8.3.2第2课时　球的表面积和体积 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　球的表面积和体积 1.已知球的半径是3,则该球的体积是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.4π B.12π C.24π D.36π 2.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍,则球的体积扩大为原来的 (　 ) A.8倍 B.4倍 C.2倍 D.2倍 3.已知实心铁球的半径为R,若将该铁球熔成一个底面半径为R,高为h的圆柱,则= (　 ) A. B. C. D.2 4.如图,过球O的一条半径OP的中点O1作垂直于该半径的平面,所得截面圆的半径为,则球O的体积是 (　 ) A. B. C.32π D.16π 5.已知一圆柱的底面半径为2,体积为16π,若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上,则球O的表面积为 (　 ) A.32π B.40π C.64π D.80π 6.(多选题)如图所示,圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则下列说法中正确的是 (　 ) A.圆锥的轴截面为直角三角形 B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4 7.[2025·上海浦东新区高二期末] 表面积为16π的球的体积是　　　　.  8.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为　　　　.  9.(13分)如图,圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,求一个球的表面积. 10.某同学在实践课上制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的表面积为 (　 ) A.64π B. C.16π D. 11.[2025·太原高一期中] 球面被平面所截得的一部分叫作球冠,截得的圆叫作球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫作球冠的高.球体被平面截下的一部分叫作球缺,截面叫作球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高,球缺是旋转体,可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图①,一个球面的半径为R,球冠的高是h,球冠的表面积公式是S=2πRh,与之对应的球缺的体积公式是V=πh2(3R-h).如图②,已知点C是以AB为直径的圆上的点,∠AOC=,扇形AOC的面积为,将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到一个几何体,则下列结论正确的是 (　 ) A.该几何体是一个球缺 B.该几何体中球冠的高为1 C.该几何体的体积为π D.该几何体的表面积为(4+2)π 12.[教材P119例4改编] 如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为　　　　.  13.[2025·重庆涪陵一中高一月考] 已知球O的表面积为16π,点A,B,C在球O的球面上,且AC=3,∠ABC=60°,则球心O到平面ABC的距离为 　　　　.  14.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在梯形ABCD内,挖去一个以A为圆心,以2为半径的四分之一圆,得到如图所示的阴影部分,若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周,求形成的几何体的表面积与体积. 15.已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC⊥BC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为　　　　,球心O到平面ABC的距离为　　　　.  16.(15分)定义空间点到几何图形的距离为:这一点到这个几何图形上各点距离中的最短距离. (1)在空间中,求与定点O的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积; (2)在空间中,线段AB(包括端点)的长等于1,求到线段AB的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积; (3)在空间中,记边长为1的正方形ABCD区域(包括边界及内部的点)为Ω ,求到Ω的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积. 第2课时　球的表面积和体积 1.D　[解析] 因为球的半径R=3,所以该球的体积V=πR3=36π.故选D. 2.C　[解析] 若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍,则球的半径扩大为原来的倍,则球的体积扩大为原来的2倍.故选C. 3.B　[解析] 由题知球和圆柱的体积相等,则πR3=πR2h,可得=.故选B. 4.A　[解析] 设球O的半径为R,则R2-=()2,所以R=2,所以球O的体积V=πR3=.故选A. 5.A　[解析] 由题意知圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形,矩形的对角线是球的直径,设圆柱的高为h,球的半径为R,因为圆柱的底面半径r=2,所以πr2h=π×22h=16π,解得h=4,所以2R===4,则R=2,故球O的表面积S=4πR2=4π×(2)2=32π.故选A. 6.ABD　[解析] 设球的半径为R.对于A,如图所示,OB=OA=OC=R,所以∠BAC=,故A正确;对于B,圆锥的表面积S1=πR2+π·R·R=πR2+πR2,球的表面积S2=4πR2,所以S1>S2,故B正确;对于C,圆锥的母线长为R,底面周长为2πR,所以圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为=π,故C错误;对于D,圆锥的体积V1=·πR2·R=πR3,球的体积V2=πR3,故=,故D正确.故选ABD. 7.　[解析] 设球的半径为R,则4πR2=16π,得R=2,所以球的体积为×23=. 8.4∶9　[解析] 两个球的体积之比为8∶27,根据体积之比等于半径之比的立方,表面积之比等于半径之比的平方,可知两个球的半径之比为2∶3,从而这两个球的表面积之比为4∶9. 9.解:设球的半径为r,依题意得3×r3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4,所以一个球的表面积S=4πr2=64π(cm2). 10.A　[解析] 由题意可得,球心到截面圆所在平面的距离d==2,设截面圆的半径为r,球的半径为R,则2πr=4π,解得r=2,所以R==4,所以该球的表面积为4πR2=64π.故选A. 11.BCD　[解析] 对于A,易知将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到的几何体是组合体,其下方为一个倒置的圆锥,上方为球缺,故A错误.如图,过点C作AB的垂线,垂足为O',因为扇形OAC的面积为,且∠AOC=,所以·OA=,故OA=OC=2.对于B,因为OC=2,∠AOC=,所以OO'=O'A=1,所以该几何体中球冠的高为O'A=1,故B正确.对于C,该几何体的体积是球缺的体积与圆锥体积之和,为×()2×1+×12×(3×2-1)=,故C正确.对于D,该几何体的表面积为球冠的表面积与圆锥的侧面积之和,为2π×2×1+π××2=(4+2)π,故D正确.故选BCD. 12.　[解析] 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.∵V球 =πR3,V圆柱 =πR2·2R=2πR3,∴V球:V圆柱 =πR3∶2πR3=. 13.1　[解析] 如图,连接OA,设△ABC外接圆的圆心为O1,半径为r,连接OO1,O1A,根据球的表面积公式可得OA=2,在△ABC中, AC=3,∠ABC=60°,所以由正弦定理可得2r===2,所以O1A=r=.易知OO1⊥平面ABC,所以OO1⊥O1A,在Rt△OO1A中,可得球心O到平面ABC的距离为OO1===1. 14.解:由题意知,所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成. 如图,在直角梯形ABCD中,过D作DE⊥BC,垂足为E, 在Rt△DEC中,CD==5, 所以S半球=×4π×22=8π,S圆台侧=π×(2+5)×5=35π,S圆台下底=25π,则形成的几何体的表面积为8π+35π+25π=68π. 因为圆台的体积V=×(π×22++π×52)×4=52π,半球的体积V1=×π×23=π,所以形成的几何体的体积为V-V1=π. 15.R　R　[解析] 如图所示,连接OA,OB.因为AC⊥BC,所以AB是△ABC外接圆的直径.因为AB=OA=OB=R,所以△OAB是等边三角形,所以∠AOB=,故A,B两点的球面距离为R.设AB的中点为O1,连接OO1,则OO1为球心O到平面ABC的距离.又∠O1OA=,所以球心O到平面ABC的距离为O1O=Rcos=R. 16.解:(1)依题意知该几何体是半径r=1的球, 其体积V1=πr3=π,表面积S1=4πr2=4π. (2)依题意知该几何体是底面半径r'=1,高h=1的圆柱和两个半径r'=1的半球,其体积V2=πr'2h+πr'3=π,表面积S2=4πr'2+2πr'h=6π. (3)依题意知该几何体如图所示,其体积V3=2V圆柱+V球+2V正方体=2π+π+2=π+2,表面积S3=2S圆柱侧+2S正方形+S球=4π+2+4π=8π+2. 学科网（北京）股份有限公司 $