8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.[教材P131练习T1(2)] 设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交,也可能是异面直线 2.设a,b是空间两条不同的直线,则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[教材P132习题T2(2)] 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是 (　 ) A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一一条直线与a平行 D.α内的所有直线与a都相交 4.已知平面α,β和直线a,b,若α∥β,a⊂α,b⊂β,则下列结论正确的是 (　 ) A.a∥b B.a⊥b C.a与b异面 D.a与b无公共点 5.若异面直线m,n分别在平面α,β内,且α∩β=l,则直线l (　 ) A.与直线m,n都相交 B.可能与m,n都平行 C.与m,n中的一条相交,另一条平行 D.至少与m,n中的一条相交 6.(多选题)下列说法中正确的有 (　 ) A.如果一条直线在一个平面外,那么这条直线平行于这个平面 B.如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内无数条直线相交 C.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D.一条直线上有两点到平面的距离相等,那么这条直线和这个平面可能平行,也可能相交 7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱中,与AA1异面的是　　　　.  8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=　　　　.  9.(13分)已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,a∩b=P.求证:a与β相交,b与α相交. 10.[2025·上海同济大学一附中高一期末] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是 (　 ) A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C 11.(多选题)[2025·浙江A9协作体高一期中] 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是 (　 ) A.A1D和BC1异面 B.BB1和DD1共面 C.平面A1BD∥平面CC1D1 D.平面A1BD与平面CB1D1相交 12.在底面为正六边形的六棱柱中,共有　　　　对互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有　　　　个.  13.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个命题:①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α;②△ABC中至多有两边所在直线平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是　　　　(填序号).  14.(15分)如图,已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,且EF与HG相交于点Q. (1)求证:点Q在直线DC上; (2)求证:EF与A1B1是异面直线. 15.(多选题)[教材P132习题T9改编] 如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则下列说法中正确的是 (　 ) A.C∈GH B.CD与EF是共面直线 C.AB∥EF D.GH与EF是异面直线 16.(15分)如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论. 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.D　[解析] 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在直线为a,BC'所在直线为b时,a与b相交;当A'B所在直线为a,B'C所在直线为b时,a与b异面.故选D. 2.B　[解析] 当a与b无公共点时,a与b可能平行或异面,反之,当a与b是异面直线时,a与b无公共点.故选B. 3.B　[解析] 直线a不平行于平面α,且a⊄α,则直线a与平面α相交,所以直线a与平面α内过交点的直线是相交直线,直线a与平面α内不过交点的直线是异面直线,所以α内不存在与a平行的直线,故选B. 4.D　[解析] 依题意,若α∥β,a⊂α,则a∥β, 又b⊂β,所以a,b没有公共点,a与b可能异面、平行、垂直,所以D选项正确,A,B,C选项错误.故选D. 5.D　[解析] 因为α∩β=l,所以l⊂α,l⊂β,则l与m平行或相交,l与n平行或相交,又m,n为异面直线,所以l不能与m,n同时平行,即l与m,n可能都相交,也可能与其中一条相交,故A,B,C错误,D正确.故选D. 6.BD　[解析] 对于A,如果一条直线在一个平面外,那么这条直线可能与这个平面相交,所以A错误;对于B,如果一条直线与一个平面相交,那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交,有无数条,所以B正确;对于C,显然有无数条,所以C错误;对于D,如图所示,所以D正确.故选BD. 7.B1C1,BC　[解析] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥AA1,CC1∥AA1; AA1∩AB=A, AA1∩A1B1=A1, AA1∩AC=A,AA1∩A1C1=A1;BC,B1C1与AA1异面. 8.8　[解析] 直线CE与正方体的上底面所在平面平行,在正方体的下底面所在平面内,与其他四个平面相交;直线EF与正方体的左、右两个面所在平面平行,与其他四个平面相交,所以m=4,n=4,所以m+n=8. 9.证明:如图,∵a∩b=P, ∴P∈a,P∈b, 又b⊂β,∴P∈β, ∴a与β有公共点P, 又a⊄β,∴a与β相交. 同理,b与α相交. 10.B　[解析] 连接B1D1,BD,由正方体的性质易知,当P为A1C1的中点时,P为B1D1的中点,而DD1∥BB1,所以B,D,D1,B1共面,则BP,DD1在平面BDD1B1上,故A不符合题意;因为AA1∥CC1,所以A,C,C1,A1共面,易知P∈平面ACC1A1,而B∉平面ACC1A1,P∈A1C1,P∉AC,所以BP与AC异面,故B符合题意;当P,C1重合时,易知AB∥D1C1,AB=D1C1,则四边形ABC1D1是平行四边形,则此时AD1∥BP,故C不符合题意;当P,C1重合时,显然B1C,BP相交,故D不符合题意.故选B. 11.ABD　[解析] 对于A,如图①,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB∥C1D1,所以AB与C1D1确定平面ABC1D1,连接AD1,因为A1D与AD1相交,且A1D与平面ABC1D1相交,所以A1D和BC1异面,故A正确;对于B,如图②,连接BD,B1D1,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1,所以BD与B1D1确定平面BDD1B1,所以BB1和DD1共面,故B正确;对于C,如图③,因为D∈平面CC1D1,而A1∉平面CC1D1,B∉平面CC1D1,D∈平面A1BD,由基本事实3可知,平面A1BD与平面CC1D1相交,故C错误;对于D,如图④,因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,BC∥B1C1∥A1D1,所以BC与A1D1可以确定一个平面, 又因为BC≠A1D1,所以A1B与CD1交于一点,设为P,所以P∈A1B,而A1B⊂平面A1BD,所以P∈平面A1BD,又P∈CD1,而CD1⊂平面CB1D1,所以P∈平面CB1D1,由基本事实3可知,平面A1BD与平面CB1D1相交,故D正确.故选ABD. 12.4　6　[解析] 六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其相对的侧面平行,故共有4对互相平行的面.六棱柱共有8个面,与其中一个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均相交. 13.①　[解析] 如图,三点A,B,C可能在α同侧,也可能在α两侧,当A,B,C在α同侧时,AB,BC,AC均与α平行,当A,B,C在α两侧时,△ABC的两条边与α相交,另一条边所在直线与α平行,故只有①是真命题. 14.证明:(1)因为平面ABCD∩平面CDD1C1=DC,且Q∈EF⊂平面ABCD,Q∈HG⊂平面CDD1C1,所以Q∈DC,即点Q在直线DC上. (2)假设EF与A1B1不是异面直线,则EF与A1B1是共面直线,又E在直线A1B1外,则过E与直线A1B1有唯一平面BAA1B1,所以可得F∈平面BAA1B1,这与F在平面BAA1B1外矛盾,故EF与A1B1是异面直线. 15.ABD　[解析] 还原后的正方体如图所示,其中点C与G重合,点F与B重合,则C∈GH,故A正确;CD与EF平行,故CD与EF是共面直线,故B正确;AB与EF是相交直线,故C错误;GH与EF是异面直线,故D正确.故选ABD. 16.解:平面ABC与平面β的交线与l相交. 证明如下:∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l一定相交. 设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l. 又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC,P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点. 而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与β的交线,即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,∴平面ABC与β的交线与l相交. 学科网（北京）股份有限公司 $