8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.棱长为3的正方体的表面积为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.27 B.64 C.54 D.36 2.已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为6,则三棱锥B-A'B'C'的体积是 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长是2,体积是,则这个正四棱锥的侧棱长为 (　 ) A. B.2 C. D. 4.已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为4,6的正方形,侧棱长为,则该棱台的表面积为 (　 ) A.72 B.82 C.92 D.112 5.在底面是菱形的直棱柱中,底面的对角线长分别是6和8,棱柱的高是15,则这个棱柱的侧面积是 (　 ) A.75 B.250 C.150 D.300 6.(多选题)正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2,则下列说法正确的是 (　 ) A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为 7.[2025·广西南宁三十三中高一月考] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,则所得棱台的体积为　　　　.  8.将一个棱长为1 cm的正方体切成27个全等的小正方体,则表面积增加了　　　　 cm2.  9.(13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,求: (1)长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积; (2)三棱锥A1-BCD的体积. 10.[2025·海南海口高一阶段练] 如图①,三棱锥P-ABC的高为,底面△ABC在斜二测画法下的直观图△A'B'C'如图②所示,其中O'为A'B'的中点,且O'A'=1,O'C'=,则三棱锥P-ABC的体积为 (　 ) A. B.1 C. D.2 11.(多选题)[2025·江苏锡山高级中学高一期中] 如图,该几何体是由高相等的正四棱柱EFGH-ABCD和正四棱锥S-ABCD组成的,若该几何体的底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列说法中正确的是 (　 ) A.正四棱锥的高为5 cm B.该几何体的表面积为(100+200)cm2 C.该几何体的体积为 cm3 D.一只小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路程为 cm 12.如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1,已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6,体积为,则该正四棱台的侧面积为　　　　.  13.如图,多面体ABC-DEFG是一个正方体被一平面BCGF所截得的几何体,Rt△ABC、直角梯形DGFE分别是正方体上、下底面的一部分, AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为　　　　.  14.(15分)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=PC=. (1)求三棱锥P-ABC的表面积; (2)求底面ABC上的高. 15.[2025·安徽皖南八校高一期中] 如图,有两个相同的直三棱柱,高为1,底面三角形的三边长分别为3,4,5,用这两个三棱柱拼成一个三棱柱,在所有可能组成的三棱柱中,表面积不可能为 (　 ) A.36 B.38 C.40 D.42 16.(15分)求一个棱长为的正四面体的体积,有如下未完成的解法,请你将它补充完成. 解:构造一个棱长为1的正方体,我们称之为该四面体的“生成正方体”(如图①),则四面体ACB1D1为棱长是的正四面体,且有=V正方体----=. (1)模仿题中解法,对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为V四面体和V生成平行六面体,试给出这两个体积之间的一个关系式,不必证明; (2)如图②,一个相对棱长都相等的四面体(通常称之为等腰四面体),其三组棱长分别为,,,类比上述中的方法或结论,求此四面体的体积. 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.C　[解析] 所求表面积为6×32=54. 2.D　[解析] 设三棱锥B-A'B'C'的高为h,则VB-A'B'C'=S△A'B'C'·h=VABC-A'B'C'=2,故选D. 3.C　[解析] 设正四棱锥的高为h,根据已知条件可得=×(2)2×h,所以h=.连接AC,则==2,所以这个正四棱锥的侧棱长为=.故选C. 4.C　[解析] 因为正棱台的上、下底面是边长分别为4,6的正方形,侧棱长为,棱台的侧面是等腰梯形,所以棱台侧面的高h==2,所以一个侧面的面积为×(4+6)×2=10,棱台的上、下底面面积之和为42+62=52,所以该棱台的表面积为10×4+52=92.故选C. 5.D　[解析] 根据菱形的对角线互相垂直平分,可得底面菱形的边长为5,又棱柱的高是15,所以这个棱柱的侧面积为4×5×15=300.故选D. 6.AB　[解析] 如图,在正三棱锥P-ACD中,设E为等边三角形ADC的中心,F为CD的中点,连接PF,EF,PE,DE,则PE为正三棱锥的高,PF为斜高,∴PF===,∵∠EDF=30°,DF=,∴EF=DFtan 30°=×=,故PE==3,故A,B正确.正三棱锥的体积为PE·S△ACD=×3××3×3sin 60°=,侧面积为3S△PCD=3××3×=,故C,D错误.故选AB. 7.56　[解析] 由=,截去的正四棱锥的高为3,得原正四棱锥的高为6,因此原正四棱锥的体积为×(4×4)×6=64,又截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=8,所以所得棱台的体积为64-8=56. 8.12　[解析] 由题意可知,原来大正方体的表面积为6 cm2,且小正方体的棱长为 cm,则小正方体的表面积为6×=(cm2),所以27个全等的小正方体的表面积为27×=18(cm2),所以表面积增加了18-6=12(cm2). 9.解:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,故长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积S1=2(AB+AD)·AA1=2×(2+1)×1=6, 所以长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=S1+2S长方形ABCD=6+2×2×1=10. (2)S△BCD=BC·CD=×2×1=1,显然三棱锥A1-BCD的高为AA1,所以三棱锥A1-BCD的体积V=S△BCD·AA1=×1×1=. 10.B　[解析] 由斜二测画法可知,在△ABC中,AB=2,AB边上的高h=2O'C'=,所以S△ABC=×2×=,故VP-ABC=××=1.故选B. 11.ACD　[解析] 连接AC,BD相交于点O,连接SO.对于A,由题意得OA=5 cm,所以正四棱锥的高SO===5(cm),故A正确;对于B,该几何体的表面积为102+40×5+4××102=(100+200+100)cm2,故B错误;对于C,该几何体的体积为102×5+×102×5=(cm3),故C正确;对于D,将长方形EFBA和正三角形SAB展开到同一平面内,连接SE,如图,则SE的长为所求最短路程,取EF的中点M,连接SM,则SM=(5+5)cm,又EM=5 cm,所以SE===(cm),故D正确.故选ACD. 12.32　[解析] 设该正四棱台的高为h,侧面梯形的高为h',由已知得(22+62+2×6)=,所以h=2,则h'===2,所以正四棱台的侧面积为4×=32. 13.4　[解析] 方法一(割):如图所示,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG,则所求几何体的体积V=S△DEH×AD+S△BEF×DE=×2×1×2+×2×1×2=4. 方法二(补):如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体.显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半,故所求几何体的体积V=×23=4. 14.解:(1)如图,因为PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=PC=,所以AB=AC=,BC=2,所以cos∠BAC==,则sin∠BAC=, 故三棱锥P-ABC的表面积S=×1×+×1×+××+×××=2+1. (2)设底面ABC上的高为h,由(1)得△ABC的面积S1=×××=, 由等体积法得VA-PBC=VP-ABC,即××××1=××h,解得h=,所以底面ABC上的高为. 15.B　[解析] 当拼成三棱柱时有三种情况,如图①②③,表面积分别为S1=2×6+2×(5+4+3)=36,S2=4×6+2×(5+4)=42,S3=4×6+2×(5+3)=40.故选B. 16.解:(1)V四面体=V生成平行六面体. (2)构造该四面体的“生成长方体”(图略),设长方体共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则有可得故此四面体的体积V=3×2×1-4×××1×2×3=2. 《》 学科网（北京）股份有限公司 $