8.5.3第1课时平面与平面平行的判定 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5.3　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定 【学习目标】 　　1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理. 　　2.能够运用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. ◆ 知识点　平面与平面平行的判定定理 1.文字语言:如果一个平面内的　　　　　　　　与另一个平面平行,那么这两个平面平行.  符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α. 图形语言:如图所示. 2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件: (1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面; (2)这两条直线必须相交. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (　 ) (2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. (　 ) (3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (　 ) 2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能同时选择的两条直线有哪些? ◆ 探究点一　对平面与平面平行的判定定理的理解 例1 给出下列四个说法: ①若平面α内的两条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行; ②若平面α内有无数条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行; ③平行于同一条直线的两个平面平行; ④若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行. 其中正确说法的个数是　　　　.  变式 (多选题)[教材P142练习T1改编] 下列说法正确的是 (　 ) A.已知平面α,β和直线m,n,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β B.若平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β,则α∥β C.平行于同一个平面的两个平面平行 D.若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β ◆ 探究点二　平面与平面平行的判定 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,N是BB1的中点.求证:平面MDB1∥平面ANC. 变式1 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,D1是B1C1的中点.求证: (1)A1B∥平面AC1D; (2)平面A1BD1∥平面AC1D. 变式2 如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,AB⊥BC,2AB=2BC=AD,设E,F,O分别为PD,PA,AD的中点, (1)证明:CE∥平面PAB; (2)证明:平面BOF∥平面CDE. [素养小结] (1)要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,证明这两条相交直线平行于另一个平面即可. (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内寻找与另一个平面平行的两条相交直线,若找不到再作辅助线. 8.5.3　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定 【课前预习】 知识点 1.两条相交直线 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面才平行. 2.解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,而AB∥CD,BC∥AD,故不能同时选择的直线有AB和CD,BC和AD. 【课中探究】 探究点一 例1　0　[解析] ①错误,因为平面α内的这两条直线不一定相交,故不能判定α与β平行;②错误,平面α内这无数条直线可能互相平行,这样就不能找到两条相交直线与β平行,故不能判定α与β平行;③错误,这两个平面也可能相交;④错误,这两个平面也可能相交.故正确说法的个数是0. 变式　BCD　[解析] 对于A,当m∥n时,α与β可能相交,A错误.对于B,平面α内两条不平行的直线是两条相交直线,由于平面α内两条相交直线都平行于另一平面β,则α∥β,B正确.对于C,设平面α和β均平行于平面γ,在α内任取一点A,在平面α内过A作两条相交直线a和b,根据平行平面的性质,a和b必须分别平行于γ内的某两条直线(否则会与γ相交,与平行定义矛盾).由于β也平行于γ,根据传递性,a和b也平行于β.因此,α内存在两条相交直线均平行于β,根据面面平行的判定定理,α∥β,C正确.对于D,因为三角形的三条边两两相交,所以若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D正确.故选BCD. 探究点二 例2　证明:如图所示, 连接MN.因为M,N分别是所在棱的中点,所以四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形,所以MB1∥AN,CN∥MD. 又MB1⊂平面MDB1,AN⊄平面MDB1,所以AN∥平面MDB1,同理可得CN∥平面MDB1, 又因为AN∩CN=N,AN,CN⊂平面ANC, 所以平面MDB1∥平面ANC. 变式1　证明:(1)连接A1C,与AC1交于O,连接DO,如图,可得A1B∥DO,∵DO⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D, ∴A1B∥平面AC1D. (2)∵D是BC的中点,D1是B1C1的中点,∴D1C1∥BD,D1C1=BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,则D1B∥C1D,又D1B⊄平面AC1D,C1D⊂平面AC1D,∴D1B∥平面AC1D. 由(1)可知A1B∥平面AC1D,又D1B∩A1B=B,D1B,A1B⊂平面A1BD1,∴平面A1BD1∥平面AC1D. 变式2　证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,连接EF,如图,由E,F分别为PD,PA的中点,得EF∥AD,EF=AD, 又BC∥AD,BC=AD,则EF∥BC,EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF, 又CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB. (2)由O是AD的中点,F为PA的中点,得FO∥PD, 又PD⊂平面CDE,FO⊄平面CDE,所以FO∥平面CDE. 由(1)知CE∥BF,又CE⊂平面CDE,BF⊄平面CDE,所以BF∥平面CDE.又BF∩FO=F,BF,FO⊂平面BOF,所以平面BOF∥平面CDE. 学科网（北京）股份有限公司 $