8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 1.已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.l⊥m B.l∥m C.l,m异面 D.l,m相交但不垂直 2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 (　 ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不确定 3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 (　 ) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 4.如图,在圆柱OO'中,AA'是母线,AB是底面圆O的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点, 则 (　 ) A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点C到平面BDD1B1的距离为 (　 ) A.1 B. C.2 D.2 6.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 (　 ) A B C D 7.将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面所在平面α的位置关系为　　　　　.  8.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b的基础上另外添加的条件是　　　　　.  9.(13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=.求证:PA⊥平面ABCD. 10.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 (　 ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 11.(多选题)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AC与EF交于点G.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有 (　 ) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.EF⊥平面AGH D.HG⊥平面AEF 12.如图,AC是圆O的直径,B是异于A,C两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则在△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,有　　　　个直角三角形.  13.如图,一块正方体木料的上底面有一点E,经过点E在上底面画一条直线与CE垂直, 写出作该直线的方法:　　　　　　　　　　　　　　　.  14.(15分)[2025·河北邢台质检联盟高一期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AA1=2,E为棱DD1的中点.证明:AE⊥平面A1CD. 15.《九章算术》中,称底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 (　 ) A.8 B.16 C.24 D.28 16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=6,E是棱PB上任意一点. (1)求证:AC⊥DE; (2)求证:当△AEC的面积取得最小值9时,EC⊥平面PAB. 8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 1.A　[解析] 根据线面垂直的定义,若直线与平面垂直,则直线垂直于该平面内的任意一条直线,因此l⊥m,故选A. 2.B　[解析] 一条直线和三角形的两边同时垂直,则其垂直于三角形所在平面,从而垂直于第三边.故选B. 3.C　[解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.故选C. 4.A　[解析] ∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是底面圆O的直径,∴BC⊥AC.∵AA'⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA'⊥BC,又AA'∩AC=A,AA'⊂平面A'AC,AC⊂平面A'AC,∴BC⊥平面A'AC.故选A. 5.B　[解析] 如图,连接AC交BD于点E,因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,且E为AC的中点.因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.因为BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1,所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以由勾股定理可得AC==2,显然CE=.故选B. 6.BD　[解析] 对于A,易得AB与CE所成的角为45°,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于B,易得AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;对于C,易得AB与CE所成的角为60°,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,如图,设正方体的上底面为EFDB,连接BF,由正方形的性质可得DE⊥BF,而AF⊥平面EFDB,可得AF⊥DE,且BF∩AF=F,则DE⊥平面ABF,即有DE⊥AB,同理可得AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.故选BD. 7.垂直　[解析] 由题意知AB⊥BC,AB⊥BE,且BC⊂平面α,BE⊂平面α,又BC∩BE=B,所以AB⊥平面α. 8.a与b相交　[解析] 由线面垂直的判定定理可知,另外添加的条件是“a与b相交”. 9.证明:因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA=1,PD=, 所以PD2=PA2+AD2,所以PA⊥AD. 又PA⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. 10.B　[解析] ∵PB⊥α,AC⊂α,∴PB⊥AC.∵PC⊥AC,PB∩PC=P,∴AC⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,故△ABC为直角三角形.故选B. 11.BC　[解析] 根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,由直线与平面垂直的判定定理,可得AH⊥平面EFH,故B正确;过A只有一条直线与平面EFH垂直,故A不正确;由题知AC⊥EF,所以AG⊥EF,EF⊥GH,所以由直线与平面垂直的判定定理,可得EF⊥平面AGH,故C正确;由题知GH=AH,AG=AH,GH2+AG2=AH2≠AH2,所以HG与AG不垂直,所以HG与平面AEF不垂直,故D不正确.故选BC. 12.4　[解析] 由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC,故△PAB,△PAC为直角三角形.由AC是圆O的直径,得∠ABC=90°,即AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形.因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,则BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形. 13.连接C1E,在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线 　[解析] 设经过点E在上底面所画与CE垂直的直线为l,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知CC1⊥平面A1B1C1D1,又l⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥l,连接C1E,因为CE⊥l,CC1,CE是平面CC1E内的两条相交直线,所以l⊥平面CC1E,又C1E⊂平面CC1E,所以l⊥C1E,所以在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线即可. 14.证明:如图,记AE∩A1D=F. 因为AA1=2,E为棱DD1的中点,所以DE=,则==. 因为∠ADE=∠DD1A1=90°, 所以△ADE∽△DD1A1, 所以∠DAE=∠D1DA1. 因为∠D1DA1+∠ADF=90°, 所以∠DAE+∠ADF=90°, 所以∠AFD=90°,即AE⊥A1D. 由长方体的性质可知CD⊥平面ADD1A1, 因为AE⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AE. 因为A1D⊂平面A1CD,CD⊂平面A1CD,且A1D∩CD=D,所以AE⊥平面A1CD. 15.C　[解析] 如图,连接A1C1,A1D1,A1F1,A1G1,B1E1,AC,AD,AF,AG,BE.根据题意可得,该正八棱柱的底面边长都相等,且底面的每个内角都为135°,∠HAG=∠BAC=22.5°,∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG,AD⊥AH,又因为AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,又AA1∩AB=A,所以AF⊥平面AA1B1B,又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以以矩形A1ABB1为底面的阳马有4个;同理,AG⊥平面AA1C1C,以矩形AA1C1C为底面的阳马有4个;AH⊥平面AA1D1D,以矩形AA1D1D为底面的阳马有4个;AB⊥平面AA1F1F,以矩形AA1F1F为底面的阳马有4个;AC⊥平面AA1G1G,以矩形AA1G1G为底面的阳马有4个;AD⊥平面AA1H1H,以矩形AA1H1H为底面的阳马有4个.故共有24个阳马.故选C. 16.证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD, 又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,又BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PDB,所以AC⊥平面PDB. 因为E为棱PB上任意一点,所以DE⊂平面PBD,所以AC⊥DE. (2)设AC与BD相交于点F,连接EF, 如图,由(1)知AC⊥平面PDB, 因为EF⊂平面PBD,所以AC⊥EF, 则S△ACE=AC·EF,当△AEC的面积最小时,EF最小,则EF⊥PB. 由S△ACE=×6×EF=9,解得EF=3. 由PB⊥EF且PB⊥AC,EF∩AC=F,EF,AC⊂平面AEC,得PB⊥平面AEC, 又EC⊂平面AEC,则PB⊥EC. 由EF=AF=FC=3,得EC⊥AE. 又PB∩AE=E,PB,AE⊂平面PAB,所以EC⊥平面PAB. 《》 学科网（北京）股份有限公司 $