P-BCDE,已知M为棱PB的中点,N为棱BC上的动点(与点B,C不重合). (1)证明:平面EMN⊥平面PBC. (2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由. 8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 1.C　[解析] 由面面垂直的判定定理知,任何过l的平面都垂直于平面α,所以这样的平面有无数个.故选C. 2.A　[解析] 由平面与平面垂直的判定定理知,m为平面α内的一条直线,若m⊥β,则α⊥β,故充分性成立;反过来,m为平面α内的一条直线,由α⊥β可能有m∥β或m⊥β或m与β相交(不垂直)三种情况,故必要性不成立.所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选A. 3.B　[解析] 如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A',因为AD⊂平面ADD'A',AD'⊂平面ADD'A',所以AB⊥AD,AB⊥AD',又平面ABCD∩平面ABC'D'=AB,则∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角,又因为四边形ADD'A'为正方形,所以∠D'AD=45°,即二面角D'-AB-D的大小是45°.故选B. 4.C　[解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥C1D1,C1D1∥平面DCB1A1,但是平面ABCD与平面DCB1A1不垂直,A错误;平面ABB1A1与平面AA1C1C都垂直于平面ABCD,但它们之间不垂直,B错误;若α∥β,则α与β没有公共点,又m⊂α,所以m与平面β也没有公共点,所以m∥β,C正确;AA1⊥平面ABCD,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面A1B1C1D1,但AA1与DD1不垂直,D错误.故选C. 5.D　[解析] 如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,平面HDG⊥平面BCD,所以二面角A-BC-D的两个半平面分别垂直于二面角E-GD-H的两个半平面.当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直.因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定. 6.BD　[解析] 由二面角的定义知,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,所以A不正确;由于a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故B正确;C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故C不正确;由定义知D正确.故选BD. 7.如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直　a⊂α,a⊥β⇒α⊥β 8.5　[解析] 因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以DA⊥平面PAB,所以BC⊥平面PAB,同理AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对. 9.证明:∵∠VAB=∠VAC=90°,∴VA⊥AB,VA⊥AC, 又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC, ∴VA⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC. 又∠ABC=90°,∴AB⊥BC, 又VA∩AB=A,∴BC⊥平面VAB, 又BC⊂平面VBC,∴平面VAB⊥平面VBC. 10.A　[解析] 如图,在平面β内,过A作BD的平行线,过点D作l的平行线,两直线交于点E,连接CE.∵BD⊥l,∴AE⊥l,∴AE⊥ED,又AC⊥ED,AE∩AC=A,∴ED⊥平面CAE,∴ED⊥CE.又AC⊥l,∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角.易知四边形ABDE为矩形,得EA=2,ED=1.在Rt△CED中,由勾股定理得CE==2,∴△ACE是等边三角形,∴∠CAE=60°,∴cos∠CAE=,∴二面角α-l-β的余弦值为.故选A. 11.ACD　[解析] 对于选项A,AB是☉O的直径,则CA⊥CB,又M,N分别为VA,VC的中点,则MN∥AC,则MN⊥CB,故A正确;对于选项B,由MN⊥CB可得MN与BC所成的角为90°,故B错误;对于选项C,因为VA垂直于☉O所在的平面,所以VA⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,则VA⊥BC,又CA⊥CB,VA∩CA=A,VA,CA⊂平面VAC,所以CB⊥平面VAC,故C正确;对于选项D,由CB⊥平面VAC,CB⊂平面VBC,可得平面VAC⊥平面VBC,故D正确.故选ACD. 12.1　[解析] 易知二面角C1-EF-C的平面角为∠C1FC=45°,∴在Rt△C1FC中,CC1=CF=1,∴BF=BC-CF=1. 13.垂直　[解析] 因为AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,所以BE⊥AC,DE⊥AC,又BE∩DE=E,BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE. 14.解:(1)证明:∵CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)证明:∵CD⊥平面PAD, AM⊂平面PAD,∴CD⊥AM. 又△PAD是正三角形,M是PD的中点,∴AM⊥PD. 又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,∴AM⊥平面PCD. (3)取BC,AD的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF, 由题意知PA=PD,AB=CD,∵底面ABCD为正方形, ∴AB∥CD,又CD⊥平面PAD, ∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA, 同理CD⊥PA,∴∠PAB=∠PDC=90°, ∴△PAB≌△PDC,∴PB=PC,∴PE⊥BC, 又EF⊥BC,∴∠FEP为侧面PBC与底面ABCD所成的二面角. 易知EF∥CD,则EF⊥平面PAD, 又PE⊂平面PAD,所以EF⊥PE. 设正方形ABCD的边长为a,可得EF=a,PB=a, ∴PE=a,∴cos∠FEP==, 即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为. 15.B　[解析] 设正n棱锥的顶点为P,底面为α,高为h,相邻两侧面所成的二面角为θ.考虑顶点P的两个无限趋近的情形.当顶点P无限趋近于底面α时,正n棱锥无限趋近为底面正n边形,这时相邻两侧面所成的二面角无限趋近于平面,即θ→π;当顶点P向上趋近于无限高时,正n棱锥就无限趋近于正n棱柱,这时相邻两侧面所成的二面角为正n边形的内角,即θ→π.由以上,应排除A,C,D.故选B. 16.解:(1)证明:因为PE⊥ED,PE⊥EB,EB∩ED=E, 所以PE⊥平面EBCD, 又BC⊂平面EBCD,所以PE⊥BC. 因为BC⊥EB,EB∩PE=E, 所以BC⊥平面PEB, 又EM⊂平面PEB,所以BC⊥EM. 因为PE=EB,PM=MB,所以EM⊥PB, 又BC∩PB=B,所以EM⊥平面PBC. 因为EM⊂平面EMN, 所以平面EMN⊥平面PBC. (2)假设存在点N满足题意,过M作MQ⊥EB于Q, 因为PE⊥EB,所以PE∥MQ, 由(1)知PE⊥平面EBCD,所以MQ⊥平面EBCD, 又EN⊂平面EBCD,所以MQ⊥EN. 过Q作QR⊥EN于R,连接MR, 因为MQ∩QR=Q,所以EN⊥平面MQR, 又MR⊂平面MQR,所以EN⊥MR, 所以∠MRQ为二面角B-EN-M的平面角. 不妨设PE=EB=BC=2,则MQ=1, 在Rt△EBN中,设BN=x(0<x<2), 因为Rt△EBN∽Rt△ERQ,所以=, 所以=,得RQ=, 所以tan∠MRQ===,可得x=1,此时N为BC的中点. 综上,存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为,此时N为BC的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $