8.3.2 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【学习目标】 　　1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式. 　　2.能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积. ◆ 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积定义 圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的　　　　.  2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 图形 表面积公式 旋 转 体 圆 柱 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底=　　　　.  侧面积:S侧=　　　　.  表面积:S=　　　  圆 锥 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底=　　　　.  侧面积:S侧=　　　　.  表面积:S=　　　　　  圆 台 r',r分别是上、下底面半径,l是母线长 上底面面积:S上底=　　　　.  下底面面积:S下底=　　　　.  侧面积:S侧=　　　　　　.  表面积:S=  　　  3.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系 根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系,可以发现三者的表面积公式之间有如下关系: 在圆台的表面积公式S圆台=π(r2+r'2+rl+r'l)中,当　　　　时,得圆柱的表面积公式S圆柱=2πr(r+l);当　　　　时,得圆锥的表面积公式S圆锥=πr(r+l).  【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积. (　 ) (2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的,它的表面积不变. (　 ) (3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环. (　 ) 2.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为2 cm,则这个圆锥的底面积为　　　cm2,侧面积为　　　cm2,表面积为　　　　cm2.  ◆ 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 1.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 (1)V圆柱=πr2h(r为底面半径,h是高). (2)V圆锥=　　　　(r为底面半径, h是高).  (3)V圆台=　　　　　　　　(r',r分别是上、下底面半径, h是高).  2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式:V柱体=　　　　(S为底面积,h为柱体高).  (2)锥体的体积公式:V锥体=　　　　 (S为底面积,h为锥体高).  (3)台体的体积公式:V台体=　　　　　　　　(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).  【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积不变. (　 ) (2)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π. (　 ) 2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗? ◆ 探究点一　圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题 例1 (1)若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则这个圆柱的侧面积为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.9π B.12π C.π D.π (2)已知圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,若圆锥的侧面积为π,则轴截面的面积为　　　　.  变式 已知某圆台轴截面的面积为3,圆台的高为,侧面积为6π,则该圆台的母线长为　　　　.  ◆ 探究点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 例2 (1)已知圆锥的高为2,其底面圆的半径为1,则圆锥的侧面积为 (　 ) A.π B.2π C.π D.(+1)π (2) 已知圆柱的母线长比底面半径多2 cm,表面积为24π cm2,则该圆柱的体积为 (　 ) A.12π cm3 B.14π cm3 C.16π cm3 D.18π cm3 变式 (1)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为 (　 ) A.8π B.4π C.8 D.4 (2)[2025·深圳外国语学校高一期中] 已知圆台的体积为14π,其上底面半径为1,下底面半径为4,则该圆台的母线长为　　　　.  [素养小结] 求圆柱和圆锥的表面积和体积时,只需按照公式进行求解;而解决台体的问题除应用公式外,还可以还台为锥,求表面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是侧面展开图的弧长. ◆ 探究点三　简单组合体的表面积与体积 例3 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,求以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积. 变式 [2025·吉林永吉实验高级中学高一月考] 不锈钢实心陀螺是早期民间小孩子的娱乐工具之一,现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具,目前的成人陀螺由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.已知一陀螺的圆柱部分的底面直径为16,圆柱和圆锥的高均为6,则该陀螺的表面积为 (　 ) A.240π B.220π C.160π D.176π [素养小结] 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要先根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解. 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【课前预习】 知识点一 1.面积和 2.πr2　2πrl　2πr(r+l)　πr2　πrl　πr(r+l)　πr'2　πr2　π(r'l+rl)　π(r2+r'2+rl+r'l) 3.r'=r　r'=0 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积. (2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化. (3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆. 2.16π　24π　40π　[解析] 因为圆锥的底面半径为4 cm,所以底面周长为8π cm,底面积为16π cm2.由勾股定理得,母线长为=6(cm),由题意知圆锥的侧面展开图为扇形,所以圆锥的侧面积为×8π×6=24π(cm2).表面积为16π+24π=40π(cm2). 知识点二 1.(2)πr2h　(3)πh(r'2+r'r+r2) 2.(1)Sh　(2)Sh　(3)(S'++S)h 诊断分析 1.(1)×　(2)√　[解析] (1)由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积变为原来体积的2倍. 2.解:圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台上、下底面的半径相等时,圆台变为圆柱,圆台的体积公式变为圆柱的体积公式;当圆台上底面半径为0时,圆台变为圆锥,圆台的体积公式变为圆锥的体积公式. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)A　(2)1　[解析] (1)设圆柱的底面半径为r,则该圆柱的母线长为2r,因为该圆柱的轴截面面积为(2r)2=4r2=9,所以该圆柱的侧面积为2πr·2r=4πr2=9π,故选A. (2)因为圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,所以圆锥的母线长为r,底面直径为2r,则此圆锥的侧面积为πr·r=π,可得r=1,所以轴截面的面积为×(r)2=1. 变式　2　[解析] 设圆台上、下底面的半径分别为r,R,则(R+r)=3,即R+r=3.设圆台的母线长为l,则S圆台侧=π(R+r)l=6π,解得l=2. 探究点二 例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为圆锥的高为2,其底面圆的半径为1,所以由勾股定理得圆锥的母线长为=,所以圆锥的侧面积为π×1×=π.故选C. (2)设圆柱的底面半径为r cm,则圆柱的母线长为(r+2)cm,由圆柱的表面积为24π cm2,得2πr2+2πr(r+2)=24π,可得r=2,所以该圆柱的体积为πr2(r+2)=16π(cm3).故选C. 变式　(1)A　(2)　[解析] (1)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体为圆柱,其底面半径r=2,高h=2,故其侧面积S=2πr×h=2π×2×2=8π.故选A. (2)圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,设圆台的高为h,则该圆台的体积V=π×(12+42+1×4)h=7πh=14π,所以h=2.作出圆台的轴截面如图所示,设上底面的圆心为M,下底面的圆心为N,则MD=1,NC=4,过D作DE⊥NC,垂足为E,则EC=4-1=3,DE=h=2,所以圆台的母线长为DC===. 探究点三 例3　解:以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体为一个圆台中间挖去一个圆锥.设圆台的上底面圆心为E,因为∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1, 所以CE=DE=CD=2,得AE=3,所以该几何体的体积V=V圆台-V圆锥=×(25π++4π)×3-×π×22×2=×39π×3-×8π=. 变式　A　[解析] 因为圆柱的底面直径为16,所以半径为8,则底面面积为π×82=64π.因为圆柱的高为6,所以圆柱的侧面积为2×8π×6=96π.根据圆锥的高为6,底面半径为8,得圆锥的母线长为=10,所以圆锥的侧面积为π×8×10=80π,所以该陀螺的表面积为64π+96π+80π=240π,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $