8.6.1直线与直线垂直 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 1.若异面直线a和b所成的角为θ,则θ的取值范围是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.(0,π) C. D.(0,π] 2.[2025·云南昆明十中高一月考] 若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　 ) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,与AC垂直且异面的有 (　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.[2025·湖南长沙雅礼教育集团高一期中] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)在四面体ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成的角的大小可能为 (　 ) A.15° B.25° C.65° D.75° 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AB垂直的棱有　　　　条.  8.[教材P148练习T3改编] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=2,则异面直线AD和A1C1所成的角的大小为　　　　,异面直线AA1和B1C所成的角的大小为 　　　　.  9.(13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=4,BC=6. (1)在该棱锥的6条棱所在的直线中,共有多少对异面直线?请一一列出. (2)若棱PB的中点为M,棱AC的中点为N,MN=4,求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. 10.[2025·山东济宁一中高一段考] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,点E为四边形ABB1A1的中心,点F为棱CC1的中点,则异面直线BF与CE所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)如图,在四面体ABCD中,点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,截面PQMN是正方形,则下列结论正确的是 (　 ) A.AC⊥BD B.AC∥平面PQMN C.AC=CD D.异面直线PM与BD所成的角为45° 12.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　.  13.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF;②AB与MN所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.其中正确的是　　　　.(填序号)  14.(15分)[2025·山东济南高一期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为4,D是AB的中点. (1)求证:BC1∥平面A1DC; (2)求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值. 15.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足D1P与直线CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积为　　　　.  16.(15分)空间中A,B,C,D四点任意两点间的距离都等于a,E为BC的中点,在由A,B,C,D确定的四个等边三角形中,求与AE异面的三角形中线与AE所成角的余弦值. 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 1.C　[解析] 根据异面直线的概念可得,θ的取值范围是,故选C. 2.B　[解析] ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.,故选B. 3.B　[解析] 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,则在该直三棱柱的所有棱中,与AC垂直且异面的有A1B1和BB1,共2条.故选B. 4.C　[解析] 连接BD,A1D,A1B,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,又A1B1􀰿DC,∴四边形A1B1CD为平行四边形,∴A1D∥B1C,∴∠A1DB或其补角是异面直线B1C与EF所成的角.在△A1BD中,∵A1B=A1D=BD,∴∠A1DB=60°,∴异面直线B1C与EF所成的角的大小为60°,故选C. 5.C　[解析] 如图所示,连接B1C.∵A1B1∥AB ,∴∠B1A1C或其补角即为异面直线A1C与AB所成的角.∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AC=BC=1,∴A1C=,B1C=,AB=A1B1=.在△B1A1C中,∵A1B1=A1C=B1C=,∴△B1A1C是正三角形,∴∠B1A1C=.故选C. 6.AD　[解析] 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,GF∥CD且GF=CD,由AB=CD,知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG,知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.∴EF与AB所成的角的大小为15°或75°.故选AD. 7.8　[解析] 与AB垂直的棱有AA1,BB1,CC1,DD1,AD,BC,A1D1,B1C1,共8条. 8.45°　60°　[解析] 因为AD∥A1D1,所以∠D1A1C1是异面直线AD和A1C1所成的角.在Rt△A1D1C1中, A1D1=2,D1C1=2,所以∠D1A1C1=45°,因此,异面直线AD和A1C1所成的角是45°.因为AA1∥BB1,所以∠BB1C是异面直线AA1和B1C所成的角.在Rt△B1BC中,BB1=AA1=2, BC=AD=2,所以B1C=4,∠BB1C=60°.因此,异面直线AA1和B1C所成的角为60°. 9.解:(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中,共有3对异面直线,分别是PA与BC,PB与AC,PC与AB. (2)如图,取AB的中点O,连接OM,ON,因为PB的中点为M,AC的中点为N,所以OM∥PA,ON∥BC,所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角. 因为PA=4,BC=6,所以OM=2,ON=3,又MN=4,所以在△MON中,由余弦定理可得cos∠MON===-,所以异面直线PA与BC所成的角的余弦值为. 10.B　[解析] 如图所示,取A1B1的中点G,连接FG,EG,因为点E为四边形ABB1A1的中心,所以EG∥CF,且EG=CF,所以四边形CFGE为平行四边形,所以FG∥CE,所以∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角.设该三棱柱的底面边长为2,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,所以3×2AA1=2××22×6,所以AA1=6.连接BG,则BG==,BF==,FG==2.在△BFG中,由余弦定理得cos∠BFG===-,所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为,故选B. 11.ABD　[解析] 因为P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,所以PQ∥AC∥MN,因为AC⊄平面PQMN,MN⊂平面PQMN,所以AC∥平面PQMN,故B正确;同理可证PN∥BD∥MQ,由题知PN⊥NM,所以AC⊥BD,故A正确;又∠PMQ=45°,所以异面直线PM与BD所成的角为45°,故D正确;AC和 CD不一定相等,故C错误.故选ABD. 12.5　[解析] 取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,又PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5. 13.①②③　[解析] 把正方体的平面展开图还原成正方体,如图.对于①,连接MC,易知MC∥AB,又四边形CEMF为正方形,所以MC⊥EF,则AB⊥EF,①正确;对于②,∠NMC或其补角为AB与MN所成的角,连接NC,易知MN=NC=MC,所以∠NMC=60°,②正确;对于③,MN⊂平面FNBM,F∈平面FNBM,E∉平面FNBM,F∉MN,所以EF与MN是异面直线,③正确;对于④,连接EA,易知EA∥MN,EA⊥CD,所以MN⊥CD,④错误.故填①②③. 14.解:(1)证明:连接AC1交A1C于O,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为4, 所以四边形AA1C1C是正方形,所以O是AC1的中点, 又D是AB的中点,所以OD∥BC1, 又OD⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1DC,所以BC1∥平面A1DC. (2)由(1)可知OD∥BC1,因此异面直线A1D与BC1所成的角为∠A1DO(或其补角). 因为四边形AA1C1C是正方形, 所以A1O=A1C==2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为4,所以四边形BB1C1C是正方形, 所以OD=BC1==2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1D===2, 由余弦定理可知cos∠A1DO==, 因此sin∠A1DO===. 15.　[解析] 由题意知DD1∥CC1,要使D1P与直线CC1所成角的大小为,只需D1P与直线DD1所成角的大小为,∴∠DD1P=,又DD1=1,DD1⊥DP,∴DP=.如图所示,P的轨迹是以D为圆心,为半径的四分之一圆,∴线段DP扫过的面积为××π=. 16.解:如图①所示,AE与中线BF为异面直线. 连接DE,取DE的中点G,连接FG,BG,则GF∥AE,所以∠BFG或其补角是异面直线AE与BF所成的角. 又GF=a,BF=a,BG==a, 则cos∠BFG==, 所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为. 如图②所示,AE与中线DH为异面直线. 取BE的中点I,连接HI,DI,DE,则HI∥AE,所以∠IHD或其补角是异面直线AE与DH所成的角. 又DH=a,HI=a, DI===a, 则cos∠IHD==, 所以异面直线AE与DH所成角的余弦值为. 如图③所示,AE与中线CJ为异面直线. 取BJ的中点K,连接EK,AK,AJ,则EK∥CJ,所以∠AEK或其补角是异面直线AE和CJ所成的角. 又AE=a,EK=a,AK==a, 则cos∠AEK==, 所以异面直线AE与CJ所成角的余弦值为. 同理,易知其他与AE异面的中线与AE所成角的余弦值也为或. 综上,与AE异面的三角形中线与AE所成角的余弦值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $