8.5.3第2课时平面与平面平行的性质 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　平面与平面平行的性质 1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A1B1C1D1=E1F1,则EF与E1F1的位置关系是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 2.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中 (　 ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 3.给出下列说法: ①若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另外一个平面相交; ②若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,则必平行于另一个平面; ③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. 其中正确说法的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.0 4.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 (　 ) A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,m⊂α,n⊂β,下列结论中正确的是 (　 ) A.若m∥n,则α∥β B.若α∥β,则m∥n C.若m与n不相交,则α∥β D.若α∥β,则m与n不相交 6.(多选题)如图所示,平面α∥平面β,AB⊂α,CD⊂β,且AB=1,CD=3,连接CA,DB并延长,设CA∩DB=P,若PA=2,则 (　 ) A.CD∥α B.AC=4 C.PB=1 D.= 7.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,则“m∥β”是“α∥β”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  8.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　.  9.(13分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面为四边形CDEF,其中E在棱A1D1上,F在棱B1C1上,且EF=DC,证明:AD∥BC. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时,点E (　 ) A.与点D重合 B.与点D1重合 C.为棱DD1的中点 D.为棱DD1靠近点D的三等分点 11.(多选题) 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别在棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1上,且平面AMN∥平面EFDB,下列结论正确的是 (　 ) A.MN∥EF B.EF∥BD C.AN∥DF D.BE∥平面AMN 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M(不与点B重合)在正方体的表面上运动,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹长度为　　　　.  13.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'交于点O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为　　　　.  14.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点. (1)求证:平面A1C1G∥平面BEF; (2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点. 15.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=　　　　;ED与AF相交于点H,则GH=　　　　.  16.(15分)[2025·河北邢台一中高一月考] 一个正三棱台木块ABC-A1B1C1如图所示,已知2AC=3A1C1=6,点O在平面ABC内且为△ABC的重心. (1)证明:BB1∥平面OA1C1. (2)设平面OA1C1∩平面ABC=l,试判断直线AC与l的位置关系,并给出证明. (3)在棱台的底面A1B1C1上(包括边界)是否存在点M,使得直线OM∥平面ACC1A1?若存在,说明点M的轨迹,并进行证明;若不存在,说明理由. 第2课时　平面与平面平行的性质 1.A　[解析] 由面面平行的性质定理易得EF∥E1F1,故选A. 2.D　[解析] 由于α∥β,a⊂α,M∈β,过点M有且只有一条直线与a平行,故D正确.故选D. 3.C　[解析] 易知①②③正确,故选C. 4.A　[解析] 根据题意,如图.α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,根据面面平行的性质定理可得m∥n.同理可得其他几条交线相互平行,故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.故选A. 5.D　[解析] 若m∥n,则α,β可能平行,也可能相交,故A不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故B不正确;若m与n不相交,则α,β可能平行,也可能相交,故C不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故m与n不相交,故D正确.故选D. 6.AB　[解析] 对于A,因为平面α∥平面β,CD⊂平面β,所以CD∥平面α,故A正确;对于B,设由PC与PD所确定的平面为γ,因为平面α∥平面β,平面α∩平面γ=AB,平面β∩平面γ=CD,所以AB∥CD,所以=,即=,解得AC=4,故B正确;对于C,假设PB=1,则PB+AB=PA,这与三角形三边关系定理相矛盾,故C错误;对于D,假设=,则=,而由AB∥CD可得=,但PB与PC长度关系不确定,故D错误.故选AB. 7.必要不充分　[解析] 由直线m⊂α且m∥β,可得α∥β或α与β相交,所以充分性不成立;反之,若m⊂α且α∥β,根据两平面平行的性质,可得m∥β,所以必要性成立.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 8.平行四边形　[解析] ∵平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,∴EF∥HG.同理,EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形. 9.证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 又平面ABCD∩平面α=CD,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,所以EF∥CD. 又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD, 所以C1D1∥EF且C1D1=EF, 则四边形EFC1D1是平行四边形, 所以D1E∥C1F,即A1D1∥B1C1, 又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC. 10.A　[解析] 连接B1D1,BD,设B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,连接ME,MD,B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B1O,平面 A1EC1∩平面BDD1B1=ME,∴B1O∥ME.易知四边形B1MDO为平行四边形,∴B1O∥MD,∴点E与点D重合. 11.ABD　[解析] 因为平面AMN∥平面EFDB,平面A1B1C1D1与平面EFDB和平面AMN都相交,MN,EF是交线,所以MN∥EF,故A正确;因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面EFDB与这两个平行平面都相交,EF,BD是交线,所以EF∥BD,故B正确;如图,在平面ADD1A1内,过D1作D1H∥AN,交AD于H,易知D1H与DF是异面直线,假设AN∥DF,则D1H∥DF,与D1H与DF是异面直线矛盾,假设不成立,故C错误;因为平面AMN∥平面EFDB,BE⊂平面EFDB,所以BE∥平面AMN,故D正确.故选ABD. 12.9　[解析] 连接A1B,BC1,A1C1,易证平面BA1C1∥平面ACD1,又点M是该正方体表面上一动点,且BM∥平面AD1C,所以点M在△A1C1B的边上(除点B外),所以轨迹的长度为3×3=9. 13.　[解析] 因为AA',BB'相交于点O,所以AA',BB'确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A'B',则AB∥A'B',故===,同理可得AC∥A'C',==,BC∥B'C',==,所以△ABC∽△A'B'C',且=,又S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×2×2×=,所以S△A'B'C'=. 14.证明:(1)∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G. 又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG,又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G. 又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G∩平面ABC=GH,∴A1C1∥GH,得GH∥AC, ∵G为AB的中点,∴H为BC的中点. 15.1　　[解析] 连接EF.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,且AB=CD.又E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,所以四边形AEFD为平行四边形,所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,故λ=1.因为PA=AB=PB=2,所以PE=,GH=PE=. 16.解:(1)证明:如图①,设A1C1,AC的中点分别为F,G,连接B1F,BG,易得B1F∥BG. 因为2AC=3A1C1=6,即AC=3,A1C1=2,所以B1F=,BG=, 又点O为△ABC的重心,所以BO=×=,所以B1F与BO平行且相等,即四边形FB1BO为平行四边形,则BB1∥OF. 又BB1⊄平面OA1C1,OF⊂平面OA1C1,所以BB1∥平面OA1C1. (2)直线AC与l平行. 证明如下:因为AC∥A1C1,AC⊄平面OA1C1,A1C1⊂平面OA1C1,所以AC∥平面OA1C1,又AC⊂平面ABC,平面ABC∩平面OA1C1=l,所以AC∥l. (3)如图②,分别取B1C1,A1B1的中点K,L,则当点M∈KL时,有OM∥平面ACC1A1.证明如下: 由K,L分别为B1C1,A1B1的中点,得KL∥A1C1,过点O作AC的平行线,分别交BC,BA于点E,D, 因为DE∥AC,A1C1∥AC,所以KL∥DE,即D,E,K,L四点共面. 又因为2AC=3A1C1=6,点O为△ABC的重心, 所以CE=BC=×B1C1=B1C1=C1K=1, 又由正三棱台ABC-A1B1C1的性质得CE∥C1K,故四边形CEKC1为平行四边形,故EK∥CC1. 因为EK⊄平面ACC1A1,CC1⊂平面ACC1A1,所以EK∥平面ACC1A1,同理DE∥平面ACC1A1. 因为DE∩EK=E,DE,EK⊂平面DEKL,所以平面DEKL∥平面ACC1A1,所以当点M∈KL时,OM⊂平面DEKL,满足OM∥平面ACC1A1. 学科网（北京）股份有限公司 $