8.6.2第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质 1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.40° B.50° C.90° D.150° 2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l与B1B所在直线不重合,直线l⊥平面A1B1C1D1,则有 (　 ) A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面 D.B1B与l相交 4.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD= (　 ) A.2 B.1 C. D. 5.教室里有一把直尺,无论怎样放置,地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持 (　 ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面 6.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若直线l1⊥平面α,直线l2⊥平面α,则l1∥l2 C.直线l与平面α所成角的取值范围是 D.若直线l与平面α所成的角为θ,直线l与平面α内的直线m所成的角为φ,则总有θ<φ 7.[教材P155练习T1] 已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是　　　　.  8.[2025·上海复旦大学附中高一期末] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为AB的中点,则直线D1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为　　　　.  9.(13分)[教材P155练习T2] 已知A,B两点在平面α的同侧,且它们与α的距离相等,求证:直线AB∥α. 10.如图所示,一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成,提竿平行于圆柱的底面,O为上底面圆的圆心,在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A,B,AB与圆柱的底面不垂直,则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中,直线PQ与直线AB垂直的次数为 (　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 11.(多选题)如图,在四面体PABC中,△PAB∽△PBC,∠APB=,PA⊥AB,AB⊥BC,AB=1,E,F分别为棱PB,PC上的动点,则下列选项正确的是 (　 ) A.AE+EF的最小值为 B.PA⊥平面ABC C.直线CP与平面PAB所成的角为 D.四面体PABC的体积为 12.已知l,m是平面α外的两条不同直线,给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题:　　　　.(用序号表示)  13.如图,已知点A∈平面α,点O∈α,直线a⊂α,点P∉α且PO⊥α,则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  14.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C与AC1交于点O,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点. (1)证明:AD⊥平面BCC1B1; (2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值. 15.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影.若PA,PB,PC与平面ABC所成的角相等,则O是△ABC的　　　　心.  16.(15分)如图,已知矩形ABCD中,AB=1,AD=,M为AD的中点,现分别沿BM,CM将△ABM和△DCM翻折,使点A,D重合,记为点P. (1)求证:BC⊥PM; (2)求直线BC与平面PMC所成角的正弦值. 第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质 1. B　[解析] 若两条直线平行,则它们与同一个平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B. 2.C　[解析] 如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影,则BC=AB,∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角.在Rt△ABC中,cos∠ABC==,所以∠ABC=60°,即AB所在直线与平面α所成的角为60°. 3.B　[解析] 因为B1B⊥平面A1B1C1D1,l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B. 4.A　[解析] 因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以=.因为OA=AB,所以=.因为AC=1,所以BD=2.故选A. 5.B　[解析] ①当直尺所在直线与地面垂直时,地面上的所有直线都与直尺所在直线垂直,则地面上存在直线与直尺所在直线垂直;②当直尺所在直线与地面相交但不垂直时,直尺所在的直线必在地面上有一条射影,在地面上一定存在与此射影垂直的直线,易知与射影垂直的直线一定与此斜线垂直,则地面上总有直线与直尺所在的直线垂直;③当直尺所在直线与地面平行或在地面内时,易知地面上一定存在直线与直尺所在直线垂直.综上,直尺无论怎样放置,地面上总有与直尺所在直线垂直的直线.故选B. 6.BC　[解析] 对于A,若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能相交、平行或异面,故A错误.对于B,两直线同时垂直于同一平面,根据线面垂直的性质定理可知两直线平行,故B正确.对于C,当直线在平面内或者直线与平面平行时,直线与平面所成的角为0;当直线与平面斜交时,直线与平面所成角的取值范围是;当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为.所以直线l与平面α所成角的取值范围为,故C正确.对于D,根据线面角的定义可知,直线l与平面α内的直线m所成角中的最小角为θ,所以θ≤φ,故D错误.故选BC. 7.b∥α或b⊂α　[解析] 若a⊥b,a⊥α,则当b在平面α外时,b∥α;当b在平面α内时,也满足条件.所以b∥α或b⊂α. 8.　[解析] 因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1,所以直线D1E与平面BCC1B1所成的角即D1E与平面ADD1A1所成的角.连接AD1,由正方体的性质可知EA⊥平面ADD1A1,故∠AD1E是D1E与平面ADD1A1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,在Rt△EAD1中,cos∠AD1E===,所以直线D1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为. 9.证明:过点A,B分别作AC⊥α,BD⊥α,分别交α于点C,D,连接CD, ∵A,B与α的距离相等,即AC=BD, 又AC⊥α,BD⊥α,∴AC∥BD, ∴四边形ABDC为平行四边形, ∴AB∥CD, 又AB⊄α,CD⊂α,∴AB∥α. 10.A　[解析] 如图,作出平面CDEF,使得PQ⊥平面CDEF,当PQ⊥AB时,AB∥平面CDEF或AB⊂平面CDEF,结合旋转分析可知,有2次使得PQ⊥AB.故选A. 11.BCD　[解析] 对于B,由△PAB∽△PBC,∠APB=,PA⊥AB,得∠CPB=,PB⊥BC,又AB⊥BC,且PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,所以 BC⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥BC,又因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC,B正确;对于C,由选项B知,BC⊥平面PAB,故∠CPB为直线CP与平面PAB所成的角,为,C正确;对于D,由AB=1,∠APB=,PA⊥AB得PA=,PB=2,由∠CPB=,PB⊥BC得BC=,因为AB⊥BC,所以S△ABC=×1×=,所以四面体PABC的体积为S△ABC·PA=××=,D正确;对于A,如图,将侧面PBC与侧面PAB展开在同一平面内,由题意得,∠APC=,过A作AF⊥PC于点F,交PB于点E,则AE+EF的最小值为AF=PAsin=,A错误.故选BCD. 12.②③⇒①(或①③⇒②)　[解析] 若l⊥α,m∥α,则l垂直于α内所有直线,在α内必存在与m平行的直线,所以可推出l⊥m;若l⊥m,l⊥α,m⊄α,则m∥α.故填②③⇒①(或①③⇒②). 13.充要　[解析] 因为PO⊥α,a⊂α,所以PO⊥a.当直线a⊥直线OA时,因为PO,OA⊂平面POA,PO∩OA=O,所以a⊥平面POA,又PA⊂平面POA,所以直线a⊥直线PA,充分性成立;当直线a⊥直线PA时,因为PO,PA⊂平面POA,PO∩PA=P,所以a⊥平面POA,又OA⊂平面POA,所以直线a⊥直线OA,必要性成立.故“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件. 14.解:(1)证明:因为AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点,所以AD⊥BC, 又AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1,所以CC1⊥平面ABC, 又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD, 又BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. (2)如图,取B1C1的中点E,连接A1E,CE,DE, 则DE∥BB1且DE=BB1, 又AA1∥BB1且AA1=BB1, 所以DE∥AA1且DE=AA1, 所以四边形EDAA1为平行四边形, 所以AD∥A1E, 又AD⊥平面BCC1B1,所以A1E⊥平面BCC1B1, 所以∠A1CE为直线A1C与平面BCC1B1所成的角. 因为A1E⊥平面BCC1B1,CE⊂平面BCC1B1, 所以A1E⊥CE, 设AB=BC=AC=AA1=2,则A1E==,A1C==2, 所以sin ∠A1CE===,则直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 15.外　[解析] 连接OA,OB,OC.因为O为P在平面ABC上的射影,所以PO⊥平面ABC,又OA,OB,OC⊂平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC=.因为PO⊥平面ABC,所以∠PAO,∠PBO,∠PCO分别为PA,PB,PC与平面ABC所成的角.由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO,所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心. 16.解:(1)证明:方法一:由题知BA⊥AM,CD⊥DM,则BP⊥PM,CP⊥PM, 又BP∩CP=P,所以PM⊥平面BPC, 又BC⊂平面BPC,所以BC⊥PM. 方法二:由题可得BP=AB=1,CP=CD=1. 如图,取BC的中点Q,连接PQ,MQ, ∵BP=CP=1,BM=CM=,Q为BC的中点,∴BC⊥PQ,BC⊥MQ, 又MQ⊂平面PMQ,PQ⊂平面PMQ,MQ∩PQ=Q, ∴BC⊥平面PMQ, 又PM⊂平面PMQ,∴BC⊥PM. (2)∵BP=CP=1,BC=AD=, ∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC. ∵PB⊥PM,PM∩PC=P,PM⊂平面PMC,PC⊂平面PMC, ∴PB⊥平面PMC,∴∠BCP为直线BC与平面PMC所成的角. ∵sin∠BCP===,∴直线BC与平面PMC所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $